正方形和梯形讲义

学生：科目：数学第1阶段第次课教师：董英明课题正方形与梯形教学目标掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形；灵活运用正方形的该你那、特征、判定方法解决问题；掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；掌握等腰梯形的性质与判定；重点、难点掌握及灵活运用正方形与梯形的性质与判定考点及考试要求正方形的性质和判定梯形的性质和判定教学内容知识框架由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

2、正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．可以将正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：类别定义性质判定面积公式梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形中位线平行于两底且等于两底和的一半根据定义判定两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积等腰梯形两腰相等的梯形1.两腰相等；

2.同一底上的两角相等

3.两条对角线相等

4.等腰梯形是轴对称图形1.根据定义判定；

2.同底两角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性质根据定义判定2、解决梯形问题常用的方法：〔1〕“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形〔图1〕；

〔2〕“作高”：使两腰在两个直角三角形中〔图2〕；

〔3〕“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中〔图3〕；

〔4〕“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形〔图4〕；

〔5〕“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形〔图5〕．

图1图2图3图4图5

综上所述：解决梯形问题的根本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决。考点一：正方形正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。正方形的性质：所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．性质定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，正方形的性质可归纳为以下四条：〔1〕正方形的对边平行，并且四条边相等；〔2〕正方形的四个角都是直角；〔3〕正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；〔4〕正方形既是轴对称图形〔有四条对称轴〕，又是中心对称图形。正方形的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45度；正方形两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，两条对角线与边的夹角也是45度。正方形的判定：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形；定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。正方形的判定方法正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？典型例题1、(2008浙江义乌)以下命题中，真命题是()A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形〔2008广州市〕如右图，每个小正方形的边长为1，把阴影局部剪下来，用剪下来的阴影局部拼成一个正方形，那么新正方形的边长是〔〕AB2CD4、〔2008佛山12〕如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，那么∠ACP度数是°．BCBCDAP5、(2008黑龙江黑河)：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交〔或它们的延长线〕于点．当绕点旋转到时〔如图1〕，易证．〔1〕当绕点旋转到时〔如图2〕，线段和之间有怎样的数量关系？写出猜测，并加以证明．〔2〕当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测．BBBBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD课堂练习1、以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，那么∠FAB＝＿＿＿。2、一个正方形的对角线长3cm，那么它的面积为＿＿＿。3、如下图，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点，那么四边形ABCD的面积为＿＿＿。4、正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，那么点P到AC、BD的距离之和是＿＿＿。5、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，那么四边形EFGH是＿＿＿形。6、如下图不，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，假设AM＝10cm，那么GH＝＿＿。10、如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心，那么图中阴影局部的面积是＿＿。精心选一选！1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，以下条件能判定这个四边形是正方形的是＿＿。A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC2、如下图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连结DH，延长BE交DH于G，那么下面结论错误的选项是＿＿＿＿。A、BE＝DHB、∠H＋∠BEC＝90°C、BG⊥DHD、∠HDC＋∠ABE＝90°3、正方形具有而菱形没有的性质是＿＿＿。A、对角线互相平分B、每条对角线平分一组对角C、对角线相等D、对边相等4、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可作＿＿。A、1个B、2个C、3个D、4个5、在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有＿＿。A、5个B、12个C、9个D、15个6、如下图，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，那么∠AEB＝＿。A、10°B、15°C、20°D、12.5°7、以下说法错误的选项是＿＿A、四个角相等的四边形是矩形B、四条边相等的四边形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形8、如下图，在平行四边形ABCD中，AD＝2DC，M、N分别在AB两边的延长线上，且有MA＝AB＝BN，那么MC与DN的关系是＿＿。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能确定9、两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是＿＿＿＿cm2。A、75B、150C、200D、300简答与证明1、如下图，正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。请猜测EF与PD的数量关系、位置关系，并说明理由。2、：如下图，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如下图位置，连结DG、BE。试说明：DG＝BE。3、：如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明：ΔCGB是等腰三角形。4、如下图，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。5、：如下图，E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF6、如下图，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN⊥DM，BN平分∠CBE，试说明：MD＝MN。7、：如下图，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：∠FCA＝5∠F。8、如下图，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，试说明：ΔDEF是腰三角形。考点二:梯形梯形的概念：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。在梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。梯形是特殊的四边形，它保持了四边形的一般性质，同时还具有其特殊的性质：从边看成，平行的一组对边不能相等，否那么它就成了平行四边形；从角看成，同一腰上的两个角互补；梯形上下底是以长短区分的，不是由位置确定的。2、等腰梯形的定义：把两腰相等的梯形叫等腰梯形。3、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两个对角线相等。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。4、等腰梯形的判定：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形的判定方法有：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。简单平面图形的重心：作用于物体的各局部的重力，可以看成做一个大小等于各个重边总和的力作用于物体的苛一点，这一点就叫做物体的重心。注：一条线段的重心就是这条线段的中点；三角形的重心是它的三条中线的交点；平行四边形的重心是两条对角线的交点；中心对称图形的重心是它的对称中心点，轴对称图形的重心一定在它的对称轴上。典型例题DDCFBAE(2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线将剪开，那么得到的四边形是〔〕A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形〔2008年山东省潍坊市〕如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,那么∠C=()A.80°B.70°C.75°D.60°3.〔2008年湖南省邵阳市〕学生在讨论命题：“如图〔1〕，梯形中，，，那么．”的证明方法时，提出了如下三种思路．思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形；思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形；思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．ADADCB图〔1〕4.(2008广东深圳)如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．〔1〕求证：梯形ABCD是等腰梯形．〔2〕假设∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．课堂练习选择题：1．四边形四个内角的度数之比为2：2：1：3，那么此四边形是〔〕A任意四边形B任意梯形C等腰梯形D直角梯形2．在周长为40cm的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD＝5cm，那么△ABE的周长为〔〕A40cmB30cmC20cmD15cm3．以线段a＝16，b＝13，c＝10,d＝6为边画梯形，其中a、c为两底，这样的梯形〔〕A可画一个B能画二个C能画无数个D不能画4．梯形上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线交下底所得三角形周长为5cm，那么这个梯形周长为〔〕A151cmB201cmC207cmD263cm5．以下图形中不是中心对称图形的是〔〕A线段B矩形C等腰梯形D正方形填空题：梯形上底长为5cm，过上底的一端引一腰的平行线与下底相交，假设所得三角形的周长为20cm，那么梯形的周长为__________。等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，那么下底的一个底角为__________。假设等腰梯形ABCD的周长为30cm，AD∥BC,BC＝2AD，BD平分∠ABC，那么AB＝________,AD＝________,∠A＝_______，∠B＝________。梯形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝4：1：2，那么∠D＝__________。在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,∠B＝2∠D，AD＝a，CD＝b，那么AB＝________。等腰梯形的腰长与上底相等，下底是上底的2倍，那么这个梯形的各内角度数分别为__________。梯形ABCD的AD∥BC(AD>BC)，AD＝m，BC＝n,∠B＝55°,∠C＝70°，那么CD＝__________。O为梯形ABCD的对角线交点，BO＝2DO,△AOD的面积为a，那么△ODC的面积为_________。解答题：如图，梯形ABCD的AD∥BC，AB＝AD＝DC，BD＝BC，求∠C的度数。课后作业1.〔2007滨州〕对角线互相垂直平分的四边形是〔〕A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形2.〔2008常州〕顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是〔〕A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形3.〔2008扬州〕如图，四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是〔〕A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形ＡＦＣＤＢＥDCBAC．当∠ＡＦＣＤＢＥDCBA4.〔2007连云港〕如图，在中，点分别在边，，上，且，．以下四个判断中，不正确的选项是〔〕A．四边形是平行四边形B．如果，那么四边形是矩形C．如果平分，那么四边形是菱形D．如果且，那么四边形是菱形5.〔2007德州〕如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．假设，那么等于〔〕ＡＤA．B．C．D．ＡＤＢＦＣＥＢＦＣＥ6.〔2008潍坊〕如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，那么的周长为〔〕A．5cm B．8cm