中考数学试题汇编12探索性问题含解析

专题12探索性问题

一、选择题

1.(2020年贵州省黔东南州第10题)我国古•代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨

辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)”的展开式的各项

系数，此三角形称为“杨辉三角”.

(a-b)^.............................①

公少............①①

/*•••♦••……介力小田

......①③③①

(a+b)4------①④⑥④①

(a-'-bP•••①⑤④⑥⑤①

•••♦♦♦

根据“杨辉三角”请计算(a+b)2°的展开式中第三项的系数为()

A.2020B.2020C.191D.190

【答案】D

【解析】

试题分析：根据图形找规律发现：

(a+b)：的第三项系数为3=1+2;

(a+b).的第三项系数为6=1+2+3;

(a+b):的第三项系数为10=1+2+3+4;

不难发现(a+b):1的第三项系数为1+2+3+…+(n-2)+(n~1),

(a+b)”第三项系数为1+2+3+-+20=190,

故选D.

考点：完全平方公式

2.(2020年内蒙古通辽市第10题)如图，点P在直线A8上方，且NAP3=90°,PCLAB于C,若

线段AB=6,AC=x,5”的=丁，则y与％的函数关系图象大致是()

AB

【答案】D

【解析】

试题分析：...PClAB于C,ZAPB=90°,

.".ZACP=ZBCP=90°,

ZAPC+ZBPC=ZAPC+ZPAC=90°,

.".ZPAC=ZBPC,

.".AAPC^APBC,

,PC_BC

"~iC~7c'

•「AB=6,AC=x,

.'.BC=6-x>

.\PC*=x(6_x),

.'.PC=Jx(6-x),

:.y=—AB'PC=3yj—xZ+6x=3(x—3)*+9,

故选：D.

考点：动点问题的函数图象

y=走九的垂线，垂足为点A］，过

3.(2020年四川省内江市第12题)如图，过点A(2,0)作直线1：

3

点Ai作AiAzJ_x轴，垂足为点Az,过点Az作A2A3，1,垂足为点As,—,这样依次下去，得到一组线段：AAi,

【答案】B.

【解析】

试题分析：由J=4x,得I的倾斜角为30°,点/坐标为（2,0）,：.OA=2,：.OA}=^-OA=43,

X（坐严叫出—一的长：X2X（E>a5=（£）g"，故选B.

考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题.

4.（2020年山东省日照市第10题）如图，ZBAC=60°,点0从A点出发，以2m/s的速度沿NBAC的角平

分线向右运动、在运动过程中，以。为圆心的圆始终保持与NBAC的两边相切，设。。的面积为S（cm。），

则。0的面积S与圆心0运动的时间t（s）的函数图象大致为（）

【答■案】D.

试题分析：・・・NBAC=60°,A0是NBAC的角平分线，

AZBA0=30°,

设。。的半径为r,AB是。。的切线，

VA0=2t,

/.r=t,

/.S=冗t2,

AS是圆心0运动的时间t的二次函数，

■:n>0,

二抛物线的开口向上，

故选D.

考点：动点问题的函数图象.

5.（2020年山东省日照市第11题）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的

值为（）

A.23B.75C.77D.139

【答案】B.

【解析】

试题分析：观察可得，上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,2:,23,…，所以b=T=64,

又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=ll坨4=75,故选B.

考点：规律型：数字的变化类.

6.（2020年湖南省岳阳市第7题）观察下列等式：吸=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

…，根据这个规律，则）+22+23+24+…+22°"的末尾数字是

A.0B.2C.4D.6

【答案】B.

【解析】

试题解析：'：^=2,2=4,2=8,2=16,2=32,2=64,

.,.20204-4=506-1,

C2+4+8+6）X506+2=10122,

.,.21+22+23+24+-+22020的末位数字是2,

故选B.

考点：尾数特征.

二、填空题

1.（2020年贵州省毕节地区第20题）观察下列运算过程：

计算：1+2+2、…+2叱

解：设S=1+2+2?+…+2吗①

①X2得

2S=2+22+23+―+211,②

②-①得

S=2n-1.

所以，1+2+22+-+210=211-1

运用上面的计算方法计算：1+3+32+・“+32°2。=.

32018_]

【答案】

2

【解析】

试题分析：令s=l+3+32+33+...+32017

3201s

等式两边同时乘以3得：3s=3+32+35+...+32013,两式相减得：2s=32M8-i,/.5=2------

2

32018T

故答案为：—

考点：规律型：数字的变化类.

2.（2020年贵州省黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标

系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0,1）,ZAB0=30°；第二块三角板

的斜边BBi与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B岛与第二块三角板的斜

边BBi垂直且交x轴于点Bz；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B】B£垂直且交y轴于点B3；-

【解析】

试题分析：由题意可得，

0B=0A'tan60°=\乂上二出,

0B=0B'tan60°-73=<）；=3,

OB-0°=（6）：，

•.•20174-4=506-1,

二点B；：：-的坐标为（0,-（百产D,

故答案为：（0,-（君）：”）.

考点：规律型：点的坐标

3.(2020年湖北省荆州市第14题)观察下列图形:

第3图形

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个点.

【答案】135

【解析】

试题分析：仔细观察图形：第一个图形有3=3X1=3个点，

第二个图形有3+6=3X(1+2)=9个点；

第三个图形有3+6+9=3X(1+2+3)=18个点；

..x43n(n+1),一

第n个图形有3+6+9+…+3n=3X(1+2+3+…+n)=--——1个点;

2

„…3x9x10人1

当n=9时，--------=135个点，

2

故答案为：135.

考点：规律型：图形.的变化类

4.(2020年山东省威海市第16题)某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的

图案，第二次拼成形如图2所示的图案，一第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按

照只有的规律进行下去，第〃次拼成的图案用地砖块.

【答案】2n2+2n

【解析】

试题分析：第一次拼成形如图1所示的图案共有4块地转，4=2X（1X2）,

第二拼成形如图2所示的图案共有12块地移，12=2X（2X3）,

第三次拼成形如图3所示的图案共有24块地穗，24=2X（3X4）,

第四次拼成形如图4所示的图案共有40块地嵇，40=2X（4X5）,

第n次拼成形如图1所示的图案共有2Xn（n+1）=2n；+2n块地石专，

故答案为2n,+2n.

考点：规律题目

5.（2020年山东省潍坊市第17题）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边

三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、

16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第〃个.图中正方形和等边三角形的个数之和为—

个.

【答案】9n+3

【解析】

试题分析：.•.第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

二正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+35

•.,第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

正方形和等边三角形的和=11+10=21=9X2+3;

•.・第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

，正方形和等边三角形的和=16+14=30=9X3+3,

・•・第n个图中正方形和等边三角形的个数之和二9n+3.

故答案为：9n+3.

考点：规律型：图形的变化类

_357911

6.（2020年湖南省郴州市第16题）已知q=,%=—,〃3=----,%=—,。5=----，，则

【答案】二17.

【解析】

试题分析：由题意给出的5个数可知：an=(-l)"^-，所以当n=8时，a8=—.

n-+165

考点：数字规律问题.

7.(2020年四川省内江市第26题)观察下列等式：

_2_______1_

第一个等式:

A'~1+3X2+2X22-2+122+1；

__________2__________J______1_

第二个等式:

出-1+3X22+2X(22)2-22+1-23+1!

__________2__________J______1_

第三个.等式:

%―1+3X23+2X(23)2—23+1-24+1；

__________2__________J______1_

第四个等式:

g-1+3X24+2X(24)2-24+l-25+l；

按上述规律,回答下列问题：

(1)请写出第六个等式：a6=—=；

(2)用含n的代数式表示第n个等式：a“==；

(3)ai+a2+a3+a4+a5+a6=(得出最简结果)；

(4)计算：ai+a?+…+an.

…4.八、2611，八2"11

［答案1(1)------7--------7—T，―7------7,----；(2)------------------,----------：---

1+3X26+2X(26)226+127+1l+3x2,!+2x(2")22,!+12"+1+1

11.(4)2J

43,3(2,,+1+1)

【解析】

试题分析：3）根据已知4个等式可得：

<2）根据已知等式得出答案；

（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得;

（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得.

试题解析：（D由题意知，3=E，故答案为:

l+3x20+2x(2:)2s+1l+3x2s+2x(2V

11

2f+l-2'+l；

、2n112"11

J'Ll+3xF+2x（2y-2"+l-2，+l，削百案为：1+3X2"+2X（2"F，2"+l~2^+l；

小T_11,11,1111.14

（3）原13式=----——=；+-——------…2——=--------------------.

2+12\12F2-+12、+12+12+12+143

故答案为：H；

43

一、店一111111112^-2

2+12*+12*+123+12"+12^+12+12M+13（2

考点：规律型：数字的变化类；综合题.

三、解答题

1.（2020年湖北省荆州市第20题）（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD,将4

ABC沿BC方向平移，使点B移到点C,得到4DCE.

（1）求证：4ACDg△£口（：;

（2）请探究4BDE的形状，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）4BDE是等腰三角形

【解析】

试题分析：(1)由矩形的性质得出AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90°,由平移的性质得：DE=AC,

CE=BC,ZDCE=ZABC=90o,DC=AB,得出AD=EC,由SAS即可得出结论3

(2)由AC=BD,DE=AC,得出BD=DE即可.

试题解析：(I).•・四边形ABCD是矩形，

.'.AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90o,

由平移的性质得：DE=AC,CE=BC,ZDCE=ZABC=90°,DC=AB,

/.AD=EC,

"AD=EC

在AACD和AEDC中，«AADC=ZDCE,

CD=DC

.'.AACD^AEDC(SAS);

(2)ABDE是等腰三角形；理由如下：

".,AC=BD,DE=AC,

.,.BD=DE,

••.ABDE是等股三角形.

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、平移的性质

2.(2020年山东省威海市第24题)如图，四边形ABC。为一个矩形纸片，AB=3,BC=2,动点P

自D点出发沿DC方向运动至C点后停止.AADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D,的位置.设

DP=x,与原纸片重叠部分的面积为y.

(1)当x为何值时，直线过点C?

(2)当x为何值时，直线A〃过的中点E?

(3)求出〉与x的函数关系式.

【答案】(1)当x=2叵巴时，直线AD1过点C(2)当x=2W—2时,直线AD1过BC的中点E(3)当

33

尤2+4

0Vx<2时，y=x；当2Vx<3时，y=------

2x

【解析】

试题分析：(D根据折嶷得出AD=AD：=2,PD=PD：=x,ZD=ZAD；P=90o,在Rt4ABC中，根据勾股定理求出

AC,在RtZlPCD：中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

(2)连接PE,求出BE=CE=1,在RtZkABE中，根据勾股定理求出AE,求出AD：=AD=2,PD=PD产x,口由=而

-2,PC=3-x,在RtAPD：E和RtAPCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

(3)分为两种情况:当0<xW2时，尸x;当2«3时，点D：在矩形ABCD的外部，PD：交AB于F,求出

A4PF,作PG1AB于G,设FF=AF=a,在RtaPFG中，由勾股定理得出方程(x-a):+2:=a:,求出a即可.

试题解析：

(1)

如图1,I•由题意得:AADP^AADjP,

/.AD=ADi=2,PD=PDi=x,ZD=ZADiP=90°,

•.•直线ADi过C,

/.PDi±AC,

23

在RtZkABC中，AC=72+3=A^3>CDI=/-2,

在RtAPCDi中，PC2=PD12+CDI2,

即(3-x)-x2+(岳-2)2,

解得:x=^lzf,

3

.•.当x=2而—4时,直线A。过点c；

3

(2)如图2,

AB

连接PE,

,•'E为BC的中点,

.".BE=CE=1,

22=f

在RtAABE中，AE=VAB+BEV10?

,/AD;=AD=2,PD=PDi=x,

.•力生=质-2,PC=3-x,

在RtAPD.E和RtAPCE卬,

x；+（而-2）；=（3-x）;+l;,

解得：x「晒-2,

3

.•.当xjW-2时,直线助过BC的中点E；

3

（3）如图3,

当0Vx<2时，y=x,

如图4,

4

图4

当2<xW3时，点D：在矩形ABCD的外部，PD：交AB于F,

,/AB//CD,

/.Z1=Z2,

,/Z1=Z3(根据折鑫)，

/.Z2=Z3,

/.AF^PF,

作PG1AB于G,

设PF^AF^a,

由题意得：AG=DP=x,FG=x-a,

在RtAPTO中，由勾股定理得：(x-a):+2:=a;,

解得：a=±T,

2x

1、X2+4X2+4

所以尸一x2x-----=------,

22x2x

x~+4-

综合上述，当0<xW2时，y=x；当2<xW3时，y=------

2x

考点：1、勾股定理，2、折叠的性质“3、矩形的性质，4、分类推理思想

3.(2020年辽宁省沈阳市第24题)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连

接CE,以CE为边，作正方形CEFG(点。，点/在直线CE的同侧)，连接放

(1)如图1,当点E与点A重合时，请直辞写出板的长；

(2)如图2,当点E在线段AD上时，AE=1

①求点尸到AD的距离

②求3尸的长

(3)若2尸=3加，请直谈写出此时AE的长

【答案】(1)BF=4，^;(2)①点尸到AD的距离为3；②BF=J7?；(3)AE=2+/T或AE=1.

【解析】

试题分析：（1）过点F作FMLBA,交BA的延长线于点M,根据勾股定理求得AC=40,又因点E与点4重

合，可得△丽为等腰直角三角形且距40,再由勾股定理求得AM=HI[=4,在RtZkBFM中，由勾股定理即可

求得BF=475;（2）①过点F作FHL仙交AD的延长线于点H,根据已知条件易证皿D=SFEH,根据全

等三角形的性质可得FH=ED,又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3,即点尸到皿的距离

为3;②延长FH交BC的延长线于点K,求得FK和BK的长，在RtABFK中，根据勾股定理即可求得BF的

长；（3）分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.

试题解析：

⑴BF=4括;

⑵如图，

①过点F作FH_LAD交AD的延长线于点H,

•；四边形CEFG是正方形

.,.EC=EF,ZFEC=90°

/.ZDEC+ZFEH=90O,

又因四边形.438是正方形

.'.ZADC=90°

.'.ZDEC+ZECD=90°,

.'.ZECD=ZFEH

又「NEDC=/FHE=90°>

，亚CD三4EH

.'.FH=ED

\"AD=4,AE=1,

/.ED=AD-AE=4-1=3,

/.FH=3,

即点尸到AD的距离为3.

②延长FH交BC的延长线于点K,

AZDHK=ZHDC=ZDCK=90°,

・•・四边形CDHL为矩形，

AHK=CD=4,

AFK=FH+HK=3+4=7

,:\ECD=\FEH

.\EH=CD=AD=4

AAE=DH=CK=1

，BK=BC+CK=4+1=5,

在RtABFK中，BF=yjFK~+BK2=A/72+52=y/14

（3）AE=2+"T或AE=1.

考点：四边形综合题.

4.（2020年湖南省岳阳市第23题）（本题满分10分）

问题背景：已知NEDF的顶点D在AABC的边AB所在直线上（不与A,B重合）.DE交AC所在直

线于点M,DF交BC所在直线于点N.记AADM的面积为H，ABND的面积为S2.

（1）初步尝试：如图①，当AABC是等边三角形，AB=6,NEDF=NA,且DE〃BC,AD=2时,

贝!!*•S2=；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4,再将NEDF绕点D旋转至如图

②所示位置，求，心?的值；

（3）延伸拓展：当AABC是等腰三角形时，设NB=NA=NEDF=a.

（I）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a,BD=6,求S/S2的表达式（结果用。，匕和

夕的三角函数表示）.

（II）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a,BD=A,直接写出与•S2的表达式，不

必写出解答过程.

【答案】⑴12;(2)12；(3)(ab)2sin2a.1(ab)2sin2a.

44

【解析】

试题分析：⑴苜先证明△成%ABDN都罡等边三角形，可得S=•二二2.=--：4囱，由

44

此即可解决问题J

(2)如图2中，设AM=x,BN=y.首先证明△AIDsZkBDN.可得丝=—,推出:=推出所8,

BDBN2y

11,33

由S：=-'AD'AM'sin60o=围区,Sr=-DB»sii«>o=—y,S；»S；=^x--y=-xy=12;

222'22

(3)I如图3中，设AM=x,BN=y,同法可证△AJDsZkBDN,可得x产ab,由S,=--AD'AM'sina=-axsinO,,

22

S；=—DB'BN'sinQ=—bysinCL,可得S/S：=L(ab)"sin1(!

224

(ID结论不变，证明方法类似，

试题解析：(1)如图1中，

ADB

图①

•••△ABC是等边三角形，

.'.AB=CB=AC=6,/A=/B=60°,

'/DE//BC,/EDR=60°,

.'.ZBND=ZEDF=60*,

.,.ZBDN=ZADM=60O,

「.△ADM,2\8口11都是等边三角形，

，S：=・2；=出,S；=，(4)；=4小，

44

.,.S；'S：=12,

VZMDB=ZMDN+ZNDB=ZA+ZAMD,ZMDN=ZA,

AZAMD=ZNDB,VZA=ZB,

.•.△AMD^ABDN,

.AM_AD

••茄一~BN9

••=,

2y

/.xy=8,

（3）I如图3中，设AM=x,BN=y,

同法可证△AMDSABDN,可得xy=ab,

/S：=--AD'AM'sina=-axsina,S：=-DB'BN'sma=-bysinQ,

2222

，SJS产一（ab）：sin；a.

4

II如图4中，设AM=x,BN=y,

同法可证△AMDS/\BDN,可得xy=ab,

1111

VSi=—•AD*AM*sina=—axsina，82=—DB*BN*sina=—bysina,

2222

.*.Si*S2=—(ab)2sin2a.

4

考点：几何变换综合题.

2019-2020学年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

x+y=3,\x=a.

L若二元一次方程组']）的解为7则力的值为（）

3x-5y=4[）=仇

17

A.1B.3C.------D.一

44

2.如图，在A5C中，ZACB=90°,分别以点A和点。为圆心，以大于工AC的长为半径作弧，两

2

弧相交于点M和点N,作直线交A8于点。，交AC于点E,连接CO.若=34。，则NBDC

的度数是（）

B.112°C.124°D.146°

3.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；©a-b+c>l；③abc>0；@4a

-2b+c<0；⑤c-a>l,其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤

4.一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（)

主视图左视图

俯视图

A.直三棱柱B.长方体圆锥D.立方体

5.如图所示的几何体的主视图正确的是（）

A.B.C・白

6.点P（1,-2）关于y轴对称的点的坐标是（

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)

7.计算（ab?）3的结果是（

A.ab5B.ab6C.a3b

8.已知直线y=ax+b（a/））经过第一，二,四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

9.已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比

乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）

x-50xxx-50

45045024504502

C.----------------——D.----------------——

xx+503x-50x3

10.某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设

原计划每天挖X米，那么求X时所列方程正确的是（）

480480,480480”

A.----------------=4B.---------------=20

x-20xxx+4

480480,480480.

C.----------------=4D.---------------=20

xx+20x-4x

11.已知AA3C（AC<BC）,用尺规作图的方法在上确定一点P,使K4+PC=BC，则符合要求的

作图痕迹是（）

AA

12.下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）

A.x2-x-l=OB.4%2-6X+9=0C.%2=：-%D.x2-mx-2=0

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.在ABC中，ZK：NB：NC=1：2：3,©口,居于点口，若AB=10,则BD=

14.如图，等腰△ABC中，AB=AC,ZDBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则NA的度数

15.如图，点A的坐标是（2,0）,AABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数y=月的图

x

象经过点B,则k的值是.

16.设小ABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，BEi、ADi相交于点O,△AOB的面积

记为Si；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD】相交于点O,△AOB的面积记为S?;…，依此类

推，则Sn可表示为.（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在

BC边上的点F处，那么cosZEFC的值是

18.从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张,

则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A

书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.学生小红计

划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修

同一门课程的概率为多少？

20.（6分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极

参与，实际参加的人数比原计划增加了50%,结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这

次植树活动？

21.（6分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,BA=BC,BD平分NABC.求证：四边形ABCD是菱

形；过点D作DELBD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.

22.（8分）如图，在RtZkABC中，CD,CE分别是斜边AB上的高，中线，BC=a,AC=b.若a=3,

b=4,求DE的长；直接写出：CD=（用含a,b的代数式表示）；若b=3,tan/DCE=g,求a

的值.

23.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。O,交BC于点D,连接AD.过点D

作DEJ_AC,垂足为点E.求证：DE是。O的切线；当。O半径为3,CE=2时，求BD长.

AOB

24.（10分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P

处测得该塔的塔顶B的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又

测得该塔的塔顶B的仰角为76。.求：坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.

3k

25.（10分）如图，直线yi=-x+4,y2=—x+b都与双曲线y=—交于点A（1,m）,这两条直线分别与x

4x

3k

轴交于B,C两点.求y与x之间的函数关系式；直接写出当x>0时，不等式：x+b>—的解集；若点P

4x

在x轴上，连接AP把AABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标.

26.（12分）如图，点A是直线AM与。O的交点，点B在。O上，BD±AM,垂足为D,BD与。O交

于点C,OC平分NAOB,ZB=60°.求证：AM是。。的切线；若。O的半径为4,求图中阴影部分的

面积（结果保留R和根号）.

27.（12分）在锐角△ABC中，边BC长为18,高AD长为12如图，矩形EFCH的边GH在BC边上,

EF

其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K,求大的值；设EH=x,矩形EFGH的

AK

面积为S,求S与x的函数关系式，并求S的最大值.

A

BHDC

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.D

【解析】

【分析】

先解方程组求出x-y=7,再将1,代入式中，可得解.

4[y=b,

【详解】

_/x+y=3,①

廨•13x-5y=4,②

①+②，

得4x-4y=7,

7

所以x—y=

4

x=a,

因为,

I,=4

7

所以x—y=

4

故选D.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型.

2.B

【解析】

【分析】

根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA.即可得到NDCE=NA,而NA和/B互余可求出NA,

由三角形外角性质即可求出NCDA的度数.

【详解】

解：YDE是AC的垂直平分线，

/.DA=DC,

ZDCE=ZA,

VZACB=90°,ZB=34°,

，NA=56°,

:.ZCDA=ZDCE+ZA=U2°,

故选B.

【点睛】

本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识,

解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

3.C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质逐项分析可得解.

【详解】

解：由函数图象可得各系数的关系：a<0,b<0,c>0,

则①当x=l时,y=a+b+c<0,正确;

②当x=-l时，y=a-b+c>l,正确;

③abc>0,正确；

④对称轴x=-l,则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=l>0,错误；

b

⑤对称轴x=--=-1,b=2a,又x=-l时，y=a-b+c>l,代入b=2a,则c-a>L正确.

2a1

故所有正确结论的序号是①②③⑤.

故选C

4.A

【解析】

【分析】

根据三视图的形状可判断几何体的形状.

【详解】

观察三视图可知，该几何体是直三棱柱.

故选A.

本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键.

5.D

【解析】

【分析】

主视图是从前向后看，即可得图像.

【详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

6.C

【解析】

关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P(L-2)关于y轴对称的点的坐标是

(T,-2),

故选C.

【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.

关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.

7.D

【解析】

试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可.

试题解析：(ab?)3=a3»(b2)3bl.

故选D.

考点：塞的乘方与积的乘方.

8.D

【解析】

【分析】

根据直线y=ax+b(ar0)经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过

哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决.

【详解】

•.•直线y=ax+b(a邦)经过第一，二，四象限，

.*.a<0,b>0,

.•.直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

故选D.

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

9.D

【解析】

4504502

解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：————=-.故选D.

x-50x3

10.c

【解析】

【分析】

本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际用时=1.

【详解】

解：原计划用时为：生实际用时为：理二

xx+20

位480480,

所列方程为：------------=4,

xx+20

故选C.

【点睛】

本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

11.D

【解析】

试题分析：D选项中作的是AB的中垂线，，PA=PB,VPB+PC=BC,

/.PA+PC=BC.故选D.

考点：作图一复杂作图.

12.B

【解析】

【分析】

根据根的判别式的概念，求出△的正负即可解题.

【详解】

解:A.X2-X-1=0,A=1+4=5>0,.•.原方程有两个不相等的实数根，

B.4X2-6X+9=0,A=36-144=108<0,...原方程没有实数根，

2

C.x=-x,x2+x=0,A=l>0,.••原方程有两个不相等的实数根，

D.x2-mx-2=0,A=m2+8>0,二原方程有两个不相等的实数根，

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式，属于简单题，熟悉根的判别式的概念是解题关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.2.1

【解析】

【分析】

先求出△ABC是NA等于30。的直角三角形，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求解.

【详解】

解：根据题意，设NA、NB、NC为k、2k、3k,

贝！Jk+2k+3k=180°,

解得k=30。，

2k=60°,

3k=90°,

；AB=10,

1

/.BC=-AB=1,

2

•:CD±AB,

,,.ZBCD=ZA=30°,

1

/.BD=-BC=2.1.

2

故答案为2.1.

【点睛】

本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理,掌握30。角所对的直角边等于斜边的一

半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键.

14.50°.

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD,根据等边对等角可得NA=NABD,然后表

示出NABC,再根据等腰三角形两底角相等可得NC=NABC,然后根据三角形的内角和定理列出方程求

解即可：

【详解】

VMN是AB的垂直平分线，,AD=”BD.".IZA=ZABD.

,.,ZDBC=15°,.,.ZABC=ZA+15°.

；AB=AC,AZC=ZABC=ZA+15°.

ZA+ZA+15o+ZA+15°=180°,

解得NA=50。.

故答案为50°.

15.G

【解析】

【分析】

已知AABO是等边三角形，通过作高BC,利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于

RtAOBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长