高中数学人教A版 习题课时提升作业 三 11

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课时提升作业三

三个正数的算术-几何平均不等式

回25分钟练/

分值：60分

一、选择题(每小题6分，共18分)

1.函数y=x2-(l-5x)(0<x<乡的最大值为()

B—C—D—

675657645675

【解析】选A.因为OWx1,

所以l-5x>0,

所以y=x2.(l-5x)炭《X•5.(1-5x)]<

「5513

4'X+^x+Q-5x)4

253-675,

当且仅当*l-5x,即x4时取.

2.设a,b,c都是正数且a+2b+c=l厕工+注+工的最小值为()

abc

A.9B.12

C.6-2V2D.6+4V2

【解析】选D.因为azb,c都是正数目a+2b+c=l,所以长+[(a+2b+c)G+

：+工)=4+”+：+£+。+：+型“+2妇+2+2贬=6+4代,当且仅当a=c=V2b

bc/abacbc

时等号成立.

所以工+打工的最小值是6+4V2.

abc

3.(2016•商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2Vl厕2a+b+c的最

小值为()

A.V3-1B.V3+1

C.2V3+2D.2V3-2

【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2g

BP(a+b)(a+c)=4-2V3,Xa,b;c>0

2?

所以(a+b)(a+c)[^^]=(中)

所以2a+b+c>2V3-2.

二、填空题(每小题6分，共12分)

4.已知a,b,c£R+,且满足a+2b+3c=1，贝甘■的最小值为_______.

a2b3c--------

【解析】因为a,b,c£R+,且满足a+2b+3c=1,

所以9+4+上=色+2b+3c)-g+/+,23%.2b.3c-3黑.奈・白9,当且仅

当a=2b=3c=总寸取等号.因此工+点+：的最小值为9.

3azb3c

答案：9

5.（2016•唐山高二检测）已知x,y,z£R+,且x+3y+4z=6,则秘心的最大值为

【解析】因为x,y,z£R+,且x+3y+4z=6,

XY

所以6=x+3y+4z=-+-+y+y+y+4z

>6-^x2y3z,

所以x2y3z，

答案：1

三、解答题(每小题10分，共30分)

6.若a,b,c>0,

2

^<uE：a2+b2+c2+Q+^+1)26后

【证明】因为a,b,c>0,

所以a2+b2+c223­Ja2b2c2①

②

2

a2+b2+c2+f-+

\abc/

>3-Ja2b2c2+9-3(abc)-2

22•586其当且仅当a=b=c时等号成立.

7.（2016•哈尔滨高二检测）设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求^+警2的最小值.

XIyyIL.

【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=l,

所以2_+空义=*+丫+丫+2+丝辿=1+纥+世包21+2/y+zx9（x+y）=7

x+yy+zx+yy+zx+yy+zyjx+yy+z

当且仅当筹=整，

即x+yJy+z3时，取等号.

所以也的最小值为7.

x।yy十N

2

8.已知实数a,b,c£R,a+b+c=L求4a+平+4c的最小值，并求出取最小值时a,b,c

的值.

2

【解析】由平均不等式得4a+平+4c>

314a.4b=3^4a+b+c2（当且仅当a=b=c2时等号成立）.

因为a+b+c=l,

所以a+b=l-c,

贝!Ja+b+c2=c2_c+l=（c-：）+|,

当c二手寸,a+b+c2取得最小值去

从而当a=bq,c4时々+平+4c,取最小值，最小值为3V2.

@@gg）20分钟练/

分值：40分

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.(2016•温州高二木的则)若logxy=-2,贝!!x+y的最小值是()

A亭B.亭冷冷

【解析】选A.因为logxy=-2,

所以x>0且xwl,y>0,且y=x2,

所以x+y=M+/3那亭,

当且仅当"，即X=V5时等号成立.

2.如果圆柱的轴截面周长/为定值，那么圆柱的体积最大值是()

【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,

贝［J/=4r+2h,即2r+h=V/

V=nr2h<(^y^)n=(y)n.

/

当且仅当r=h=飞■时等号成立.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.已知0<x4则x2(l-2x)的最大值为.

【解析】因为。<x4所以l-2x>0,

3

则X2(1-2X)=X-X(1-2X)<［X+X+^~2X)］节诗.当且仅当x=l-2x,即x二,时等号成

立.故x2(l-2x)的最大值为5

林玄工

【拓展延伸】用平均不等式求最值

(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备"一正、二定、三相等"这三个

条件才能应用，否则会求出错误结果.

(2)在具体问题中，"正数”这个条件一般由已知条件容易获得，"相等"条件也容

易验证确定,而获得"定值"条件往往被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和

变形能力.

(3)"定值"条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添

(拆)项，创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.

(4)当连续应用不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，否则也不能求

出最值.

4.(2016•天津高二检测)已知关于x的不等式2X+-^-2>7在xW(a,+8)上恒成

立,则实数a的最小值为.

【解析】2x+-^=(x-a)+(x-a)+-^-2+2a

因为x-a>0,

所以2x+春司(x一a)(x-a)•露+2a=3+2a.

当且仅当x-a=』，即x=a+l时，取等号.

(x—a)z

所以2x+3的最小值为3+2a,

由题意可得3+2a27,解得a>2.

答案：2

三、解答题（每小题10分，共20分）

5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=l,求证:1+8+工>9.

abc

111

证明---a+b+ca+b+ca+b+c

abCa*b+c

因为a,b,c同号，且a+b+c=l,

所以a>0,b>0,c>0,

r-r-pibcacab

所以ggQbqq均大于0,

又a,b,c互不相等,

cr-ixibcacab

所以3n+一"FF-

aabbcc

r〃6/bcacabc

>3+6-x-x-x-x-x-=9.

\aabbcc

所以宗+%9.

【补偿训练】设a,b,c为正实数，求证$+%%abcN2Vl

dbC

［证明］因为a,b,c为正实数由平均不等式可得5+去+1±3污

即％3晶亮

所以与+与+*4+abc2-^-+abc,

a，b，c，abc

而亮+abc22jW-abc=26,

所以当+与+=+abcN2V5.

a°bc

当且仅当a=b=c时取等号.

6.有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形

后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形

面积之和等于多少?最大容积是多少？

【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示，设AiFi=xcm,则AFi=V3xcm,

所以AIBI=FIF2=36-2V3X.

所以V=y(36-2V3x)2-x

=^(6V3-x)(6