femch3弹性力学平面问题的求解简介

第三章平面问题的求解第一节按位移求解平面问题第二节按应力求解平面问题相容方程第三节常体力下的简化，应力函数第四节用逆法、半逆法求解平面问题第五节用差分法求解平面问题第六节弹性力学中的能量原理，变分法简介第一节按位移求解平面问题（1）平衡微分方程：（2）几何方程：（3）物理方程：（4）边界条件：三组方程+两组边界条件偏微分方程边值问题上章小结1.按位移求解（位移法）以u、v

为基本未知函数2.按应力求解（应力法，力法）以应力分量

为基本未知函数消元法基本未知量：将平衡微分方程和边界条件都用u、v表示，并求解由几何方程、物理方程求出形变与应力分量。以平衡微分方程为基本方程，补充以应力分量表示的第三个方程，并求出应力分量，再由物理方程、几何方程求出形变与位移分量。第三章平面问题的求解1将平衡微分方程用位移表示由物理方程：将几何方程代入，有将式(a)代入平衡微分方程，化简有（a）………..(1)三套方程第一节按位移求解平面问题（1）平衡微分方程：（2）几何方程：（3）物理方程：三大方程2将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：将式（a）代入，得式（1）、（2）、（3）构成按位移求解平面问题的基本方程（a）…(2)…….(3)第一节按位移求解平面问题3按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡微分方程：（2）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。第一节按位移求解平面问题第二节按应力求解平面问题

相容方程1.变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：2个方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从几何方程、物理方程建立补充方程。将几何方程作如下运算：第二节按应力求解平面问题相容方程显然有：——形变协调方程（或相容方程）必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调。例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。结论:第二节按应力求解平面问题相容方程2.形变协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡微分方程将上式化简：………..(a)………..(b)第二节按应力求解平面问题相容方程将(b)式代入(a)式，得：将上式整理得：------应力相容方程（平面应力）（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得当体力fx、fy

为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即------应力相容方程（平面应变）------常体力情况下应力相容方程第二节按应力求解平面问题相容方程…..(b)….(a)3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡微分方程（2）应力相容方程（3）边界条件：说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。第二节按应力求解平面问题相容方程例:下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解:（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：——满足将式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一组可能的应力场。第二节按应力求解平面问题相容方程（2）解:将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。例:下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）第二节按应力求解平面问题相容方程第三节常体力下的简化，应力函数1.常体力下平面问题的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子则应力相容方程可表示为：——平面应力问题——平面应变问题或当体力

为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即第三节常体力下的简化，应力函数2.常体力下应力法的基本方程（1）平衡微分方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件讨论：（1）——Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（a）两种平面问题，计算结果相同不同。)（但（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型;用便于测量材料代替不便于测量材料，为实验应力分析提供理论基础。满足：的函数称为调和函数（解析函数）。第三节常体力下的简化，应力函数常体力下平衡微分方程：式(a)为非齐次方程，其解：全解

=齐次方程通解3.常体力下平衡微分方程解的形式(1)特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。……….(a)

第三节常体力下的简化，应力函数将第一式改写为则一定存在一函数A(x,y)，使得：同理，将第二式改写为(1)(2)比较式(2)式与(4)式，有：(3)(4)则一定存在一函数B(x,y)，使得：(2)通解式(a)

对应的齐次方程：则一定存在一函数Φ(x,y)，使得：

知识点回顾(5)(6)…….(a)第三节常体力下的简化，应力函数(5)(6)将式(5)、(6)代入(1)、(2)、(3)、(4)，得：(1)(2)(3)(4)——对应于平衡微分方程的齐次方程通解。第三节常体力下的简化，应力函数(3)全解取特解为：——常体力下平衡微分方程的全解。通解：说明：（1）上式是从平衡微分方程导出的,必然满足平衡微分方程；（2）推导的过程，证明Φ的存在性；（3）常体力下平面问题的求解得到大大简化，从求3个未知函数变为求一个未知函数Φ。第三节常体力下的简化，应力函数Φ(x,y)——平面问题的应力函数Airy应力函数4.相容方程的应力函数表示将平衡微分方程的通解代入常体力下的相容方程：将上式展开，有:——

应力函数表示的相容方程体力

为常量，有:第三节常体力下的简化，应力函数——

应力函数表示的相容方程可简记为：或：式中：结论：应力函数Φ应为一重调和函数。满足相容方程的函数Φ(x,y)

称为重调和函数（或双调和函数）第三节常体力下的简化，应力函数按应力求解平面问题（fx=常量、fy=常量）的归结为：（1）（2）然后将代入式平衡微分方程通解求出应力分量：先由相容方程求出应力函数：（无体力情形）（3）检验边界条件（4）由物理方程和几何方程求应变和位移分量第三节常体力下的简化，应力函数若函数则:令：思考：逆命题？若：则一定存在一函数：，使得：知识点回顾位移法思路：由物理方程：将几何方程代入，有将式(a)代入平衡微分方程，化简有………..(1)（a）小结:——位移边界条件——应力边界条件位移求解基本方程:——平衡微分方程小结:应力法思路：-------平衡微分方程相容方程寻求第三个补充方程小结:——形变协调方程（或相容方程）相容方程：（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）（常体力下）小结:常体力下应力法的基本方程:（1）平衡方程（2）相容方程（3）边界条件——

应力函数表示的相容方程小结:按应力求解平面问题（fx=常量、fy=常量）的归结为：（1）（2）然后将代入式平衡微分方程通解求出应力分量：先由相容方程求出应力函数：（无体力情形）（3）检验边界条件（4）由物理方程和几何方程求应变和位移分量小结:第四节用逆法、半逆法

求解平面问题第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题1应力函数求解方法(1)逆解法假设函数形式满足相容方程求代入边界条件，反推应满足的边界条件。满足上述应力边界的问题，应力函数解就是假设的(2)半逆解法假设函数形式相容方程求应力与应力函数关系式求，使其满足边界条件，确定待定系数。求得部分或全部第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题2多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数Φ(x,y)

，能解决什么样的力学问题。积累弹性力学的基本解答。——逆解法(a、b、c

为待定系数)----------满足相容方程(1)一次多项式对应的应力分量：若体力：fx

=fy

=0，则有：结论：一次多项式对应于无体力和无应力状态；(2)平面问题应力函数加上一个线性函数，不影响其应力分布第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题（a、b、c

为待定系数）设：fx=fy

=0;a>0,b>0,c>0(可作为应力函数

)xy2c2c2a2a结论：二次多项式对应于均匀应力分布。(2)二次多项式xy例：xy第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题(a、b、c

、d为待定系数)检验Φ(x,y)

是否满足双调和方程，显然有(可作为应力函数

)假定：fx

=fy

=0结论：三次多项式对应于线性应力分布。(3)三次多项式说明：四次或四次以上多项式系数必须满足一定条件，才能满足相容方程。第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力函数。常数d与弯矩M的关系：由梁端部的边界条件：与材力中结果相同第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题xy1ll说明：组成梁端力偶M

的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布,则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l

远大于h

时，误差较小；反之误差较大。MM第四节用逆解法、半逆解法求解平面问题作业：习题：P.493-6,3-7第五节用差分法求解平面问题第五节用差分法求解平面问题内力与外力之间的静力平衡条件形变与位移之间的几何条件形变与应力之间的物理条件1差分法基本思想对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，大多数情况下求精确解很困难，甚至不可能。建立微分方程和边界条件偏微分方程的边值问题数学上2）避开求精确解，探讨各种近似解法，主要有差分法，变分法和有限单元法

？1)简化方程和边界;差分法基本思想差分微分差分方程基本微分方程边界条件求解代数方程代替转换代替求解偏微分方程什么是差分？什么是差分？差分法是微分方程的一种数值解，它不是去求函数

而是求函数在一些结点上的值xo微分：若将连续空间用多个离散点取代，即将上述极限以离散点的方式计算，即是差分-----前向差分-----后向差分第五节用差分法求解平面问题2差分公式用结点的函数值代替函数考虑结点1，3：第五节用差分法求解平面问题考虑结点2，4,同理可得：中心差分公式四阶差分公式：第五节用差分法求解平面问题(1)应力分量的差分表示：将求各点应力分量归结为一个目标：求各点的应力函数值3应力函数的差分解第五节用差分法求解平面问题将四阶差分公式代入，整理，得：一点相容方程方程涉及此点周围两倍网格间距的结点值。如:第9点，涉及到边界点及边界外一点------虚结点，怎么办？？(2)应力函数相容方程的差分表示如何求边界各点及虚结点的应力函数值？第五节用差分法求解平面问题(2)求边界上各结点的应力函数值：第五节用差分法求解平面问题从固定的基点A到边界任一点B全微分逆运算对s积分应力边界条件微分形式应力边界条件积分形式第五节用差分法求解平面问题的全微分：从固定的基点A到边界任一点B对s

积分第五节用差分法求解平面问题结论：一次多项式对应于无体力和无应力状态；平面问题应力函数加上一个线性函数,不影响其应力分布。假想：把应力函数加上a+bx+cy并调整系数a,b,c

三个系数，使得：则：A到B边界上x向面力的主矢量

A到B边界上y向面力的主矢量相反数

从A到B边界上面力对B点的力距(顺时针为正)可以按物理意义直接求解第五节用差分法求解平面问题各虚节点的值一阶差分公式(3)求虚结点处应力函数的值：用边界结点值和边界内一行结点值表示第五节用差分法求解平面问题(4)应力函数差分解的步骤：在边界上选定基点A，使得，由面力

之和分量及力矩算出边界各点的值；将边界外一行各虚结点的值用边界结点值及边界内一行值表示;对边界内各点建立用差分表示的相容方程，联立求解出各点的值;计算边界外一行各虚结点处的值；计算各点应力分量。第五节用差分法求解平面问题差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。差分法简便易行，且总能求出解答。差分法可配合材料力学，结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状态。差分法优点：缺点：

(1)对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。

(2)差分法比较适用于平面问题或二维问题。

(3)凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如Φ

的误为，则应力的误差为。第六节弹性力学中的能量原理，

变分法第六节弹性力学中的能量原理，变分法泛函相关知识普及：泛函：函数的函数。函数()泛函()自变量自变函数或状态函数或宗量因变量因变量自变量微分自变函数变分函数微分泛函变分如果：则：可能为y极值点如果：则：可能为极值点函数

泛函微分：同一状态下由于坐标改变而引起的函数改变。变分：同一位置上由于状态改变而引起的泛函改变。变分法则：第六节弹性力学中的能量原理，变分法1弹性体的外力功和外力势能外力功：外力（面力和体力）在位移上所做的功外力势能：外力做了多少功，就消耗了多少外力势能。(1)外力功与外力势能(2)应力功与形变势能弹性体内部应力会在相应产生的应变上做功：

因为应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是:泛函及变分假设：时外力势能为0，则：第六节弹性力学中的能量原理，变分法对于平面应力或平面应变问题：单位体积上应力所做的功为：静力平衡无速度变化动能不变恒温无热能变化应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，或形变势能，或应变能,存贮于弹性体内部。单位体积的形变势能，或称形变势能密度。整个弹性体的形变势能(z向取单位长度)：第六节弹性力学中的能量原理，变分法用形变表示的应变能密度：用位移表示的应变能密度：平面应变的相应公式第六节弹性力学中的能量原理，变分法形变势能U的性质：

U是形变或位移的二次泛函，不能用叠加原理；应变或位移发生时，U总是正的，即；

U的大小与受力次序无关；对应变的导数等于对应的应力。弹性体的总势能：第六节弹性力学中的能量原理，变分法2位移变分方程取泛函为弹性体总势能，宗量为位移函数。

实际平衡状态的位移，必须满足：

用位移表示的平衡微分方程（在A中）;

第三条是求解实际位移的必要条件，而前两条是充分条件(1)实际位移静力平衡条件约束条件

用位移表示的应力边界条件（在上);

位移边界条件（在上）。第六节弹性力学中的能量原理，变分法(2)虚位移状态数学意义：位移函数变分

虚位移：在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量。虚位移应满足上的约束边界条件，即：（在上）虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。当发生虚位移时，弹性体从实际位移状态进入虚位移状态：实际平衡状态附近的一种邻近状态第六节弹性力学中的能量原理，变分法(3)在虚位移上弹性体的功和能平衡状态：设有平面问题的任一厚度的弹性体，边界条件：,在外力作用下处于平衡状态。这时，弹性体内已存在：和应变能虚位移状态：外力虚功：外力在虚位移上所做的功。虚位移虚应变第六节弹性力学中的能量原理，变分法应力在虚应变上所做的虚功:应变能变分:外力虚功就等于外力功的变分，即外力功的增量。外力功变分：应力虚功就等于应变能的变分，即应变能的增量。第六节弹性力学中的能量原理，变分法(4)弹性力学中的变分方程

在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加(形变势能增量)应等于外力势能的减少（外力功增量）。位移变分方程

在实际平衡位置发生位移变分时，所引起的形变势能变分，等于外力功的变分。位移变分方程物理意义第六节弹性力学中的能量原理，变分法虚功方程

在实际平衡位置发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。即外力虚功等于内力虚功。虚功方程第六节弹性力学中的能量原理，变分法最小势能原理弹性体的总势能为:

在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应的总势能为极小值。最小势能原理uu（实际位移）数学表示物理意义第六节弹性力学中的能量原理，变分法分部积分格林公式(在A内)（在边界上）位移变分方程应力边界条件平衡微分方程等价!结论

位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c；由此得出一种变分解法:即先假设位移函数，使其满足上位移边界条件，再代入位移变分方程，必然可以找出对应于实际平衡状态的位移解答。位移变分方程的等价形式

实际平衡状态的位移必须满足:a.上的