高中数学：周末练习二2021答案

周末练习（2）

一、选择题:

7♦7

1.设i为虚数单位，5表示复数Z的共舸复数，若z=l+i,则-r=（A）

z-z

A.-iB.2iC.-1D.1

x>1,

2.已知1,y满足约束条件（x+y<2,若2x+yN加恒成立，则用的取值范围是（D）

x-3y<0,

77

A.m>3B.m<3C.m<—D.m<—

23

3.已知线段/IB是圆C:/+）/=4的一条动弦，且|AB|=2g,若点P为直线x+y—4=0上的任

意一点，则|西+两]的最小值为（C）

A.2x/2-lB.2>/2+1C.4&-2D.4夜+2

4.已知a,a丰B,^ea-Z=sina-2sin/7,则下列结论一定成立的是（D）

冗冗

A.oc/3——B.a+/3=万C、a>BD.a</3

22

5.设。为坐标原点，直线）=匕与双曲线C:二-4=1（。>0,匕>0）的两条渐近线分别交于A5两

a~b~

点，若AQAB的面积为2,则双曲线C的焦距的最小值是（C）

A.16B.8C.4D.2

22

6.设椭圆E：「+[=1（“>6>0）的一个焦点尸（2,0）,点4（-2,1）为椭圆E内一点，若椭圆E上

a~0

存在一点尸，使得|尸山+|尸尸|=8,则椭圆E的离心率的取值范围是（A）

442222

C.D.

9,795

7.设等差数列｛凡｝,3_1)3+2019&_1)=],(o2015T丫+2019(02015T)=T，设｛4｝

前〃项和为S〃，则下列结论正确的是(A)

§2020=2020,“2015<a6B.*^2020=2020,〃2015>“6

C・S2020=-2020,^2015—o6D.S2020=-2020,“2015—a6

8.过双曲线C：方=1（4>0/>0）的左焦点尸作x轴的垂线交双曲线于点A,双曲线C上

7TTT

存在点3（异于点A）,使得乙钻尸=—,若NBAF=—,则双曲线的离心率为（C）

24

A.1+V2B.1+6C.2+>/2D.2+V3

9.如图"凡是椭圆£+方=l(a>b>0)的左、右焦点，

P,Q是椭圆上两点，满足「6//。耳，鸟乙Q,若

心。=32乙，则直线尸片的斜率为(D)

省11

A.-1B.--C.——D.——

337

10.在矩形ABCD中，AB=2K，A£>=3,E、尸分别为边A。、8c上点，且AE=8F=2,

现将A46E沿直线折成使得点人在平面5COE上的射影在四边形COEE内(不

含边界)，设二面角4-BE-C的大小为夕，直线A］与平面BCQE所成的角为a,直线人后与

直线8C所成角为A，则(D)

A.p<a<0B.p<O<a

C.a</3<0D.a<O<fi

二、填空题:

11.二项式［x-意J的展开式中，各项系数和为,含/项的系数是.

(1).-1(2),-280

12.已知随机变量X服从二项分布8(”,p),若E(X)=9,D(X)=W,则。=,

39

P(X=1)=

180

(1)•~(2).——-

3243

13.已知函数/(无)=sin(au+9)0>0,0<9<、)的图像关于点?,0对称，关于直线

4

x=q对称，最小正周期Te序;rj,则T=,的单调递减区间是.

2n「2左万7i2k兀54]/,小

(1).——(2).——+—,——+—(ZGZ)

3312312」、'

14.在A48C中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c.若C=2B,4h=3c,a=\,则sinA=,

AABC的面积是.

(1).2^(2).-

277

15.已知圆G：(x+3)-+y?=a?(a>7)和C2：(-X—3)'+y2-l,动圆〃与圆G,圆C2均

相切，P是AMGG的内心,且SA/>MG+SAPMC?=3SAPCC，则”的值为-17

16.设函数“x)=d-3x+3(xeE).已知a>0,且/(x)—/(a)=(x-Z?)(x—。)一，bGR,

则出?=.-2

17.已知矩形ABC。中，A3=4，AO=3,动点/、N分别在射线CB、CD上运动，且满

11—.—.—.

足一+―^=1.对角线AC交于点P,设AP=xAB+yA。，则x+>的最大值是

CMr2CN2

8

5

三、解答题：

冗

18.已知/(x)=sin(x+5)(/〃sinx+cosx)-sin?x的最大值为2,其中机>0,

(I)求“X)的单调增区间；(II)在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为。，匕，c,且

acosA

,求/(A)的值.

2b-ccosC

777

【解】(I)/(x)=cosx(msinx+cosx)—sin2x=—sin2x+cos2x

l，+l=2，m>0,Am=2A/3

・•・f⑺皿

・二于(x)=Gsin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

式冗兀

••------F2k71W2xH—〈—F2A乃，kwZ，••-----KA乃---Fk7l,A€Z,

26236

JIji

，./"(x)的单调增区间为一"+4)，*7+&乃keZ.

L36J

,acos4-fsinAcosA

(zITTI)x由-----=------可得-------------=------

2b-ccosC2sinB-sinCcosC

所以sinAcosC=cosA(2sinB-sinC),即sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB

即sin(A+C)=2cosAsin6,所以sin8=2cosAsinB

由8e(O,〃)，则sinBwO,所以cosA=g,Aw(0,〃)A=?

/(4)=吗)=24吟+令=1

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，ZABC=ZBCD=90c，ZBAD=60，AAOP是等腰等直

角三形，且AP=Z)P=VI,AB=2CD=2,BP=布.

(I)求证：ADVBP,

(H)求直线BC与平面AOP所成角的正弦值./7^'''''''''''''^

【解】(I)证明：取AO中点E,连接尸E、BE、BD,/一-、----亍＞,

如图：---------X/

：△ADP是等腰直角三角形，且AP=Z)P=J5,

4)_LP£且AD=2,

：AB=2且ABAD=60>/\ABD是等边三角形，，AZ)，3E,

又BEcPE=E,..AD上平面PBE,

•••u平面PBE,ADVBP-,

(II)：AE_L平面尸BE,以E为坐标原点，分别以AE,8£为不轴、,过点E与平面ABC。

垂直的方向为z轴建立空间直角坐标系E*yz如图所示：

则E(O,O,O),A(I,O,O),B(O,6,O),D(TO,O),

vAB=2DC=(-1,AO),c(-1,y^,0)»

VPE=i.EB=58P=S，

正“

./HE,DPE~+EB~-BP~x/3/neoi<c。"pn

一cosZ.PEB=---------------=>••NPEB=150>-LU,2口

2PEEB2I

_—.一(八］、

则BC=,——,0,AD=(-2,0,0)»AP=-1,——,

设平面ADP的一个法向量为3=(x,y,z),

ft-AD=-2x=0

则〈,__J31，取y=百则〃=(0,A/3,3),

n-AP=-x~-~■y+—z=0

2-2

设直线8C与平面AOP所成角为a,

_3

则ma=H爪崎=^=一2

6x264

3c1

20.已知数列｛。“｝满足4=一，a„~2-----“22,〃eN*.

a

2n-\

(I)证明：数列｛—｝为等差数列，并求数列仅“｝的通项公式；

a“T

(II)若%=一七，记数列｛%｝的前〃项和为《，求证：4<7；,<1.

n-24

3.11a——1

【解】(I)当q=一时，因为%=2-----,=1-----=——

2«„,(%%

11a,1<7„,-1

所以--------------=-n-----------=——=1,

an-1an-\-1an-\~1a„-\~1a„-\~1

所以数列｛―^）为首项为一；，公差为1的等差数列.

4-1-1

311,〃+2

又4=巳，-7=2,所以——-=n+l,解得q=——

124Tan-\n+1

〃+2n+211

(ID因为4=——，所以q,二

〃+1n-(n+l)-2"n-2"~'(n+l)-2H'

所以空=G+G+…+CT+C“

,11111,1

=1-------1-------------1---1-------------------=1-----------

2-212-213-22n-2"~'(〃+1)­2"(〃+1>2"'

即7>匕二2显然(<1，另一方面，

T_T=]1(11)=__!_________\____=〃+2

”'I—(〃+1>2"n-2"-'~n-2n-'(〃+1>2"一+

故数列是递增数列，所以7；27；=彳3，因此，3

r22l

21.已知椭圆「：宗■+方v=1（。＞匕＞0）的焦点耳工的距离为26，过F2且垂直于x轴的直线交

椭圆T于A,B两点,K|AB|=1.

（1）求椭圆「的方程；

（II）若存在实数f,使得经过相异两点P（4t,r+〃）和。⑵+2"+〃）的直线交椭圆「所得弦的

中点恰为点Q,求实数〃的取值范围.

2f2从1

2/7，---=1

【解】（I）根据题意：2c=2丛，—=b即彳a，解得a=2,故匕=1,

aa2-b2=c2=3

v-2

椭圆「的方程为、+y2=i.

4

（H）过尸、。两点的直线/的斜率为士工=」，直线/的方程y=—

2t-222

2

代入?+V=］可得/+［次+2（〃-『一4=0,

整理可得（1+厂）x"+4，（/z—厂）x+4（/z—厂）~—1=0,

依题意△=16/（万一产）--16（1+产）（〃一产）~一1＞0,即（〃一产丫＜1+产.①

若设直线/交椭圆「于点（%,y）,（x,,%），则依题意有为士私=一2'（〃一产）=2,+2,

21+/

经整理可得1+r=一。+〃»,f/o,即:+/=-（1+〃）.②

由题意fol，故由②可知一（l+〃）e（-oo,-2］U（2,”），再结合①可知：

若/＞0,〃（一3,则（/?一『）2＞（_3—尸）2=（3+『）2＞『+3＞1+/，不成立；

故〃21,r＜0,将②代入①消去产,可得（1+犷（1+/）2＜_（1+@，

再次将②代入①，可得（1+/?）2（1-//"＜一（1+〃）/,即（1+//）（2-/）＜0.

又hNLt＜0,故解得1＜。＜血.

22.已知函数/(x)=(〃z+l)lnx,g(x)=mx2+x,meR.

(I)当机=0时，曲线”(尤)=/(%)+一2一1(。6/?)在％=2处的切线与直线x+2y-l=0平

g(x)

行，求函数丁=。(尤)在［e,e2］上的最大值(e为自然对数的底数);

f(a)-八叽4〃

(II)当加=1时，已知0vav〃，证明:

a-bg(a)+g(b)-a-b

【解】(1)当m=0时，0(x)=lnxd----1,因此。(x)=-----79

XXX

而曲线>=。(处在x=2处的切线与直线x+2y—l=。平行,

故0(2)=----二—,解得々=4.

242

4x—4

所以放(x)=lnx+——1,(f)(x)=——,

XX

故当x«e,4)时,℃)<0,即