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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,若,则实数的值可以为()A. B. C. D.2.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.3.若,,,则()A. B.C. D.4.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.5.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.6.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.7.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.8.函数的图象可能为()A. B.C. D.9.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.10.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.11.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸12.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为_____.14.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.15.若变量,满足约束条件,则的最大值为__________.16.在长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.18.(12分)如图,底面是等腰梯形,,点为的中点,以为边作正方形,且平面平面.(1)证明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.19.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.20.(12分)已知a>0,证明:1.21.(12分)已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.22.(10分)已知是递增的等比数列,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意可得,根据,即可得出,从而求出结果.【详解】,且,,∴的值可以为.故选:D.【点睛】考查描述法表示集合的定义,以及并集的定义及运算.2、A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.3、C【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.4、D【解析】
设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.5、D【解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数,其导数函数,则有在上恒成立,则在上为增函数;又由,则;故选:.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.6、D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.7、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.8、C【解析】
先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为,所以是奇函数,故排除A,B,又,故选:C【点睛】本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.9、D【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.10、C【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.11、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.12、D【解析】
a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解:复数为纯虚数,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.14、【解析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【详解】解:由题意,设(1,0),(0,1),则(,﹣1),λ(1,λ);又夹角为60°,∴()•(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题.15、【解析】
根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.16、C【解析】
根据确定是异面直线与所成的角,利用余弦定理计算得到答案.【详解】由题意可得.因为,所以是异面直线与所成的角,记为,故.故选:.【点睛】本题考查了异面直线夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:(1)因为,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.【详解】(1)证明:因为点为的中点,,所以,因为,所以,所以四边形是平行四边形,因为,所以平行四边形是菱形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形,且,所以,则,设平面ABF的法向量为,则,不妨取,则,设平面DBF的法向量为,则,不妨取,则,故.记二面角的大小为,故.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.19、(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【详解】(1)依题,当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;当时,令,得,令,得所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数有极小值,且极小值为.综上:当时,函数无极值;当时,函数有极小值,极小值为.(2)令易得且,令所以,因为,,从而,所以,在上单调递增.又若,则所以在上单调递增,从而,所以时满足题意.若,所以,,在中,令,由(1)的单调性可知,有最小值,从而.所以所以,由零点存在性定理:,使且在上单调递减,在上单调递增.所以当时,.故当,不成立.综上所述:的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.20、证明见解析【解析】
利用分析法,证明a即可.【详解】证明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要证明1,只要证明a1(a)1﹣4(a)+4,只要证明:a,∵a1,∴原不等式成立.【点睛】本题考查不等式的证明,着重考查分析法的运用,考查推理论证能力,属于中档题.21、(1);(2).【解析】
(1)分类讨论,,,即可得出结果;(2)先由题意,将问题转化为即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出结果.【详解】(1)由得,若,则,显然不成立;若,则,,即;若,则,即,显然成立,综上所述,的取值范围是.(2)由题意知,要使得不等式恒成立,只需,当时,,所以;因为,所以,解得,
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