数控系统(二)教材

2.4

插补原理2.4.1

插补的基本概念

在数控机床中，刀具或工件的最小位移量称为分辨率(闭环系统)或脉冲当量(开环系统)，又叫做最小设定单位。刀具或工件是一步一步地移动的，刀具的运动轨迹不可能严格地沿着刀具所要求的零件轮廓形状运动，只能用折线逼近所要求的轮廓曲线，而不是光滑的曲线。机床数控装置根据一定算法确定刀具运动轨迹，从而产生基本轮廓线形，如直线、圆弧等。

一.什么是插补数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，用一个个输出脉冲把这一空间填补起来，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。2.4

插补原理2.4.1

插补的基本概念“插补”是根据零件轮廓线形的信息(如直线的起点、终点，圆弧的起点、终点和圆心等)，数控装置按进给速度、刀具参数和进给方向等要求，计算出轮廓曲线上一系列坐标值的过程。2.4

插补原理2.4.1

插补的基本概念插补器：软件插补硬件插补软硬件结合插补直线插补零件数控加工程序提供直线段的起点、终点坐标,数控装置将这两点之间的空间进行数据密化,用一个个输出脉冲把空间填补起来,从而形成要求的直线轨迹。…N12G00X12Y4N13G01X17

Y7…yx

0124177圆弧插补零件的数控加工程序提供圆弧起点、终点、圆心坐标,数控装置将起点、终点之间空间进行数据密化,用一个个脉冲把这一空间填补成近似理想的圆弧,即对圆弧段进行数据密化。

…N12G00X4

Y3N13G03X0Y5

R5…543y0XR二维插补

对于平面曲线，通过二个坐标的插补运算，就能控制两个坐标轴走出所需轨迹。yx

0124177543y0XR

对于空间曲线(三维、四维…)，需要多个坐标轴联动，也就需要多个坐标的插补运算。

多维插补A(Xe、Ye、Ze)ZYXOXeYeZe二.软件插补算法Ⅰ.脉冲增量插补

Ⅱ.数据采样插补

逐点比较法插补

数字积分法插补直线函数法扩展数字积分法二阶递归算法二.软件插补算法Ⅰ.脉冲增量插补

产生的单个行程增量，以一个个脉冲方式输入给伺服系统。原理yx

012242456步进电机为驱动装置的开环数控系统。计算机数控柜步进电机驱动电源步进电机机床

滚珠丝杆应用Ⅱ.数据采样插补（时间标量插补）插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期中的增长段（不是脉冲），得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴的现时的实际位置（数字量）相比较,求得跟随误差。位置伺服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令，输出给驱动装置。1.插补程序的调用周期和系统的位置采样周期相同

美国Allen－Bradley公司的7300CNC系列2.调用周期是系统的位置采样周期的整数倍西门子公司的System－7CNC系统，采用8ms的插补周期和4ms的位置反馈采样周期应用适用于闭环和半闭环，以直流（或交流）电机为驱动装置的位置采样系统。类型目前的MNC系统常采用以下结构方式完成插补运算i采用软/硬件配合实现插补方案的单微机系统※FANUC的System－5ii具有分布式微机系统※麦唐纳·巴格拉斯公司ActrionIII型MNC系统iii具有单台高性能微型计算机NC系统

※西德西门子公司的System-7CNC系统2.2.2脉冲增量插补特点脉冲当量

每次插补结束，在一个轴上只产生单个的行程增量。一个脉冲所产生的坐标轴的移动量mm。一.逐点比较法插补原理基本思想被控对象在按要求的轨迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹进行比较，由比较结果决策下一步移动的方向。逐点比较法既可实现直线插补，又可实现圆弧插补。一.逐点比较法插补原理四个步骤偏差判别：根据偏差值判断刀具当前位置与给定线段的相对位置，以确定下—步的走向。坐标进给：根据判别结果，让刀具向x或y方向移动一步，使加工点接近给定线段。偏差计算：计算新到达点与给定轨迹之间的偏差，作为下一步判别依据。终点判别：判断刀具是否到达终点。未到终点，则继续进行插补。若已到达终点，则插补结束。yx

0124177Ⅰ、直线插补(一).偏差计算公式如图所示，设规定轨迹为直线段OE，起点在原点，终点E的坐标为E(Xe，Ye)

,第一象限Pi(xi,yi)为加工点（轨迹点）。1.若P正好处在OE上,则下式成立。xi=

yi

yexe即

xeyi

－xiye=0y0xE(Xe,Ye)Pi(xi,yi)2.当P在OE上方时，即

xeyi－xiye>03.当P在OE下方时，即

xeyi－xiye<0xi<

yixe

yexi>

yixe

yeE(Xe,Ye)yxPi(xi,yi)0E(Xe,Ye)yPi(xi,yi)x0∴判别函数F为F＝XeYi-XiYe由F可判别动点Pi与理想轨迹的相对位置，从而决定下一步移动方向。y0xE(xe,ye)F>0，点Pi在直线上方，应向+X移动。F<0，点Pi在直线下方，应向+Y移动。F=0，点Pi在直线上，为方便，将F=0归F>0。为便于计算机编程计算,将F的计算予以简化。设第I象限中动点Pi(xi,yi)的F值为Fi，

Fi＝XeYi-XiYe1.若沿+x向走一步，即于是有

Fi+1=Fi

－YePi(Xi,Yi)E(xe,ye)y0xPi+1(Xi+1,Yi+1)ïîïíì-==+=+++++eiieiiiiiyxyxFyyxx11111,1

2.若沿+y向走一步，即于是有

新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推。xy0Pi(Xi,Yi)Pi+1E(xe,ye)ïîïíì-==+=+++++eiieiiiiiyxyxFxxyy11111,1eiiXFF+=+1(二)终点判别的方法有两种：

1.每走一步，判断动点Pi(xi,yi)的坐标值是否与终点坐标相同，即

Xi-Xe≥0且

Yi-Ye≥0若两式同时满足，插补结束。2.求程序段总步数n=Xe+Ye每走一步，n

1

n，直到n=0，插补结束。(三)插补计算过程：（用流程图表示）终点到？初始化偏差判别坐标进给偏差计算EndYN第I象限直线插补软件流程图(四)不同象限的直线插补计算初始化xe、ye,n=xe+ye,F=0F

0？+x方向走一步+y方向走一步F←F－YeF←F+Xen-1→nn＝0?EndYNYNy0xE(xe,ye)用同样方法分析第II，III，IV

象限插补情况，

-X+YF<0(+Y)F>0(-X)F>0(-X)F>0(+X)F<0(-Y)F<0(+Y)F>0(+X)F<0(-Y)+X-Y如图所示,可以得出：都是沿x方向步进，无论+x，-x，|x|总是增大，走+x或-x由象限标志控制(跟随Xe的＋、－）

F≥0

+YF<0F>0F>0F>0F<0F<0F>0F<0+X-Y

均沿y方向步进，无论+y，-y，|y|增大，I，II走+y，III，IV走－y（随ye的＋，－）。F<0+YF<0F>0F>0F>0F<0F<0F>0F<0+X-Y下图所示，轮廓形状

C

xy0B

ADa

db

ca.看成是第I象限，起点O1，终点O2，输出为＋x,＋yb.看成是第Ⅱ象限，起点O2，终点O3，输出为－x,＋yc.看成是第Ⅲ象限,起点O3,终点O4,输出为－x,－yd.看成是第IV象限,起点O4,终点O1,输出为＋x,－yCxy0B

ADa

db

cxyxyxyxy初始化|Xe|,|Ye|N=|Xe|+|Ye|F>0?沿Xe向走一步沿Ye向走一步F←F-|Ye|F←F+|Xe|N=0?EndYNNY四个象限直线插补流程图可归纳为下图所示，n=|xe－x0|＋|ye－y0|例2-1设有第一象限直线OA，起点O为坐标原点，终点为A（4，3）。用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。

解：初始化：

xe=4，ye=3F

0

XF=F-3F<0YF=F+4

n=0+XF6>0

7n=1+YF5<0

6n=2+XF3>0

5n=3+YF3<0

4n=4+XF2>0

3n=5+YF1<0

2n=6+XF0=0

1n=7起点终点判别偏差计算坐标进给偏差判别序号yx

043Ⅱ、圆弧插补

(一).偏差计算公式

若Pi在圆弧上，则

（xi²+yi²)-(x0²+y0²)=0取判别函数F为

F=(xi²+yi²)-(x0²+y0²)

XYE(xe,ye)

A(x0,y0)

OPi(xi,yi)

圆心为原点，圆弧起点坐标(x0、y0)，终点坐标(xe、ye)，

设动点Pi(xi、yi)。第一象限逆圆弧进给方向：1.动点在圆弧外,F>0,向-x走一步；2.动点在圆弧内,F<0,向+y走一步；3.动点在圆弧上,F=0,向-x走一步。A(x0,y0)E(xe,ye)Pixy0F=(xi²+yi²)-(x0²+y0²)A(x0,y0)E(xe,ye)Piy(二)终点判别的方法有两种：

1、动点与终点坐标值比较若xi=xe，x向已到终点若yi=ye，y向已到终点只有当x、y都到达终点，插补才算完成。

2、计算总步数

n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|

每走一步，n-1→n，直到n=0，插补结束(三)插补计算过程：（用流程图表示）A(x0,y0)E(xe,ye)Piy终点到？YEndN初始化偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算(四)圆弧插补偏差计算公式1、第一象限逆圆插补动点在-X方向走一步后

xi+1=xi-1yi+1=yiFi+1=(xi-1)²+yi²-(x0²+y0²)=Fi-2xi+1

动点在+Y方向走一步后

Fi+1=xi²+(yi+1)²-(x0²+y0²)=Fi+2yi+1第一象限逆圆插补的流程图如图所示PiPi+1PixAEPi+10

y第一象限逆圆

插补流程图初始化起点(x0,y0)终点(xe,ye)

F=0F≥0？+Y方向走一步-X方向走一步F=F+2Y+1Y=Y+1F=F-2X+1X=X-1插补完?EndNYNY2、第一象限顺圆插补F≥0动点在-Y方向走一步后

Fi+1=Fi-2Yi+1第一象限顺圆插补的流程图如图所示F<0动点在+X方向走一步后

Fi+1=Fi+2Xi+1PiPi+1PiPi+1xy0AE第一象限顺圆

插补流程图初始化起点(x0,y0)终点(xe,ye)F=0F≥0？+X方向走一步-Y方向走一步F=F+2X+1,X=X+1F=F-2Y+1,Y=Y-1插补完?EndNYNY3、圆弧插补有八种情况表示如下图例2-2现欲加工第一象限逆圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），试用逐点比较法进行插补,并画出插补轨迹。

解：初始化

x=x0=5y=y0=0 F=0n=|Xe-Xi|+|Ye-Yi|=10

F表达式：

F≥0,-ΔX,F-2X+1→F，X-1→XF<0,+ΔY,F+2y+1→F，y+1→y步数偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算终点判别起点X0=5,Y0=0n=101F0=0-XX1=4,Y1=0n=92F1<0+YX2=4,Y2=1n=83F2<0+YX3=4,Y3=2n=74F3<0+YX4=4,Y4=3n=65F4=0-XX5=3,Y5=3n=56F5<0+YX6=3,Y6=4n=47F6=0-XX7=2,Y7=4n=38F7<0+YX8=2,Y8=5n=29F8>0-XX9=1,Y9=5n=110F9>0-XX10=0,Y10=5n=0二.数字积分法1、基本概念采用积分运算实现插补，又称DDA法。DDA(DigitalDifferentialAnalyzer)2、优点易于实现多维插补和原有系统多个坐标轴联动的扩充,尤其多坐标联动的数控系统一、DDA直线插补设对直线OE进行脉冲分配起点O(0,0)，终点E(xe,ye)直线方程

y/x=ye/xe对t求导即Vy/Vx=Ye/Xe

令动点P，在x、y轴方向的速度分别是Vx、Vy,在x、y方向的微小位移增量为ΔX、ΔY则：

E(xe，ye)yx0VyVxV引入比例系数K，有Vx=K•XeVy=K•YeeeyxyXVV=eeyxyXVV==K

ΔX=Vx·Δt

ΔY=Vy·Δt（1）假定进给速度V是均匀的，即V为常数，对于直线函数来说,其分速度Vx、Vy必为常数,且有下式Vx=K•XeVy=K•Ye（2）将(2)式代入(1)式，即为坐标轴位移增量Δx=K•Xe•ΔtΔy=K•Ye•Δt（3）位移量为

取单位时间Δt=1，则公式化为tåò=D==niteKXedtKXx10åò=D==nietetKydtKyy10（3）Σ≥1走一步→Σ-1→Σ→余值作为下次累加的余值Σ+ΣKXe+ΣKYe→不断累加不断溢出溢出脉冲数符合(3)式得出接近理想的直线轨迹→→ïïîïïíì==åå==nienieKyyKXX11数字积分器通常由函数寄存器和累加器等组成，其结构框图如图所示。DDA直线插补把kXe和kYe值放入到JVX和JVY，每隔Δt时间发一个累加脉冲，函数寄存器中的值送累加器里累加一次，累加器的容量为一个单位长度，当累加和超过累加器的容量时，便会产生溢出脉冲，每个溢出脉冲使各坐标方向的移动部件移动一个单位的距离。经数字积分器m次累加后，动点P到达终点。累加过程中产生的溢出脉冲总数等于所求的长度，也就是所求的积分值。累加多少次，才能达到加工终点呢？K=？

设经过m次累加后，达到终点，由(3)式知，

m次累加后

X=m•K•Xe=XeY=m•K•Ye=Ye于是，必须使

m•k=1，或m=1/k

i.累加1/k次后，x、y方向同时到点溢出的脉冲总数

X=Xe,Y=Yeii.K与m互为倒数关系，m必须是整数,故K必是小数。

确定m(K)：

每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。式(2)中的Δx,Δy相同地要小于等于一个脉冲当量，即要求

KXe≤1KYe≤1

(Ⅰ),则必然满足(I)式的条件。

Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制,假设系统字长为n，则Xe、Ye的最大允许值为2ⁿ-1，若取2ⁿK=1累加次数累加次数若寄存器位数是n，则直线的整个插补过程要进行2n次累加才能到达终点。解:例

设有直线OE，起点在原点，终点E(xe=5,ye=3)

累加器和寄存器的位数为3位，用DDA法实现插补。寄存器的位数为3位，其可寄存最大数值为7。用二进制数表示时，起点坐标为O（000，000），终点坐标为E（101，011），当累加结果大于等于1000时有溢出。

累加次数(Δt)X积分器Y积分器终点计数器JEJVXJRXΔXJVYJRYΔY

0101000011000000

1101000+101=101011000+011=0110012101101+101=10101011011+011=110010

3101010+101=111011110+011=10011011

4101111+101=11001011001+011=1001005101100+101=10011011100+011=1111016101001+101=110011111+011=101011107101110+101=10111011010+011=1011118101011+101=10001011101+011=100011000yx053E43212145

以第I象限顺圆为例圆方程为：x²+y²=r²

对时间t求导由此设出第I象限顺圆坐标轴方向的速度分量为

Vx=Ky

Vy=－Kx

此式说明，速度分量是随动点变化的。VVy

VxEAyx0二、DDA圆弧插补位移量

取单位时间Δt=1

则：

（4）

坐标轴位移增量

由此构成如图所示的插补原理框图例4.设有XY平面第一象限逆圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），所选寄存器位数n=3。若用二进制计算，起点坐标A（101，000），终点坐标B（000，101），试用DDA法对此圆弧进行插补。

累加次数(Δt)X积分器Y积分器

JVX(Y)JRXΔXJVY(X)JRYΔY

0000000101

1000000＋000＝000101000+101=101

2000000＋000＝000101101+101=10101

001

3001001＋000＝001101101+010=111

4001001＋001＝010101101+111=11001

010

5010010＋010＝100101101+100=10011

011

6011011＋100＝111101101+001=110

7011011＋111＝10101101101+110=10111

100100

8100100＋010＝110100100+011=111

9100100＋110＝10101100100+111=10111

101011

10101101＋010＝111011

11101101＋111＝11001011

101010

12101101+100=1001101000113101101＋001＝11000114101101+110=10111001000左移规格化如图所示为对直线L1和L2进行插补，如果寄存器位数是n，加工直线L1、L2都要经过m＝2n累加运算，完成二条直线插补的时间是一样的。因L1直线短，故进给慢，速度低；L2直线长，进给快，速度高。对于圆弧，则是半径小时进给速度慢，半径大时进给速度快。由此可知，DDA插补各程序段的进给速度不一样，这样会影响加工的表面质量。为了解决这一问题，使溢出脉冲均匀，提高溢出脉冲的速度，可采用的方法之一是“左移规格化”。

左移规格化“左移规格化”就是将被积函数寄存器中存放数值的前面零移去。直线插补时，当被积函数寄存器中所存放最大数的最高位为1时，称为规格化数，反之，若最高位为零，称为非规格化数。处理方法是：将X轴与Y轴被积函数寄存器里的数值同时左移（最低位移入零），直到其中之一最高位为1时为止。若被积函数左移i位成为规格化数，其函数值扩大2i倍，为了保持溢出的总脉冲数不变，就要减少累加次数。被积函数扩大一倍，累加次数减少一倍。圆弧插补左移规格化与直线不同之处：被积函数寄存器存放最大数值的次高位是1为规格化数直线和圆弧插补时规格化数处理方式不同，但均能提高溢出速度，并能使溢出脉冲变得比较均匀。5.4.3数据采样插补特点：分二步进行：粗插补和精插补粗插补：在给定起点和终点的曲线中间插入若干个点，用若干微小直线段来逼近给定曲线，每一微小线段的长度相等，且与给定的进给速度有关。精插补：在粗插补时算出的每条微小直线段上再做“数据点的密化”工作。适用于以直流或交流伺服电机驱动的闭环或半闭环位置采样控制系统。一.

时间分割法基本思想通过速度计算程序将进给速度V分割成插补周期的轮廓步长f，然后进行插补计算，送出各坐标轴的周期进给增量。例：System－7CNC系统采用时间分割法，插补周期为8ms即在每次8ms插补中断服务后，调用一次插补程序。1、直线插补

设要求刀具在XOY平面作直线运动，由0点运动到P点，则X轴和Y轴的移动增量为Xe和Ye。插补时，取增量大的为长轴，增量小的为短轴。要求X、Y轴的