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文档简介
《直线与平面垂直的判定》教学设计
一、教学内容分析
本节课选自高中数学新人教版必修2A版第二章,“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一
课时。主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。其中,线面垂直的定义是
线面垂直最基本的判定方法和性质,它是探究线面垂直判定定理的基础;线面垂直的判定定
理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化,它既是后面学习面面垂直的基础,又是连接
线线垂直和面面垂直的纽带!
本节课中,学生将按照“直观感知一操作确认一归纳总结”的认知过程展开学习,对大量图
片、实例的观察感知,概括出线面垂直的定义;对实例、模型的分析猜想、折纸实验,发现
线面垂直的判定定理。学生将在问题的驱动下,进行更主动的思维活动,经历从现实生活中
抽象出几何图形和几何问题的过程,体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问
题中的作用,发展学生的合情推理能力和空间想象力,培养学生质疑思辨、创新的精神。
三、教学目标设计
【设计意图】
结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况,提出本节课
的目标如下:
1、通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直的判定定理;
2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
这些目标的提出以知识为载体,在训练中提升学生的能力,为学生的进一步发展做好基础。
【教学目标】
1、通过对视频、图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直
线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理证明一
些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生的空间观念。
3、让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
【教学重点】
归纳直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学难点】
运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
四、课堂结构设计
【设计意图】
本课是概念、定理的新授课,设计以学生活动为主体,培养学生能力为中心,为提高课
堂教学质量特制定本课的课堂结构:
五、教学方法设计
根据本节课教学内容的需要,结合学生的实际,我设计了如下教学方法。
1、采用情景教学,利用启发式、和探究式的教学方法。
2、通过观察、辨析讨论、动手操作等环节逐步形成合理的认识,进而形成解题能力。
六、教学媒体设计
【设计意图】
利用多媒体课件能增加课堂教学容量。课件进行动态演示,模拟折纸试验,便于学生
对实验现象进行观察和分析。为促进学生理解概念,加深对实验的认识,让学生参与到数学
实验中去。
1.多媒体辅助教学:
利用投影展示多幅图片,使学生直观感知线面垂直的定义。为帮助学生正确进行操作确
认并归纳出线面垂直的判定定理,在学生动手操作后利用多媒体课件进行动态演示,模拟折
纸试验,便于学生对实验现象进行观察和分析,同时利用多媒体课件增加课堂教学容量。
2.学生自备学具:
课前要求每个学生准备一张三角形纸片、三角板。
七、教学过程设计
【设计意图】
知识的构建是本节课的基础。如何使学生从“线面垂直的直观感知''中抽象出“直线与平
面内所有直线垂直”是本环节的关键,使学生经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程,
从而形成完整和正确的概念,通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的
归纳过程,即由特殊到一般,由具体到抽象,既有助于学生对概念本质的理解,又使学生的
抽象思维得到发展,培养学生的几何直观能力。
知识的探索是本节课的核心。让学生真正体会到知识产生的过程,有利于发展学生的合情推
理能力和空间想象能力。教训有时比经验更深刻,使学生在自己的实践中感受数学探索的乐
趣,获得成功的体验,增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性,为
今后自主学习打下基础。
知识的运用是本节课的高潮。考虑到学生处于初学阶段,以练习做铺垫,让学生先尝试去做
并板演,师生共同评析,帮助学生明确运用定理时的具体步骤,培养学生严谨的逻辑推理。
使学生对线面垂直认识由感性上升到理性;同时,展示了平行与垂直之间的联系,给出判断
线面垂直的一种间接方法,为今后多角度研究问题提供思路。
1.直线与平面垂直定义的建构
本环节是教学的第一个重点,是后面探究活动的基础,分三步进行:
(1)动体的特征,对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知,在高中阶段,创设情境一感知
概念
①播放展示教师课前拍摄的视频短片和图片。
②观察实例:学生将书打开直立于桌面,观察书脊与桌面的位置关系。
③提出思考问题:如何定义一条直线与一个平面垂直?
(2)观察归纳一形成概念
①学生画图:
将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
②提出问题:能否用一条直线垂直于一个平面内的直线,来定义这条直线与这个平面垂直
呢?
(学生讨论并交流)
③动画演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化,重点让学生体会直线与平面内不过垂足
的直线也垂直。
1、阳光党旗杆与它在
地面上的影子所成的角度
是多少?
2、随着时间的变化,影
子的位置会移动,而旗
杆与影子所成的角度是
否发生了改变?
3、旗杆AB与地面上不
过点B的任意一条直线
位置关系如何?它们所
成的角为多少度?
④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念,并要求学生用符号语言表示。
直线和平面垂直的定义:如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线
/与平面a互相垂直,记作/J_a。直线/叫做平面a的垂线,平面a叫做直线/的垂面。直
线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。
垂足
a
克战与表示平面的平行直线/的垂面
四边形的一条边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理的探究
(1)动手实验一确认定理
折纸实验:过AABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,再将翻折后的纸片竖起放置在桌
面上(BD、DC与桌面接触),进行观察并思考:
问题1:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
问题2:由折痕ADJ_BC,翻折之后垂直关系发生变化吗?(即ADLCD,ADLBD还成立
吗?)由此你能得到什么结论?
如图,请同学们准备一块三角形的纸
片,我们一起来做一个试验:
过AABC的顶点A翻折
纸片,得到折痕AD,将翻
折后的纸片竖起来放置在桌
面上(BDQC与桌面接触)。
折痕AD与桌面垂直吗?
如何翻折才能使折痕AD
与桌面所在平面垂直?
学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直''两种情况,引导这两类学生进行交流,分析“不
垂直”的原因,从而发现垂直的条件一折痕AD是BC边上的高,进而引导学生观察动态演
示模拟试验,根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理,归纳
出线面垂直的判定定理,并要求学生画图,用符号语言表示。
(3)质疑反思一深化定理
问题3:若一条直线与平面内的两条轨直线都垂直,则该直线与此平面垂直吗?
由于两条平行直线也确定一个平面,这个问题是学生会问到的。可以引导学生通过操
作模型(三角板)来确认,消除学生心中的疑惑,进一步明确线面垂直的判定定理中的''两
条“、“相交”缺一不可!
在本环节中,借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验,引导学生分析,将“与
平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”,并以此为基础,进行合情推
理,提出猜想,使学生的思维顺畅,为进一步的探究做准备。
由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理,只要求直观感知、操作确认,
注重合情推理。因而,安排学生动手实验,讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分
析,自己发现结论,还增设了动态演示模拟试验,让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。
学生在已有数学知识的基础上,加之以公理的支撑,便可以确认定理。
教学中,让学生真正体会到知识产生的过程,有利于发展学生的合情推理能力和空间想
象能力。与此同时,鼓励学生大胆尝试,不怕失败,教训有时比经验更深刻,使学生在自己
的实践中感受数学探索的乐趣,获得成功的体验,增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发
学生的积极性和创造性,为今后自主学习打下基础。
3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用
【例题】
例1.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,例2证明:若"〃仇a,"'贝防'a
AB=BC,K是AC的中点.
求证:ACJ_平面VKB.
4.总结反思一提高认识
(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
(2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题?
(3)本节课你还有哪些问题?
学生发言,互相补充,教师点评。本环节侧重三点:
(1)以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法(如图);
直线与平面垂直的判定方法
判定定理:定义:例题:
如果一条面如果一条直如果两条平
线垂克于一个线垂直于一个行直线中的一
平面内的两条平面内的任何条垂直于一个
相交宜线,那--条直线,那平面,那么另
么此直线垂克么也直线垂直一条也垂直于
于这个平面。于这个平面。这个平面。
(2)说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法,强调“平面化”是解决立体
几何问题的一般思路:
(3)鼓励学生反思,大胆质疑。
5.布置作业一自主探究
课本P74B组4
八、板书设计
为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识,教学时将重要内容进行板书。如:
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、直线与平面垂直的定义:
2、直线与平面垂直的判定定理:
3、allb,aLa,则Z?_La
学情分析
学学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质,学习了两直线(共面或异
面)互相垂直的位络关系,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结
论”的体会,有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力.在直线
与平面垂直的判定定理中,为什么至少要两条直线,并且是两条相交直线,学生
的理解有一定的困难,因为定义中任一条直线”指的是“所有直线”这种用“有
限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍.同时,由于学生的空
间想象能力、推理论证能力有待进一步加强,在直线与平面垂直判定定理的运用
中,不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直(抑或选择平面证线面垂直
从而得到线线垂直)导致证明过程中无从着手或发生错误.
效果分析
由于注重营造气氛和突出了学生的学习主体地位,学生的学习更有激情,思
考更有深度,发挥了学习小组的集体智慧,发展了各层次学生,提高了数学素养;
学生的展示,师生的互动,改善了学习的环境,使教师对学情的把握更加准确,
对教师提出了更高的要求,教学的针对性、有效性得到了提高。
教材分析
本节内容是人教A版《普通高中课程标准实验教科书--数学必修(2)》第
二章第三节:2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时),属于新授概念课。
本节课的内容包含直线与平面垂直的定义和判定定理两部分。直线与平面垂
直的研究是直线与直线垂直研究的继续,也为平面与平面垂直的研究做了准备;
判定定理的教学,尽管新课标在必修课程中不要求证明,但是通过定理的探索过
程,培养和发展学生的几何直观以及运用图形语言进行交流的能力,是本节课的
重要任务。
评测练习
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是()
A.①③
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