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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A. B. C. D.2.设集合,,则()A. B.C. D.3.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()A. B. C.3 D.54.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为()A.2 B.3 C.4 D.55.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.6.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.9.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则=()A. B.1 C. D.210.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为A. B. C. D.11.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占2019年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比脱贫率那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍12.设曲线在点处的切线方程为,则()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).14.已知函数函数,则不等式的解集为____.15.已知,(,),则=_______.16.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.18.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.19.(12分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,A的逆矩阵A-1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.20.(12分)已知数列的各项都为正数,,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,其中表示不超过x的最大整数,如,,求数列的前2020项和.21.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.22.(10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

分别求出球和圆柱的体积,然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为,则,所以圆柱的体积.又球的体积,所以球的体积与圆柱的体积的比,故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解,侧重考查数学运算的核心素养.2、A【解析】

解出集合,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.3、C【解析】

由,再运用三点共线时和最小,即可求解.【详解】.故选:C【点睛】本题考查抛物线的定义,合理转化是本题的关键,注意抛物线的性质的灵活运用,属于中档题.4、A【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为,故选:A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.5、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.6、D【解析】

a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.7、A【解析】

由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.8、B【解析】

根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.9、B【解析】由题意或4,则,故选B.10、D【解析】

由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,可得当时最小,设正方体的棱长为,得,进一步求出四面体的体积即可.【详解】解:如图,

∵点M,N分别在棱上,要最小,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,三线共线时,最小,

设正方体的棱长为,则,∴.

取,连接,则共面,在中,设到的距离为,

设到平面的距离为,

.

故选D.【点睛】本题考查多面体体积的求法,考查了多面体表面上的最短距离问题,考查计算能力,是中档题.11、B【解析】

设贫困户总数为,利用表中数据可得脱贫率,进而可求解.【详解】设贫困户总数为,脱贫率,所以.故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.故选:B【点睛】本题考查了概率与统计,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.12、D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率,列出a的方程即可求解【详解】因为,且在点处的切线的斜率为3,所以,即.故选:D【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,是基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).14、【解析】,,所以,所以的解集为。点睛:本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理,再得到的解析式,求得的分段函数解析式,再解不等式即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。15、【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得,平方可得.【详解】∵,∴,则,平方可得.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,倍角公式的合理选择是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.16、5【解析】,即的最大值为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,问题得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【详解】(1)由题意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查了转化思想及化简能力,属于基础题.18、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即证.因为(当且仅当,时取等号).所以成立,故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,基本不等式的应用,属于中档题.19、解:设特征向量为α=对应的特征值为λ,则=λ,即因为k≠0,所以a=2.5分因为,所以A=,即=,所以2+k=3,解得k=2.综上,a=2,k=2.20分【解析】试题分析:由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k考点:特征向量,逆矩阵点评:本题主要考查了二阶矩阵,以及特征值与特征向量的计算,考查逆矩阵.20、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】

(Ⅰ)递推公式变形为,由数列是正项数列,得到,根据数列是等比数列求通项公式;(Ⅱ),根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式,并求前2020项和.【详解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵数列的各项都为正数,∴,即.∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴数列的前2020项的和为.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和,意在考查转化与化归的思想,计算能力,属于中档题型.21、(1)(2)见解析,最小值为4【解析】

(1)根据焦点到直线的距离列方程,求得的值,由此求得抛物线的方程.(2)设出的坐标,利用导数求得切线的方程,由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式,进而求得面积的最小值.【详解】(1)依题意,解得(负根舍去)∴抛物线的方程为(2)设点,由,即,得∴抛物线在点处的切线的方程为,即∵,∴∵点在切线上,①,同理,②综合①、②得,点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时,此时,可知:当,此时直线直线的斜率为,得于是,而把直线代入中消去得,即:当时,最小,且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式,考查抛物线方程的求法,考查抛物线的切线方程的求法,考查直线过定点问题,考查抛物线中三角形面积的最值的求法,考查

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