第13章轴对称全章教学案

13.1.1轴对称

一、学习目标：

i.理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与

轴对称的联系与区别。2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，发展学生的观察、归

纳、想象能力。3.激情投入，快乐学习，感受对称美。

二、重点难点

重点：对轴对称图形与轴对称概念的理解难点：轴对称图形与轴对称的联系与区别

三、合作学习(学生合作学习，教师积极参与)

1、在一张半透明的纸上画△A8C,使AB=AC,作BC上的高AO,沿直线AO折叠，

直线两旁的部分重合吗？

轴对称图形的定义：沿着一条宜线折叠,直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做

轴对称典型,.整条目线凹做匕咽对称钟。.

2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A(-1,3)、B(-2,-

4)、C(-3,-1)、Ai(1,3)、4i(2,*4)、G(3,-1),画出AABC和△AiBG，沿y

轴折叠，这两个三角形重合吗？

.对称购学X：.厂个图形涉着茶箓耳线折簟能宝与货1个图式事争.那4林哪3以

个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称

一点I—。

3、第2中的AABC和A4SC1全等吗？把其中的AAIBIG向下平移一个单位，得到

△A282c2，△A8C和△A282c2全等吗？折一折，△A8C和△A282c2成轴对称吗？

轴.移勺金等的卷余.购个圈4或触犯称,.WfcS全等；.：个留2舍等，.

不一定成轴对称。

4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？

区别：轴对称图形是一个图形关于某条直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线

对称。

联系：都是关于某条直线对称

四（一）精讲：例1下列图案中，不是轴对称图形的是（）

(0

例2、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（）

D.丑

例3、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形

出3CCD中X

例4、在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是

例5、下列图形中对称轴最多的是（）

A、圆B、正方形C、等腰三角形D、线段

（-）精练：1、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是

）

口0/Q2、写出10个“轴对称”的汉字,如“十、

上折右折右下方折沿虚线剪开

中”

回。OU五、小结：轴对称图形及轴对称的定义

ABCD

13.1.2线段的垂直平分线的性质

一、学习目标:

1、了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质,

掌握垂直平分线的性质，了解线段垂直平分线的画

法。2.发展学生观察、归纳及推理能力。3.极度热情，

力以赴，享受成功。

二、重点难点垂直平分线的性质

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、如图1,△ABC和△4SG关于y轴对称，点A的对应点是—，y轴经过线段

的中点吗？y轴垂直线段吗？

线段的垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线断的宜线，叫做这条

线段的垂直平分线。

2、在图1中，y轴是线段CG和BBi的垂直平分线吗？

轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所

连线段的垂直平分线。

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分

缪.

3、1）在一张半透明的纸上画线段用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线

CD,在CD上任取一点P,连结PA、PB,量一量PA、PB的长，你有什么发现？沿直线

CD对折，线段PA、P8重合吗？

垂直平分线的性质：△线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离相等。

你能证明这个性质吗？

2）,在一张纸上线段48及点外、尸2，使尸质=PI,PM=P2B,再画线段AB的垂直平

分线C£>,你又有什么发现？

垂直平分线的性质：2与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

匕

你能证明这个性质吗？

有一条线段43,怎样用享片和网物作出它的垂直平分线？说说其道理？

四、（一）精讲

作出下列图形的对称轴。A

Q29

例2、如图，点P在NAOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、。8•的对称

点，线段MN交04、08于点E、F,若△PEF的周长是20。"，求线段MN的长。

例3、△ABC中，OE是AC的垂直平分线，垂足为瓦A

交AB于点、D,AE=5cm,△CBO的周长为24。〃?，/\

求△ABC的周长。//\

（二）精练：

某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M,N表示大学，AO,B0表

示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距

离也相等.

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由./

-0,/

M'/

N,/

五、小结：/

垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质/B

学习反思：

13.2画轴对称图形

一、学习目标：

I、能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识

解决相应的数学问题。

2、通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象及推

理能力。

3、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。

二、重点难点

重点：作轴对称图形

难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。

三、合作学习(学生合作学习，教师积极参与)

1、复习引入回顾：线段公理；垂直平分线的性质。

2、自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开

纸，看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？

归纳：

(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线/成轴对称的图形，这个图形与原图形

的亭注、...木个.宛全那画;.

(2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于•直线/的对称点；

(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

3、把图1补成关于直线/对称的图形

-4•

.B

图2

四、（一）精讲

例1、如图2,如何在直线/上找一点P,使线段PA与PB的和最小？

（二）精练：1、把下列各图补成以“为对称轴的轴对称图形。

2、把图中实线部分补成以虚线/为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图

案。

B++

•李庄

张村oA

3、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。修在河边什么地

方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。

五、小结:

归纳:

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再

连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形：对于•些由直线、线段或射线组成

的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就

可以得到原图形的轴对称图形。

学习反思:

13.2.2用坐标表示轴对称

一、学习目标：1.掌握一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，并能利用这

种坐标的变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或），轴对称的图形。2.培养

学生探索问题的能力，•发展学生数形结合的思维意识。3.激情参与，阳光展示。

二、重点难点重点：1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关

系.2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.难点：用坐标表示

轴对称.

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1.如图一

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边圆脸右眼B的坐标为（4,3）,左眼A的坐标为（2,3）,嘴角两

个端点，右端点C的坐标为（4,1）,左端点。的坐标为（2,1）.

请根据图形写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标

4；Bi;Ci；D\

（3）A与4、B与Bi、C与G、。与Oi分别关于对称。

四、（一）精讲

例1、将一个点的纵坐标不变，横坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系

是;

将一个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系

是。

例2、已知点A（m+2,3）、B（-5,n+6）关于y轴对称，则〃尸.n-

例3、若点、PCa,3)和Pi(2,b)关于x轴对称，则方程ox+6=0的解

为o

例4、已知点42祖+1,〃?-3)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围

是o

例5、若|3a-2|+(b+3)2=0,点A(a,b)关于x轴对称的点为B,点B关于y轴对称

的点为C,则点C的坐标是。

例6、(1)请画出NMflC关于y轴对称的

(其中AB《分别是ABC的对应点，不写画法)；

1、

间的关系是.

若点P(a,6)、Q(c,4两点关于直线y=-2对称，则a、c间的关系是.b、d

间的关系是.

五、小结：1、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（羽-y）；点（x,y）关于y

•••••••«•*•••••••••••••・«•••••••••

轴对池迪点的空频是乂中,?),

2、对于这类问题，区攀去瓢耿耀史跳溪回滤3域蟀螭&蛔

举标，描出并连谈这学点，就可以彳寻到整个图塔的轴单理图形。

13.3.1等腰三角形（1）

一、学习目标：

1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角

形的性质解决一些实际问题。

2、通过独立思考、交流合作,体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

3、激情投入，收获成功。

二、重点难点

学习重点：等腰三角形性质的探索及应用

学习难点：等腰三角形性质的应用

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、复习引入：人三角形全等的判定方法2.有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫

做底角

2、用剪刀按照教科书介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形

吗？如果是，它的对称轴是什么？

3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三

角形的哪些性质？

性质1：等1三学形时两个底角相等（简写成“等边对等角“）；

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重:合。

你能证明这两个性质吗？

4、填空：如图1,在△A8C中4

；A

iu：AB=AC,ZBAD=ZCAD：.BD

39：AB=AC,BD=CD：.ZBAD=—

u

3：AB=ACfADLBC：.ZBAD=_一'-----'BDC

图1

四、（一）精讲：A

点。在上，

例1、如图2,在△ABC中，AB=AC,ACS.BD=BC=AD./\

求△ABC各角的度数。

C

图2

例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4,则这个等腰三角形顶角的

度数为o

A

例3、如图3,在AABC中，AB=AC,点E在3c上，/\

且AD=AE./\

求证：BD=CE/\

8。图EC

（二）精练：1、如图4,AB=AE,BC=DE,NB=NE^MLCD,垂足为点M

求证：CM=DM

A

CMD

图4

2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40",则底角为—。:

3一、如图5,在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,BF=CE,BD=CF,;/\

五、小结：腰三角形的哪些性质？B』------F~'

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“钟边对等角“）；图5

性质2：等嗖三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重含。

13.3.1等腰三角形（2）

一、学习目标：

1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；

2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的

能力;

3、极度热情，高度责任，享受学习的快乐；

二、重点难点

学习重点：等腰三角形的判定方法

学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

使用说明：先由学生自学教科书，经历自主探索总结的过程，然后独立认真完成学

案，用红笔标记出疑点与盲点，以备上学时展示和质疑。

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、复习引入回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定

2、用直尺和量角器画AABC,使/2=NC,再用刻度尺量一量线段A3、AC的长，

你有什么发现？

猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等。人

3、你能验证2中的猜想吗？

已知：如图在△ABC中，NB=NC/\

求证：AB=ACBL-----

等腰三角形的判定方法：如［.吩与曲形会四个用途等，.那42两个.用到的边也

.（简写感:.炉曲芍等边"。.

等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？

区别：___________________________________________________________

联系：__________________________________________________________

四、（一）精讲

Dx-----7c

例1.如图，AC和BO相交于点。，且AB〃£»C,

OC=OD,

求证：OA=OBAN---------------

例2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是

等腰三角形。

（二）精练:

1.如图，在AA8C中，AB=AC,ZB=36°,D、£是BC上的两点,

且则图中的等腰三角形共有（）个。

A.3个BA个C.5个D.6个

2.如图，△ABC中，NA8C与/ACB的平分线交于点0,过点0作EF〃BC,交AB

于点E,交AC于点尸

求证：EF=EB+FC.

五、小结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形角两个角个等，那么这两个角

所对的边也想等（简写成：等角对等边）

补充如图：E在△A8C的AC边的延长线上，。点在AB边上，DE交BC于点、F,

DF=EF,BD=CE。

求证：AABC是等腰三角形（提示：过点。作4E的平行线）。

E

学习反思:

13.3.2等边三角形

一、学习目标：

1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

二、重点难点

学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明

学习难点：等边三角形性质和判定的应用

学习方法：探索、归纳、交流、（二）精练

三、合作学习（学生合作学习，教师积极参与）

1、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的相等

（2）等腰三角形、、互相重合

2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是三角形，即

叫等边三角形。

3、思考：

（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到

什么结论？

（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

（3）你认为有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形吗？

归纳：

（1）等边二:角形的性质：等边二角形的每条边都相等，每个角都等于60度。

（2）等边二角形的判定：有一个角是60度的等腰二角形是等边二角形：二边都相

等的三角形是等边三角形：有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

四、（一）精讲

例1、如图，AABC是等边三角形，DE//BC,交AB,

AC于力，及求证是等边三角形。

DE

BC

例2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出

图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

（二）精练:

教材80页第1、2题（完成于书上）

五、小结：等边三角形的性质、判定

六、作业

1>如图，△AB。，△AEC都是等边三角形,

求证BE=DC

2、如图，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分线MN交AC于£>,求/£>8C的度

数。

学习反思:

13.3.2含30。角的直角三角形的性质

一、学习目标：1.掌握含30"角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实

际问题。2.培养学生的推理能力和数学语言表达能力.3.感受数学的严谨性，激发学生的

好奇心和求知欲。

二、重点难点：重点：含30。角的直角三角形的性质定理的证明与运用.

难点：含30。角的直角三角形的性质定理的证明。

三、合作学习1.复习引入回顾：等边三角形的性质与判定

2.问题：用两个全等的含30。角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一

个等边三角形吗？说说你的理由.

3.由2你能想到，在直角三角形中，30。角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能

用不同于教科书上的方法证明你的结论吗？

3.由3,我们得到下面的性质定理：

在宜在二角形角，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直供边等于斜边的一半。

1.填空：如右图，在△ABC中，卜

NC=9（T,NA=30"

C'--------------

*一一（---------------------------------------------）

四、（一）精讲

例1、如图是屋架设计图的一部分，点。是斜梁AB的中点，立B

柱BC、垂直于横梁AC,AB=7.4m,NA=30。,立柱8C、OE要多

长？AEC

例2、等腰三角形的底角为15。，腰长为2a,则腰上的高为。

(­)精练：1、已知：如图，△ABC中,

ZACB=90°,CD是高，ZA=30°.

求证：BD=-AB.

2、如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，S.AD=CE,AE与

8。相交于点P,于点F

求证:3P=2PF

五、小结

直用工方形中,30度角所到直角边等于斜边的二半

六、作业

1、如图：等边三角形ABC的边长为4c/w,点。从点C出发沿CA向A运动，点E

从B出发沿A8的延长线8F向右运动，已知点。、E都以每秒0.5a”的速度同时开始运

动，运动过程中OE与BC相交于点Pc

(1).运动几秒后，AAOE为直角三角形？/\

(2).求证：在运动过程中，点P始终为线段。E的/\

中点。(提示：过点。作AF的平行线)

A

B>EF

第13章轴对称复习导学案

学习目标：

1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质。

2.结合生活实例，欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象，感受对称的美学价值，体验几何

图形与自然、社会、人类的生活，增强学习数学的兴趣。

3.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用。

4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。

5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的轴

对称图案。

重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。

难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用，镜面对称下

图形的变化。

导学过程：

课前预习与导学

欣赏下面几张美丽的图片，回顾本单元的知识结构

1.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线,两侧的图形能够,这个图形就是轴对称图

形。折痕所在的这条直线叫做o图形上能够重合的点叫—。

分别在上面图形中画出它们的对称轴。

2.轴对称：欣赏下面几幅图片，并完成问题。

N

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于

这条直线成，这条直线叫做o两个图形中的对应点叫。如图，写

出一对对称点是。

3.轴对称的性质

上图中点4和尸的连线与直线MN有什么样的关系？同理，点C和〃，点8和E的连线

也被直线MN,图中相等的线段有：

，相等的角有：o

可以概括为：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对应点的连线被对称

轴.对应线段,对应角o

4.欣赏下面的图片，完成对镜面对称的回顾。

一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？

在照镜子时，镜子外的物体和镜子内的成像不变，

发生相反变化。

5.线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到的距离相等。

6.角的平分线的性质

角的平分线的性质上的点到的距离相等。

7.等腰三角形的性质

等腰三角形是图形，它的对称轴是,

等腰三角形的两个底角,_______________互相重合。

等边三角形的各角都是,有条对称轴。

课上探究

激情导入|：送一句话给全体同学

对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善……

----赫尔曼.外尔

一、独立完成发现问题|(自主学习)

1.自主梳理

(-)轴对称和轴对称图形的联系和区别

区别：轴对称是两个图形能沿对称轴折叠后能重合，指的是一个图形的位置关系。

而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合，曲也是具有对称性的_

个图形。

联系：

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。

如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对

称。

（-）线段垂直平分线的性质应用：三角形三边垂直平分线的交点到—

_________________距离相等o

（三）角的平分线的性质应用：三角形三个内角平分线的交点到距离相等。

（四）等腰三角形的三线合一性是指：.

2.自我诊断：

（1）下列说法中，正确的个数是（）

①轴对称图形只有一条对称轴，②轴对称图形的对称轴是一条线段，③两个图形成轴对称，

这两个图形是全等图形，④全等的两个图形一定成轴对称，⑤轴对称图形是指一个图形，而

轴对称是指两个图形而言。

（A）l个（8）2个（03个（0）4个

（2）轴对称图形的对称轴的条数（）

（A）只有一条（8）2条（03条（。）至少一条

（3）下列图形中，不是轴对称图形的是（）

（A）两条相交直线（8）线段

（C）有公共端点的两条相等线段（。）有公共端点的两条不相等线段

（4）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中是轴对称图形的共有（）

丰田三菱雪佛兰雪铁龙

（4）1个（B）2个（C）3个（D）4

（5）△ABC中，AB=AC,点。在AC边上，且BD=BC=AD,则NA的度数为（）

（A）30°（B）36O（C）45°（D）70°

（6）等腰三角形两腰分别为3和7,那么它的周长为（）

（A）10（B）13（C）17（。）13或17

（7）到三角形三个顶点距离相等的是（）

（A）三边高线的交点（8）三条中线的交点

（C）三条垂直平分线的交点（。）三条内角平分线的交点

(8)等腰△ABC中乙4=80。，若乙4是顶角，则NB=°；若NB是顶角，则N

B=°；若NC是顶角，则NB=°

(9)小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子己口：|三表，

其读数如图所示，则电子表的实际时刻是。

(10)若△ABC与△A如。关于直线何N对称，ZA=50°,N*=70。，则N。=。

自我总结：

你对以上问题感到还有疑惑的是：,

是哪个知识点没有掌握好呢'?