模式识别练习题

第四章习题解1．设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，1=0，1=2，2=2，2=2，p(x)N(,)，窗函数P(ω1)=P(ω2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。解：1x，1x由Bayes最小损失判决准那么：如果，那么判，否那么判。如果，那么判，否那么判。-3，-2属于ω1；1，3，5属于ω2。2．在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用ω1和ω2表示，它们的先验概率分别为0.7和0.3，损失函数如表所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下：：0.1，0.15，0.3，0.6：0.8，0.7，0.55，0.3〔1〕 试用贝叶斯最小误判概率准那么判决四个样本各属于哪个类型；〔2〕 假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准那么判决四个样本各属于哪个类型；〔3〕 将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。表类型

损失判决ω1ω21(判为ω1)0.52.02(判为ω2)4.01.03(拒绝判决)1.51.5解：〔1〕两类问题的Bayes最小误判概率准那么为如果，那么判，否那么判。由数据，12=0.3/0.7=3/7，样本x1：∵l12〔x1〕=0.1/0.8<12=3/7x1ω2样本x2：∵l12〔x2〕=0.15/0.7<12=3/7x2ω2样本x3：∵l12〔x3〕=0.3/0.55>12=3/7x3ω1样本x4：∵l12〔x4〕=0.6/0.3>12=3/7x4ω1〔2〕不含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准那么为如果，那么判，否那么判。由数据，12=0.3〔2-1〕/[0.7〔4-0.5〕]=3/24.5，样本x1：∵l12〔x1〕=1/8>12=6/49x1ω1样本x2：∵l12〔x2〕=3/14>12=6/49x2ω1样本x3：∵l12〔x3〕=6/11>12=6/49x3ω1样本x4：∵l12〔x4〕=6/3>12=6/49x4ω1〔3〕含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准那么为其中条件风险：后验概率：记 (4.7-1)那么，含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准那么为对四个样本逐一列写下表，用(4.7-1)式计算r(j|x)。样本x1：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.10.7=0.07ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.80.3=0.24r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.07+2*0.24=0.5152(判为ω2)4.01.04*0.07+1*0.24=0.523(拒绝判决)1.51.51.5*0.07+1.5*0.24=0.465因为r(3|x1)=0.465最小，所以拒绝判决；样本x2：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.150.7=0.105ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.70.3=0.21r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.105+2*0.21=0.47252(判为ω2)4.01.04*0.105+1*0.21=0.633(拒绝判决)1.51.51.5*0.105+1.5*0.21=0.4725因为r(1|x2)=0.4725最小，所以判x2ω1，即灌木丛，或拒绝判决；样本x3：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.30.7=0.21ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.550.3=0.165r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.21+2*0.165=0.4352(判为ω2)4.01.04*0.21+1*0.165=1.0053(拒绝判决)1.51.51.5*0.21+1.5*0.165=0.5625因为r(1|x3)=0.435最小，所以判x3ω1，即灌木丛；样本x4：(j|ωi)类型损失判决ω1p(x|ω1)P(ω1)=0.60.7=0.42ω2p(x|ω2)P(ω2)=0.30.3=0.09r(j|x)1(判为ω1)0.52.00.5*0.42+2*0.09=0.392(判为ω2)4.01.04*0.42+1*0.09=1.773(拒绝判决)1.51.51.5*0.42+1.5*0.09=0.765因为r(1|x4)=0.39最小，所以判x4ω1，即灌木丛。3．假设两类二维正态分布参数为1=(-1，0)’，2=(1，0)’，先验概率相等。〔1〕令1=2=I，试给出判决规那么；2〕令解：Bayes最小误判概率似然比判决规那么为如果，那么判，否那么判。相应的负对数似然比判决规那么为如果，那么判，否那么判。对于正态分布〔1〕由，故，如果那么判，否那么判。〔2〕∵，，即，故，Bayes判决函数为d(x)=1.5-x。4．在目标识别中，假定类型1为敌方目标，类型2为诱饵〔假目标〕，先验概率P(1)=0.2和P(2)=0.8，类概率密度函数如下：〔1〕求贝叶斯最小误判概率准那么下的判决域，并判断样本x=1.5属于哪一类；解：〔1〕应用贝叶斯最小误判概率准那么如果那么判 得l12(1.5)=1<=4，故x=1.5属于2。5．设在三维空间中一个类别分类问题拟采用二次曲面。如欲采用广义线性方程求解。试向其广义样本向量与广义权向量的表达式，其维数是多少？答：设次二次曲面为

故广义权向量：

广义样本向量：

维数为9。6．设两类样本的类内离散矩阵分别为，

试用fisher准那么求其决策面方程。答：

由于两类样本分布形状是相同的〔只是方向不同〕，因此w0应为两类均值的中点

。

下列图中的绿线为最正确线性分界面。

7．有两类数据,分别为

试求：该组数据的类内及类间离散矩阵及。答：第一类的均值向量为

8．设一个二维空间中的两类样本服从正态分布，其参数分别为

，，先验概率

试证明其基于最小错误率的贝叶斯决策分界面方程为一圆，并求其