2025届安徽省阜阳地区数学九上期末学业水平测试试题含解析

2025届安徽省阜阳地区数学九上期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是A．24 B．24或 C．48或 D．2．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（）A．-1 B．1 C．-2 D．23．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°4．在下列命题中，正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．下列二次函数，图像与轴只有一个交点的是（）A． B．C． D．7．已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④.其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．48．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（）A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-29．如图所示，在中，，，，则长为（）A． B． C． D．10．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变11．如图，把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（）A．4：5 B．2：5 C．：2 D．：12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2 C．2 D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________．14．如图，的半径为，的面积为，点为弦上一动点，当长为整数时，点有__________个．15．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，2），C（1，2），以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF，则点E的坐标是_____．16．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．17．方程的根是_____.18．若抛物线y＝2x2+6x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）解方程：（2）已知关于的方程无解，方程的一个根是．①求和的值；②求方程的另一个根．20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．21．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”活动．经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，最终没有学生得分低于25分，也没有学生得满分．根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）．请结合图标完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率．22．（10分）（1）计算：（2）解不等式组：，并求整数解。23．（10分）如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．（1）求证：；（2）设，求关于的函数表达式；（3）当时，直接写出_________．24．（10分）如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）25．（12分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？26．大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次.在1－12月份中，该公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系.（1）求y与x函数关系式.（2）该公司从哪个月开始“扭亏为盈”（当月盈利）?直接写出9月份一个月内所获得的利润.（3）在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．【详解】∵，∴(x−6)(x−10)=0，解得：x1=6,x2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD是高，∴BD=4,AD=，∴S△ABC=BC⋅AD=×8×2=8；当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形,∠C=90°，S△ABC=BC⋅AC=×8×6=24.∴该三角形的面积是：24或8.故选B.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.2、D【分析】把代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：把代入原方程得：故选D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．3、D【解析】分析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°．∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则．∵∠C与∠D是圆内接四边形的对角，∴∠C=180°﹣∠D=112.5°．故选D．4、C【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析解答即可.【详解】解：A、∵等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形，∴应对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不正确；B、∵有一个角是直角的四边形可能是矩形、直角梯形，∴有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不正确；C、∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不正确．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的理解，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的判定方法是解答本题的关键.5、B【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：sinα=，∵α为锐角，∴α=30°．故选B．6、C【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点，可知b2-4ac=0，据此判断即可．【详解】解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴b2-4ac=0，A、b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，故本选项错误；B、b2-4ac=72-4×（-2）×（-7）=-7，故本选项错误；C、b2-4ac=（-12）2-4×4×9=0，故本选项正确；D、b2-4ac=（-4）2-4×1×16=-48，故本选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点时，得到b2-4ac=0是解题的关键．7、D【解析】由题意根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，所以②正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，故答案为：①②③④．故选D.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8、C【解析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.【详解】解：抛物线的对称轴为直线∵,抛物线开口向下，∴当时，y的值随x值的增大而增大，∵当时，y的值随x值的增大而增大，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.9、B【分析】先根据同角的三角函数值的关系得出，解出AC=5，再根据勾股定理得出AB的值.【详解】在中，，，，即.又AC=5===3.故选B.【点睛】本题考查了三角函数的值，熟练掌握同角的三角函数的关系是解题的关键.10、D【解析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根据勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．11、A【分析】首先分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【详解】如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=41°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：，∴扇形的面积是；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=41°，∵BC=1，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是，∴扇形和圆形纸板的面积比是，即圆形纸片和扇形纸片的面积比是4：1．故选：A．【点睛】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．12、A【解析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【详解】作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4，故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、4【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【详解】连接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故答案为：4.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．14、4【分析】从的半径为，的面积为，可得∠AOB=90°，故OP的最小值为OP⊥AB时，为3，最大值为P与A或B点重合时，为6，故,当长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.【详解】∵的半径为，的面积为∴∠AOB=90°又OA=OB=6∴AB=当OP⊥AB时，OP有最小值，此时OP=AB=当P与A或B点重合时，OP有最大值，为6，故当OP长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.故答案为：4【点睛】本题考查的是圆的对称性及最大值、最小值问题，根据“垂线段最短”确定OP的取值范围是关键.15、（12，6）或（-12，-6）【分析】根据平行四边形的性质、位似变换的性质计算，得到答案．【详解】以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF∵点B的坐标为（4，2），且点B的对应点为点E∴点E的坐标为（4×3，2×3）或（-4×3，-2×3）即：（12，6）或（-12，-6）故答案为：（12，6）或（-12，-6）．【点睛】本题考查了位似和平行四边形的知识；求解的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．16、﹣5＜x＜1【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（1，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（1，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜1．故答案为﹣5＜x＜1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．17、0和-4.【分析】根据因式分解即可求解.【详解】解∴x1=0,x2=-4,故填：0和-4.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.18、【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，∴△=62﹣4×2m=36﹣8m＞0，∴m．故答案为：m．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1），;（2）①，，②另一个根是1．【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）①根据分式方程无解，先求出m的值，然后将m代入一元二次方程中求出k的值即可；②根据根与系数的关系可求出另一个根．【详解】（1）原方程可化为或解得：，（2）①解：将分式方程两边同时，得到，解得∵分式方程无解，，把代入方程，得求得②根据一元二次方程根与系数的关系可得∵∴另外一个根是1【点睛】本题主要考查解一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系，分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的方法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20、（1）①直线x＝1；②b＝－1a；（1）－1≤a＜－1或1＜a≤1．【分析】(1)①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式进一步求解即可；（1）分两种情况：①，②，据此依次讨论即可．【详解】解：（1）①∵当x=0时，y=c，∴点A坐标为（0，c），∵点A向右平移1个单位长度，得到点B，∴点B（1，c），∵点B在抛物线上，∴抛物线的对称轴是：直线x=1；故答案为：直线x=1；②∵抛物线的对称轴是直线：x=1，∴，即；（1）①如图，若，因为点A（0，c），B（1，c）都是整点，且指定区域内恰有一个整点，因此这个整点D的坐标必为（1，c－1），但是从运算层面如何保证“恰有一个”呢，与抛物线的顶点C（1，c－a）做位置与数量关系上的比较，必须考虑到紧邻点D的另一个整点E（1，c－1）不在指定区域内，所以可列出不等式组：，解得：；②如图，若，同理可得：，解得：；综上所述，符合题意的a的取值范围是－1≤a<－1或1<a≤1．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和一元一次不等式组的综合运用，熟练二次函数的性质、灵活应用数形结合的数学思想是解题关键．21、（1）16；（2）见解析；（3）图见解析，【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得结果；（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；（3）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．【详解】（1）由频数分布表可得：a=50−4−6−14−10=16；（2）频数分布直方图如图所示：（3）根据题意画树状图如下：从上图可知共有6种等可能情况，其中抽到女生A和男生M的情况有1种，所以恰好抽到女生A和男生M的概率．【点睛】本题考查树状图法求概率、读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22、（1）；（2）原不等式组的整数解为:-4，±1，±2，±1,0.【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解即可．【详解】（1）解：（1）原式．（2）解：由①得≥；由②得≤1；∴﹣4≤x≤1．∴原不等式组的整数解为:-4，±1，±2，±1,0【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．23、（1）详见解析；（2）；（3）1【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝∵∠ADE＝45°，∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°∴∠ADB＝∠DEC，∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝x，AE＝y，则DC＝，代入上式得：，∴，即（3）,在中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．24、计划修建的这条高速铁路穿越保护区，理由见解析【分析】作PH⊥AC于H