高中数学《导数》讲义

高中数学导数讲义完整版

第一部分导数的背景

一、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？（s=5g『,其中g是重力加

速度）.

2.切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线y=/上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐

渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

3.边际成本

问题3：设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C（q）=3/+10,我们来

研究当q=50时，产量变化做对成本的影响.

二、小结：

瞬时速度是平均速度空当&趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜

△t

率是割线斜率空当Ax趋近于0时的极限；边际成本是平均成本更当△<?趋近于0时的

AxA<7

极限.

三、练习与作业：

1.某物体的运动方程为s«）=5产（位移单位：m,时间单位：s）求它在t=2s时的速度.

2.判断曲线y=2/在点p（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3.已知成本C与产量q的函数关系式为C=2/+5,求当产量q=80时的边际成本.

4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之

间的函数关系为h=t2,求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

1,1

5.判断曲线y=—/在(1,_)处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6.已知成本C与产量q的函数关系为0=4/+7,求当产量q=30时的边际成本.

第二部分导数的概念

一、新课：

1.设函数y=/(x)在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量Ax时，则函数

y=/(x)相应地有增量Ay=f(x0+Ax)-/(x0),如果Ax->0时，Ay与Ax的比上■(也

Ax

叫函数的平均变化率)有极限(即电无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数

y=/(x)在xfX。处的导数，记作/|『，即

/(%)=lim八')一/(电。一般地，lim(a+必x)=a,其中。力为常数。特

-ArAx->o

别，lima=a

Av—>0o

二、练习

1.已知物体做自由落体运动的方程为s=s")=5g/，若加无限趋近于0时，

*+△/)-s(11无限趋近于9.8加5,那么正确的说法是()

Ar

A.9.8/s是在0〜Is这一段时间内的平均速度

B.9.8m/s是在1〜(1+4)s这段时间内的速度

C.9.8m/s是物体从1s到(1+Af)s这段时间内的平均速度

D.9.8m/s是物体在t=Is这一时刻的瞬时速度.

2.若⑴=2015,则lim---------)=_____，lim----------'')=_____，

以一°ArAr->o_A,

lim二DW©)=_________,扁四整竺匕皿____________。

Ar—04AxAsOAr

二、导致

如果函数y=/(%)在开区间①力)内的每点处都有导数，此时对于每一个工£(4/)，

都对应着一个确定的导数r(x),从而构成了一个新的函数/(幻。称这个函数/，(%)为

函数>=/0)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作即f\x)=y1=

lim丝=lim也上匕曲

1To—Ar

函数y=/(©在/处的导数y|x=A,就是函数y=/(用在开区间(a,b)(X£(。力))上导

数r(x)在与处的函数值，即y、』=r(x0)。所以函数y=/(x)在X。处的导数也记作

r(xO)。

注：1.如果函数y=/(x)在开区间(。力)内每一点都有导数，则称函数y=/(x)在开区间

(a,8)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分

3.求导函数时，只需将求导数式中的与换成工就可，即尸(x)=则°+黑"'"幻

4.由导数的定义可知，求函数y=/(x)的导数的一般方法是：

(1).求函数的改变量△y=/(x+Ax)—/(幻。

(2).求平均变化率"=A*+&)—/(x).

AxAx

(3).取极限，得导数y=lim包。

—TO

例1.求y=2x2-1在％=—3处的导数。

例2.已知函数y=/+x(1)求y、(2)求函数y=x?+工在％=2处的导

数。

四、练习与作业：

1.求下列函数的导数：

(1)y=3%-4；(2)y=\-2x(3)y=3x2-12x(3)y=5-x3

2.求函数y=/+i在一I。i处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：

22

(1)y=x,x0=2；(2)y=-x,x0=0；

(3)y—(x—2)~,XQ=1(4)y—x~~~~x,x()——1.

4.求下列函数的导数：

232

(1)y=4x+l;(2)y=10-x；(3)y=2x-3x;(4)y=2x+7o

5.求函数y=%2-2x在一2,0,2处的导数。

作业

1.若lim/(x)存在，则[lim/(x)]z=

x->0x->0

2.若/(x)=x2,贝ijlim"A'⑴=___________________________

3X-\

3.求下列函数的导数：

(1)y2x,-20x~—40x+1(2)y=3+2x+4x?—---x4

6

(3)y=(2x3+l)(3x2+x)(4)y=(x+2)2(x-1)3

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即C(x)=1000+7X+5%2,试求：

(1)当日产量为100时的平均成本；

(2)当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；

(3)当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为。=2r+3t+l,求t=3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是s=3产+2/+1,计算从t=2至Ut=2+Ar之间的平均速度，并计算

当Z=0.1时的平均速度，再计算t=2时的瞬时速度.

7.若曲线y=+1的切线垂直于直线2x+6y+3=0,试求这条切线的方程.

8.在抛物线y=2+x--上，哪一点的切线处于下述位置？

(1)与x轴平行(2)平行于第一象限角的平分线.(3)与x轴相交成45°角

9.已知曲线y=2x-/上有两点A(2,0),B(1,1),求：

(1)割线AB的斜率七B；(2)过点A的切线的斜率右T；(3)点A处的切线的

方程.

10.在抛物线y=/上依次取M(1,1),N(3,9)两点，作过这两点的割线，问：抛物线上

哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

11.已知一气球的半径以lOcm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的

增长速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以O.Olm/s的速度减小，y边以0.02m/s的速

度增加，求在x=20m,y=15m时，长方形面积的变化率.

13.（选做）证明：过曲线孙=1上的任何一点（%,>0）（/>0）的切线与两坐标轴围

成的三角形面积是一个常数.（提示：（,）/=-二）

XX

第一部分函数求导

一、导数定义

1.简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限)

(1)求函数的增量△?=/(/+Ac)—/(X。)；

(2)求平均变化率包=八叱八D[/(口)。

(3)取极限求导数/'*0)=lim/叱以)二"机)

-Al

2.导数与导函数的关系:特殊与一般的关系。函数在某一点f(Xo)的导数就是导函数/(x),

当x=x0时的函数值。

3.常用的导数公式及求导法则：

(1)公式

c'=0

(£)=〃『

sin'x=cos尤

cos'x=-sinx

(ax)'=ax-Ina

(/)'="

,,1

bg“x=——

xlna

ln，x=L

x

(2)法则：

(/(X)+g(x))'=r(x)+g〈x)

(/(x)•g(x))'=7'(x)•g(x)+g'(x)•/(x)

(/(x)y=/'(x>g(x)-g'(x)・/(x)

g(x)g2(x)

二、例：

(1)y=x3(x2-4)(2)-=sm*⑶y=3cosx-4sinx(4)y=(2x+3)2(5)

y=ln(x+2)

第二部分复合函数的导数

一、基本公式：如果函数夕(1)在点x处可导，函数〃〃)在点〃=/(x)处可导，则复合函数

尸/(")=/■［/(%)］在点X处也可导，并且(/、［。(初)’=/［。(刈。'(%)或记作

u

y'x=y'u-x'

X

二、例题：例1求下列函数的导数y=j3-2xy=q二黑

例2求下列函数的导数

(2)尸In(x+71+X2)(3)

(1)产J1—2%cosX/,(%)=ln(ln(lnx))

(4)f(x)=(x2-3x+2)2Sin3x

三、求下函数的导数.

1、(1)y=cos—(2)y=>j2x-l

3

2、(l)y=(5x-3)4(2)尸(2+3x>(3)尸(2一-)3(4)尸(2江+刈2

171

3、⑵尸(3)y=sin(3x——)(4)T=COS(1+X2)

(2x2-l)3J---6

4、⑴y=(2——)3；(2)y=sinx2；(3)｝；=cos(^--x)；(4)y=lnsin(3x-l).

4

cir»0Y

5、(l)j1=sinx3+sin33x；(2)y------—(3)log„(x2-2)(4)ln(2x2+3x+1)

-2x-l

导数的应用一：求切线方程

导数的几何意义：/(x)在X=X。处的导数就是/(%)在X=X。处的切线斜率

曲线C：y=f(x)在其上一点P(xo,f(xo))处的切线方程为y—/(xo)=f'(xo)(x—xo).

问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点求导数得斜率

题1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.

练习1：已知/(X)=%T,求曲线y=/(x)在％=-1处的切线斜率和切线方程.

练习2：如图，函数y=/(x)的图象在点尸处的切线方程是y=—x+8,则/(5)+./(5)

变式1:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程

变式2.已知曲线y=f+i

(1)求曲线在点P(l,2)处的切线方程；(2)求曲线过点。(1,1)的切线方程；

变3：已知/(用=心’求曲线'=/⑺在"J处的切线斜率是多少？

题2、在曲线＞1上求一点p,使过点P点的切线与直线y=4x—7平行。

题3、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M处(-1,f(-D)处的切线方程

为6x-y+7=0,求函数的解析式

题4、曲线尸2+1上过点尸的切线与曲线产一弟一1相切，求点P的坐标.

作业：

1.已知曲线厂;/+，，则在点尸(2,4)的切线方程是.

2.过点P(—1,2)且与曲线产3x2—4x+2在点1)处的切线平行的直线方程是.

3.设函数/(丫)=(1一&)(》一6)(工一°)(如6、c是两两不等的常数)，则，—+—乙+—J

f\a)f'(b)f(c)

4、求曲线y=2x--在》=—i处的切线的斜率。

5.曲线尸3+3f+6x—10的切线中，求斜率最小的切线方程.

6.已知函数/(x)=丁+(1-a)/-a(a+2)x+。(a,beR).若函数/(x)的图象过原点,

且在原点处的切线斜率是-3,求的值；

7.求曲线y=3x-尤3的过点A(2,-2)的切线方程。

8.若直线产3x+l是曲线13一°的一条切线，求实数a的值.

导数的应用二：单调区间讨论

例1：求下列函数的单调区间

(1)/(x)=sinx(2)f(x)=x3+2x2-5x(3)f(x)=x2\lex

例2:设a>0,求函数f(x)=Vx-ln(x+tz)(xG(0,+。。)的单调区间.

2

练习：己知函数/'(x)=x---l-a(2-lnx),(a>0),讨论/(x)的单调性.

x

例3.设函数/(x)=必?+法+%(%>0)在％=0处取得极值，且曲线y=/(x)在点(1,/⑴)

处的切线垂直于直线x+2y+l=0.(I)求。力的值；(11)若函数8(幻=上一，讨论8(幻

f(x)

的单调性.

练习：已知函数/(x)=/+(1-。)“2-a(a+2)x+b(a,beR).

(D若函数/(X)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求。力的值；

(II)若函数/(x)在区间(—1,1)上不单频求a的取值范围.

1、(北京理)设函数/(x)=x*/wO)

(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间；

(III)若函数/(x)在区间内单调递增，求々的取值范围.

2、已知函数=一必2+。在x=-2处有极值.

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)求函数/(X)在［-3,3］上有且仅有一个零点，求力的取值范围。

3、已知函数=-政”/，g(x)=；_Ax,且/(x)在区间(2,+8)上为增函

数.一

(1)、求实数左的取值范围；

(2)、若函数/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数%的取值范围.

4、已知函数/(x)=lnx-办+匕0—1(aeR).(I)当•时，讨论/(x)的单调性；

x2

(11)设当。=；时，若对任意占6(0,2),存在X241,2］,使/a)Zg(X2)，求实数b取

值范围.g(x)=x2-2/?x+4.

导数应用三：求函数的极值、最值

(-)函数极值的概念

(二)函数极值的求法：(1)考虑函数的定义域并求f'(X);

(2)解方程f'(x)=0,得方程的根x0(可能不止一个)

(3)如果在X。附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(x0)

是

极大值；反之，那么f(X。)是极大值

题型一、极值求法

1求下列函数的极值

(1)f(x)=X3-3X2-9X+5;(2)f(x)=』^(3)f(x)=」x+cosx(-;r<x<4)

x2

2、设a为实数，函数y=e*-2x+2a,求y的单调区间与极值

3、设函数f(x)=-1x3+x2+(m2-l)x,其中m>0o

3

⑴当m=l时,求曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线的斜率

(2)求函数f(x)的单调区间与极值

4、若函数f(x)=J0,(1)若f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率为1,求实数a的值

12

(2)若f(x)在x=l处取得极值，求函数的单调区间

5、函数f(x)=x3+ax2+3x-9己知f(x)在x=-3时取得极值,求a

6、若函数y=-x"'+6x'+m的极大值为13,求m的值

7、已知函数f(x)=x'+ax2+bx+a2在x=l处有极值10.(1)求a,b的值;(2)f(x)的单调区

间

8、已知函数f(xhax'blnx在x=l处有极值,(1)求a,b的值；(2)判定函数的单调性，

2

并求出单调区间

9、设函数£6)=3/+乐2+以+4(a>o),且方程F(x)-9x=0的两根分别为1,4,若f(x)

3

在(YO,+OO)内无极值点，求a的取值范围

(三)函数的最值与导数

注：求函数f(x)在闭区间［a,b］内的最值步骤如下

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就

是

最大值，最小的一个就是最小值

题型一求闭区间上的最值

1、设在区间［a,b］上函数f.(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)上可导，下列

命题正确的是

(1)若函数在［a,b］上有最大值，则这个最大值必是［a,b］上的极大值

(2)若函数在［a,b］上有最小值，则这个最小值必是［a,b］上的极小值

(3)若函数在［a,b］上有最值，则这个最值必在x=a或x=b处取得

2、求函数f(x)=x?-4x+6在区间［1,5］上的最值

3、求函数f(x)=x3-3x，6x-10在区间［-1,1］上的最值

4、已知f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在［-3,1］上的最值

题型二有函数的最值确定参数的值

1、已知函数f(x)=ax'-6ax'b,xe［-3,1］的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值

2、设工<。<1,函数£&)=*3-32*2+1)(-14%<1)的最大值为1,最小值为—Y6,求a,b

322

(四)导数综合应