高中数学导数压轴题单变量与双变量不等式恒成立、能成立问题

最新高中数学导数压轴题

单变量与双变量不等式恒成立、能成立问题

【原件版】

一、单变量不等式恒成立、能成立问题

题型一证明不等式成立

1、已知函数/(x)=e，+or.(aeR)

(1)若”0,求函数f(x)的单调区间；

(2)若°=3，证明：当x>()时，〃x)>f+3x+l恒成立.

2、已矢口/(x)=xlnx+l,g(x)=-x2+/?w-l.

(1)对一切实数xe(0,+oo),2f(x)>g(x),求实数，〃的取值范围；

12

(2)求证：任意xw(0,+oo),\nx>---.

3、已知函数〃力=".

X

(1)函数g(x)=乎,求g(x)的单调区间和极值.

、13

(2)求证：对于Vxe(O,M)，总有

4、已知函数/(x)=alnx+L(aeR).

X

(1)讨论函数/(x)在区间［1,2］上的最小值;

(2)当。=1时，求证：对任意xe(0,+8),恒有/(©<'+3=成立.

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题型2根据恒(能)成立求参数范围

类型1根据恒成立求参数范围

1、已知函数/(x)=or2_(2“+i)x+lnx.

(1)当a=l时，求/*)的单调区间与极值；

(2)若/(X)<。恒成立，求〃的取值范围.

2、已知函数/(x)=a(e=ex)(axO).

(1)讨论”x)的单调性：

(2)若〃x)>x+l对xe[2,y)恒成立，求”的取值范围.

3、已知〃x)=e"2x+sinx,g(x)=+3-2x+2sinx+〃？.

(1)求〃x)的单调区间；

(2)若XNO时，/(x)Ng(x)恒成立，求，”的取值范围.

4、已知函数/。)=*一x.

(I)若曲线y=/(》)在点(O，/(O))处切线的斜率为I,求“X)的单调区间；

(2)若不等式〃-加对xw(O,e]恒成立，求”的取值范围.

5、已知函数/(x)=alnx-‘,g(x)=x+3,其中awR.

XX

(I)若a=l,求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若g(x)>f(x)对于任意的xe[l,ej恒成立，求实数。的取值范围.

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类型2根据能成立求参数范围

1、已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-华■(〃>()).

(I)若a=l,求函数的极值；

(2)设函数Mx)="x)-g(x),求函数〃(x)的单调区间；

(3)若存在毛«1，e],使得"与)<8(莅)成立，求。的取值范围.

2、已知函数/。)=加1门_/_<、在x=l处取得极值3-。，其中。也。为常数.

(1)试确定“，b的值；

(2)讨论函数/⑴的单调区间；

(3)若对任意x>0,不等式/(幻22/有解，求c,的取值范围.

3、已知函数〃x)=e*-依-1.

(1)当。=1时，求的极值；

(2)若/(力4/在xe[O,y)上有解，求实数”的取值范围.

4、已知函数〃x)=gx2-(“+2)x+2alnx(aeR).

(1)若曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程为"2x+b,求“+4的值；

(2)若a>0,讨论函数/(x)的单调性；

(3)设函数g(x)=-(〃+2)x,若至少存在一个％e[e,4],使得./•■)>8■)成立，求实数。的取值范围.

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b

5、已知函数/(x)=x-alnx+-,。，.

x

(1)若a>0,匕>0,且1是函数/(X)的极值点,求4+]的最小值；

ab

(2)若b=a+\,且存在e2，1],使/(%)<0成立，求实数a的取值范围.

e

6、已知函数/(x)='+41nx(且.

x

(1)若a=l,求函数/*)的极值；

(2)若存在x°e(O,e]，使得“Xo)<O成立，求实数”的取值范围.

二、双变量不等式恒成立、能成立问题

1、已知曲线/(力=加+加(。,屐R)在点(1J(1))处的切线方程是"2=0.

(1)求/(力的解析式；

(2)若对任意«-2,3],都有(乡)〉，〃？，求实数机的取值范围.

2、已知函数/(x)=lnx+x,g(x)=[g]-m,

(1)先证明单调性，再求函数/*)在口，2]上的最小值；

(2)若对曾华[1,2],加e[0,2],使得/(占)及区)，求实数机的取值范围.

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3、已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)证明："X)在(-8,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增；

(2)设。＞0，函数g(x)=2cos2%+acosx-a-g，如果总存在玉e,对任意々,

/(菁).名(王)都成立，求实数。的取值范围.

4、已知函数/(x)=(。+2)%2+Qt-lnx(。eR).

(I)当。=0时，求证：/(x)＞2x2-1.

2

(H)设81)=-—§/，若V*e(0,l],加e[0,l],使得〃xj..g&2)成立，求实数”的取值范围.

5、已知函数/(©ng-—(a+l)x+alnx.

(1)求函数Ax)的单调递增区间；

(2)任取aw[3,5],函数/(x)对任意外,％2e[l,3](%f)，恒有|/(再)-/(马)1＜幻X-々成立，求

实数4的取值范围.

6、设Ax)=：+xlnx,g(x)=j?-3.

(1)如果存在xi,愈昼[0,2],使得g3)-g(X2巨"成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s,rePk2"|,都有/(s)也⑺成立，求实数a的取值范围.

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7、已知函数於)=x-1-HnM〃<0).

⑴讨论函数./U)的单调性；

⑵当0<x,<r2<l时，都有—<上，求实数”的取值范围.

工1一%2

8、已知函数人x)=x-(a+1)lnx-eR),g(x)=*+ev-xex.

(1)当xG[l,e时,求加)的最小值；

(2)当”<1时，若存在MW[e,e2],使得对任意的MH-2,0],白修⑴)成立，求a的取值范围.

13

9、已知函数/(x)=lnx-1X+j-1

(1)求函数八》)的单调区间；

2

(2)igg(x)=-x+2Z?x-4,若对任意％G(O,2),X2G[1,2],不等式〃xj2g(马)恒成立，求实数方

的取值范围.

10、已知函数/(x)=*—gd+ar+KaeR).

(1)若x=3是函数/(X)的一个极值点，求a的值;

2___

(2)当。<2时，Vx,,X2G[0,2],"a)-/(w)|,,§恒成立，求〃的取值范围.

11、已知函数/(无)=。犹+4/一3%(。£R).

(1)若函数/(幻在点(1,7(1))处的切线方程为尸法-2(6eR),求。，6的值及/*)的极值；

(2)若a=l,对V%,x2G[1r2],当与v%2时，不等式/G)-/⑸)>'■-'恒成立，求实数m的取值

~x?X

范围.

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2022年高考导数压轴题

单变量与双变量不等式恒成立、能成立问题

【详细解析版】

一、单变量不等式恒成立、能成立问题

题型一证明不等式成立

1、已知函数./'(x)=e*+ax.("eR)

(1)若。＜0,求函数“X)的单调区间；

(2)若°=3，证明：当x＞0时，〃x)＞d+3x+l恒成立.

【答案】(1)在(Yo』n(-。))上单调递减，在(ln(-上单调递增；(2)证明见解析.

【分析】(1)求导可得/(X)解析式，令/'(x)=O,解得x=ln(-a),

分别讨论』n(-叫)和(ln(-a),欣)时，/’3的正负,可得/⑴的单调区间.

(2)令g(x)=/(x)—(x2+3x+l)=e*—Y-l,可得g，(x)="-2x,再令刈月=，-2x,

利用导数求得/?。)的单调区间和最值，即可得g'(x)＞。恒成立，可得g(x)的单调性和最值，

得证.

【解析】(1)f\x)=e'+a,

当。＜0时，令/''(x)=O,解得x=ln(-a).

当》变化时，/'(x),的变化情况如下表：

X(-00,In(-a))In(-o)(in(-a),+8)

广3—0+

小)减极小值增

所以。<0时，“X)在(Y°，ln(F))上单调递减，在(皿-4),一)上单调递增.

(2)证明：^g(x)=/(x)-(x2+3x+l)=ev-x2-l,则g，(x)=e*-2x.

令〃(x)=e*_2x,则”(x)=e*-2,

当0<x<ln2时，”(x)<0,〃(x)单调递减，

当x>ln2时，〃(x)>0,〃(x)单调递增;

/?(%)>/?(ln2)=e'"2-21n2=2-21n2>0,即g'(x)>0,恒成立.

所以g(x)在(0,m)上单调递增，所以g(x)>g(o)=i-o-i=o,

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所以e，-x2-l>0,即当x>0时，/（可>^+3犬+1恒成立.

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2、已知/(x)=xln.r+l,g(x)=-x2

(1)对一切实数xe(O,+8),2/(x)>g(x),求实数，〃的取值范围；

10

(2)求证：任意K£(0,+8),lnx>-.

eex

【答案】⑴(TO,4];(2)证明见详解.

【分析】(1)把/(x)与g(x)的解析式代入已知不等式，整理后设/心)=21门+》+[,xe(O,+8),

求出〃(x)的导函数，根据导函数的正负判断增减性，进而求出力(x)的最小值，可确定，〃取值

范围.

(2)所证不等式两边同时乘以X,左边为/("-1,右边设为〃，(工)=5一|仁>0)，

求出左边的最小值以及右边的最大值，比较即可证明.

【解析】⑴若2/(x)Ng(x),贝!|一/十九1一1工2\由工+2,即〃7w21nx+x+3,

x

A(x)=2Inx+x+—,xe(0,+oo)

贝必，3=—=正号旦色芈R,

XXX，X

'.'xw(o,l)时，A*(x)<0,6(x)单调递减；xe(l,+8)时，->0,〃(x)单调递增；

.•./r(x)min=^(l)=4,故阳£4,即实数，〃的取值范围为(-oo,4].

17r?

(2),工6(0,+00)等价于证明.「||1'>-^一一,

又/(x)=xlnx+1(x>0),/*(x)=ln.v+1,

令/"(x)=0,解得x=L

e

当xe(0,1时，/'(x)<0,/(x)单调递减；当xwg,”)时，/'(x>>0,/(x)单调递增；

•■•/(XL=所以>=xlnx的最小值为-%

设"，(*)=]一|(\>。)，则"(x)=£^,

当xe(O,l)时，机(x)>0,用(工)单调递增；当xw(l,+00)时，机(x)vO,单调递减；

又.j=的最小值为-1，且与〃，(x)不同时取到同一个工的值，

e

从而对一切》£(0,+8),■-二恒成立，

exe

i7

即任意xe(O,+8),lnx>-----恒成立.

eex

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3、已知函数〃x)=乙.

X

(1)函数g(x)=，D,求g(x)的单调区间和极值.

13

(2)求证：对于Vx«0,4w),总有〃x)>/nx-j

2

【答案】(1)g(x)在(0,2)上单调递减，在(fo,0)和(2,+8)上单调递增；极小值g(2)=(e,无极大值；

(2)证明见解析.

【分析】(1)写出g(x)的函数表达式，通过求导写出单调区间和极值即可

(2)证明〃x)>Jnx-1恒成立，结合(1)得，

等价于2>；(lnx-3)恒成立，且已知左式的最小值，只要大于右式的最大值，则不等式恒成

x4x

立

r*73+r-1/i、/、e*,e'>JC—2xe'e'(x—2)

【解析】(1)g(x)=7ng(x)=---------------=-p-,

当0<x<2时,g'(x)<0;当x<0或x>2时，g'(x)>。,

，g(x)在(0,2)上单调递减，在(-8,0)和(2,—)上单调递增；

故g*)有一个极小值g(2)=0,无极大值.

4

13ex13ex1

(2)证明：要证/(x)>/nx一成立，只需证三成立，即证二>；(lnx-3)成立，

44x44.V4x

14—Inx

<$-/?(x)=—(lnx-3),则“(x)=”,

4x4r

当0<x<e岬寸，"(x)>0;当x>e4时,h'M<0,

.»(x)在(0,e4)上单调递增，在(e4,+8)上单调递减，

••・/7。)2="(巧=5,

••,g(x)=*■由(1)可知g(x)向“=g⑵=?,

••♦gd1mx，,ga)>A(x),

13

,V(x)>lnx".

44

4、已知函数/(x)=alnx+!(aGR).

X

(1)讨论函数/(x)在区间［1,2］上的最小值；

(2)当a=1时，求证：对任意xe(0,+oo)，恒有/(x)<''廿『成立.

X

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【解析】(1)函数/。)=。1门+’的定义域是(0,+8),

X

r(x)=@-!=竺二.当。,,0时，处—i<o,竺二<o，贝!ir(x)<o,

XX"XX

则函数/(X)在(0,m)上单调递减，即函数/(X)在区间［1,2］上单调递减，

故函数fM在区间［1,2］上的最小值为/(2)=«ln2+1.

当a>0时，令/'(x)<0，得0c;令/'(x)>。，得x>」;

aa

故函数/(X)在(o,J上单调递减，在［5,+8)上单调递增.

当L1,即&.1时，函数/(沙在区间口，2］上单调递增，

a

故函数/(X)在区间U，2］上的最小值为f⑴=1;

当L.2,即0<%！时，函数/(x)在区间口,2］上单调递减，

a2

故函数fM在区间［1,2］上的最小值为/(2)=aln2+1；

当1」<2,即，<a<1时，函数f(x)在」上单调递减，在化21上单调递增,

此时函数/(X)在区间［1,2］上的最小值为/(1)=aIn：+a.

综上，当知；时，函数/⑴在区间工2］上的最小值为/(2)=aIn2+；;

当!<a<l时，函数f(x)在区间［1,2］上的最小值为=a；

2\a)a

当a..1时，函数/(x)在区间",2］上的最小值为/(I)=1.

(2)当。=1时，/(x)=lnx+-,

X

xx

句、T、e+cosx口、T11e+cosx

要证/(x)<--------,即证nlnx+-<---------,

XXX

因为x>0，所以两边同时乘x,得xlnx+1ve"+cosx,

BPiIExlnx<ev+cosx-l.

当0v兀，1时，x\nx,,0，而"+cosx—1>1+cosl-l=cosl>0,

e

所以xlnx<e"+cosx-1成立，即f(x)<+。。」'成立.

x

当%>1时,v,h(x)=ex+cosx-xlnx-l(x>1),

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贝[]。(工)=/一$巾元一111%一1.

igg(x)=ex-sinx-Inx-l(x>1)一则因为g(%)=e*-cosx—.

x

因为x>l,所以g(x)="-cosx-,>e-l-l>0,

x

所以当x>1时，g(x)单调递增，所以g(x)>e—sin1-1>。，即h\x)>0,

所以A(x)在(1,+o。)上单调递增，所以〃(x)>e+cos1—1>0,即/(幻<婷+^^成立.

X

综上，对任意XG(0,+8)，恒有/(x)<g<+COSX成立.

X

题型2根据恒(能)成立求参数范围

类型1根据恒成立求参数范围

1、已知函数/。)=加-(2a+l)x+lnx.

(1)当a=1时，求f(X)的单调区间与极值；

(2)若"幻<0恒成立，求”的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为(*),(1，内),单调递减区间为(；1)，极大值=,极小值

/(1)=-2

(2)(-1,0]

【分析】(1)由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；

(2)分情况讨论，利用导数研究函数的单调性和极值即可求解.

【解析】(1)当a=l时，函数f(x)=x2-3x+lnx，定义域为(0,+8),

r(x)=2x-3+'=2x2-3x+lJ2..1)(x-l)

XXX

当ra)>o时,o<x<g或x>i；当ra)<。时,”<1,

所以函数/a)的单调递增区间为,。，内)，单调递减区间为，

所以当X时，函数“X)取得极大值/(£[=-：一ln2,

当x=1时，函数/*)取得极小值/⑴=-2.

(2)f'(x)=2ax-(2a+1)+-=.

XX

①当a>()时，f(x)=ax2-(.2a+])x+]nx,xe(0,+a5),

令ax2-(2a+l)x>0,解彳导方>2+1，

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则当/£(2+_,+00)时，办：一(24+1)工0〉0，且lnx0>In2>。，

a

所以函数/")=〃2一(2。+1口+1!^〉0恒成立,不符合题意，舍去；

②当心0时，令/'(x)>0,解得O<X<1；令/'(x)<0,解得x>l,

则函数f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，叱)上为减函数，

所以函数〃x)在x=l处取得极大值，也是最大值，

要使得/。)<0侬立，贝！|只需/6=。一(2。+1)<0,解得1,故一l<aV0.

综上，”的取值范围是(TOL

2、已知函数/(x)=a(e'-ex)(a*O),

(1)讨论“X)的单调性：

(2)若〃x)>x+l对xe［2,+oo)恒成立，求”的取值范围.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)(/三，加°)

【分析】(1)求导得,在分a>(),a<0两种情况讨论求解即可；

V-_1_1

(2)根据题意将问题转化为。/二最对xe［2,田)恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.

【解析】(1)函数的定义域为R,r(x)=a(e'-e).

当。>0时，令f'(x)>0,得x>l,令f'(x)<0，得;

当"0时，令ra)>o，得x<i,令ra)<o，得x>i.

综上，当4>。时，/(X)在(F』)上单调递减，在(1,的)上单调递增；

当。<0时，”X)在("』)上单调递增，在(1，叱)上单调递减.

(2)由(1)知,函数g(x)=e，-"在［2,+oo)上单调递增,

则g(x)Ng(2)=e(e-2)>0,

V*_1_1

所以“X)>x+1对xW2,e)恒成立等价于a>/二对X《2,y)，恒成立.

v

设函数Mx)=F±(x22),则"("=e-xe

设P(x)=e-xe'(xn2),则p'(x)=-(x+l)e*<。,则p(x)在［2,4w)上单调递减，

所以p(x)V#2)=e-生之。，贝小)<0,

所以〃(x)在［2,”)上单调递减，

3

所以Mx)11Mx=九⑵=/二五；

故，即a的取值范围是［3^，+°°］.

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3、已知/(x)=e*-2x+sinx,=-x3-2x+2sinx+m.

(1)求“X)的单调区间；

(2)若x20时,/(x)Wg(x)恒成立,求m的取值范围.

【答案】(1)在(-8,0)单调递减，在(0,内)单调递增.(2)m<l

【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；

1,1,

(2)将问题转化为“4,-sinx在X..0恒成立,令"(x)=e、'-sinx(x..O),

再利用(1)的结论进行求解，即可得到答案；

【解析】(1)1•,f(x)=ex-2x+sinx,二/⑶=e*-2+cosx,

①当内,0时，e"—2e(―2,-1］,—掇ijcosx1,

e*-2+cosx,0在％,()恒成立,0,/*)在(YO,0)单调递减,

②当x>0时，令g(x)=ex-2+cosx,贝I」g'(x)=e*-sinx>0在x>0恒成立，

••以力在(0,xo)单调递增,且g(0)=0,8(》)>。在(0,+8)恒成立,

即广(x)>0在(0,+8)恒成立，

/(X)在(0,+co)单调递增，

综上所述：/*)在(7,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

(2)当X..0时，e'-2x+sinx..^x3-2x+2sinx+w

m,,es-x3-sinx在x..0恒成V7,令u(x)=e*-g/-sinx(x..0),

,:u(x)=ex-x2-cosx,令v(x)=ex-x2-cosx(x..0),

由(I)得M(x)=e*-2x+sinx..u'⑼=1,.”(x)在(0,+oo)单调递增，且v(0)=0,

.•.〃即0在让0恒成立,.」，(x)在0+8)单调递增，“(0)=1,

m<w(x)mi„=M(0)=1.

4、已知函数/(x)=*-x.

(1)若曲线y=/(x)在点(0,〃。))处切线的斜率为1,求“X)的单调区间；

(2)若不等式/(x)Ze“'lnx-办2对xe(0,e］恒成立，求”的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为1-8,一等］,单调递增区间为［-写，+8)；(2)1,+«

【分析】(1)由题设/'(x)=a*T,根据导数的几何意义有/"(0)=1,可求〃，

即/'(x)=2e2v-l,进而可求/(x)的单调区间；

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(2)由题意，函数不等式恒成立可转化为xe(/O,e-］i上1上n一_」12吧Inv」—1恒成立，

ex

构造函数g(力=yF，应用导数研究其单调性可得a2?在Xe(0,e］上恒成立,

InY

即在xe(Q,e］±a>(―)^即可求a的取值范围.

【解析】(1)/'(x)=ae"—l,则7(0)=。-1=1,即。=2.

所以/'(x)=2e2'_l,令/”)=0,得％=-手.

当x<一号时，/")<0；当了>-(时，/")>0.

故"X)的单调递减区间为卜°，-野)，单调递增区间为(一野，+8

(2)由/(x)之6皿1!1》_打2,即,

.ax-1lnx-1,,Ineax-1Inx-l-

有二1N------,故仅需--->-------即可.

exex

设函数g(x)=@"，则上』匚2小」等价于g(二)»g(x)•

xex

2-lnx

因为g'(x)=

所以当xe(O,e］时，g")>0,则g(x)在(0,e］上单调递增,

所以当xe(0,e］时，g(*)之g(x)等价于当xe(0,e］时，

g(e"')?g(x),eaK>x,即。之匚三恒成立.

X

设函数/?(x)=g,xe(O,e］设,

九X

即h(x)在Xw(0,e］递增，所以h(x)mm=Me)=-,贝!|a2J即可,

所以"的取值范围为*

5、已知函数/(x)=alnx-‘,g(x)=x+q，其中aeR.

XX

(1)若a=l,求曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程;

(2)若g(x)>f(x)对于任意的xc［l,e］恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)2x-y-3=0；(2)_2<4<=.

e-1

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【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程；

(2)将不等式对于任意的xe[l,e]恒成立转化为任意的xe[l,e],

XX

x—aInx+>0怛成立,设〃(x)=x-alnx+^^,xe[l,e],求导,

xx

分a+141,«+l>e,+讨论，通过求%(x)>0求实数”的取值范围.

【解析】(1)由题意知：/(x)=lnx--,/(D--1,即切点为(1,-D,

x

小)="，加)=2，

故切线方程为：y+l=2(x-l),即2x-y-3=0.

(2)由题意知：不等式x+g>alnx」对于任意的xe[l,e]恒成立，

XX

任意的xc[l，e],x-alnx+四>0恒成立，

X

i^h(x)=x-a\nx+^-^-,xG[l,e],

x

A，W=(X+1)(X-£-1),XE[IE]

厂

①当—1,即aKO时,h'(x)>0,人⑴为增函数，

〃(幻min=力(1)=2+。>0,gpa>—2,—2vaW0满足.

②当a+lNe,即心e-l时，H(x)<0,力(冗)为减函数,

，6(x)min="(e)=e-Q+^^>0,BPa<黄足

ee-1e-1

③当Iva+lve时，即Ovave-l时，

当XWUM+1]时，/?(x)<0,当xw(〃+l,e|时，/z(x)>0,

••只需力(x)min=h(a+1)=〃+2-aln(a+l)>0,

即做外mm=。27n(a+1)+1>0,

a

2

设〃(〃)=——ln(a+l)+l,其中Ovave—1,

a

22

F(〃)=__In(a+l)+l为递减函数，.•.F3)>F(e_l)=「〉0,

ae-1

故Ovave—l,力(x)mm=〃(。+1)=。+2-aln(〃+l)〉0,

।八e~+1

综上：-2<a<----.

e-1

类型2根据能成立求参数范围

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1、已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-9(a>0).

(1)若”1,求函数〃x)的极值；

(2)设函数Mx)=/(x)—g(x),求函数〃(x)的单调区间；

(3)若存在飞中,e],使得/(x0)<g(x。)成立，求〃的取值范围.

、,、/V+1

【答案】(1)极小值为1,无极大值(2)单调递增区间为(l+a,4w)，单调递减区间为(01+。).(3)―-,+=o

6—1

【分析】(1)研究〃x)=x-Inx的单调区间，进而求出/(X)的极值；

(2)先求/(X),再解不等式”(x)>0与〃(x)<0,求出单调区间，注意题干中的〃>()的条件；

(3)先把题干中的问题转化为在xe[l,e]上有刈刈而“<0，再结合第二问研究的〃(x)的单调区间,

对“进行分类讨论，求出不同范围下的妆x)mi“，求出最后结果

1T一]

【解析】(1)当4=1时，〃x)=x—lnx,定义域为(0,+巧，尸(力=1-丁三

令r(x)=o得：*=1,当》>1时，ra)>o,“X)单调递增；

当0<x<l时，r(x)<0,“X)单调递减，

故X=1是函数f(x)的极小值点，“X)的极小值为/⑴=1,无极大值

(2)/?(x)=/(x)-g(x)=x-alnx+^^(a>0),定义域为(0,+勿)

,,z\]a1+4/x)—cix—1—a(x+l)(x—1—4)

〃(町=1------------=----------i--------=------------------------

XX'X'X

因为4>0,所以1+4>(),令〃'(x)>0彳导：x>l+a,令/?'(x)<0彳导：()<X<l+4,

所以〃(x)在(1+4,内)单调递增，在(0，1+。)单调递减.

综上：〃(x)单调递增区间为(1+4,田)，单调递减区间为(0,1+“).

(3)存在/e[l,e],使得"x0)<g(x。)成立,

等价于存在％叩，e]，使得〃(占)<0，即在xe[l，e]上有〃(*山<0

由(2)知，〃(X)单调递增区间为(1+4内)，单调递减区间为(0,1+“)，所以

当1+aNe，即aNe-l时，〃(x)在xe[l,e]上单调递减，故〃(x)在x=e处取得最小值,

由"(x)mM="(0)=«—。+坐<。彳导：，因为,故

ee-1e-\e-1

当l<l+ave,即0<ave-l时，

由(2)知：/2(x)在xe(l1+。)上单调递减，在x«l+〃,e)上单调递增，

〃(x)在XE[1，e]上的最小值为〃(1+Q)=2+a—aIn(1+Q)

因为0vln(l+a)vl,所以0v41n(l+a)v〃，

贝！J2+o-aln(l+〃)>2,即〃(1+。)>2,不满足题意，舍去

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综上所述：a的取值范围为[三,+8

2、已知函数/（x）="2inx-"2-c在x=l处取得极值3—c，其中。也。为常数.

（1）试确定“，〃的值；

（2）讨论函数Ax）的单调区间；

（3）若对任意x>0,不等式〃x）22/有解，求。的取值范围.

【答案】（1）。=-6；b=-3；（2）单调递增区间为（0,1）,〃x）的单调递减区间为（1收）；（3）

【分析】（1）由〃1）=3-c,求得b,由/'（1）=0,得分

（2）将⑴中得到的。涉的值代入函数表达式，进而得至!l/'（x）=T2xlnx.

判定导数的正负区间，进而得到单调区间；

（3）由（2）知，得到函数/（X）最大值，根据不等式有解得到。的不等式求解即得.

【解析】（1）由题意知/⑴=3-。,因此—》—c=3—c,从而/，=—3.

由题意求导得尸（1）=0,因此2。=0,解得。=-6;

（2）由（1）知/'（x）=T2xlnx.令〃尤）=0,解得x=l.

X（0」）1(1,同

r（x）+0-

“X)极大值/⑴

因此的单调递增区间为（0,1），而/（力的单调递减区间为。，内）；

（3）由（2）知，“X）在x=l处取得极大值/（1）=3-。，此极大值也是最最值.

要使/（X）22/（x>0）有解，只需3-cN2c2.

□

即2c2+.340，从而（2c+3）（c-l）40.解得-yc〈l.

'3'

所以c的取值范围为