一元线性回归模型参数的最小二乘估计高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2

一元线性回归模型参数的最小二乘估计（2）第八章成对数据的统计分析2024/7/18.2一元线性回归模型及其应用1.经验回归方程：其中：复习引入

1.经验回归方程：其中：复习引入（1）作出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；

（4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计.2.求经验回归方程

的基本步骤3.残差的定义复习引入父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高观测值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.9771.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023残差表：残差=观测值－预测值4.残差分析1.残差分析途径：列残差表、作残差图.

为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示.残差图：012345-1-2-3-4-5160165170175180185残差/cm父亲身高/cm••••••••••••••残差图：作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边.说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值.通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设，

好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好．越窄越好复习引入4.残差分析1.残差分析途径：列残差表、作残差图.012345-1-2-3-4-5160165170175180185残差/cm父亲身高/cm••••••••••••••越窄越好复习引入4.残差分析2.残差的作用：判断回归模型刻画数据的效果；发现原始数据中是否存在可疑数据，对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可以数据，需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型.

一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.可见,只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.探究新知

残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分残差的方差不是一个常数，随观测时间的变大而变大残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内5.残差的运用练习1.已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：x3456y2.534m

B残差的概念回归直线过样本点中心5.残差的运用探究新知练习2.2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415

B5.残差的运用探究新知例1

经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高，由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据(如下表)，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.编号123456789101112胸径/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2树高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7

分析：求一元线性回归方程的步骤：（1）以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关（2）判断两个变量之间的线性相关关系

（4）残差分析：残差表、残差图对回归模型的拟合效果进行评估。探究新知以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图：

散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.用d表示胸径,h表示树高,根据据最小二乘法,计算可得经验回归方程为相应的经验回归直线如图所示.解:（1）画散点图（2）求经验回归方程探究新知编号胸径/cm树高观测值/m树高预测值/m残差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2（3）计算残差：根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如表所示.探究新知以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，如图(2)所示.4.作残差图：观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.00.51.0-0.5-1.0152025303540残差/m胸径/cm••••••••••••••45(2)探究新知

建立树的胸径和树高的关系是有实际意义的．实际上，在采伐设计、资源评估、森林规划调查等林业工作中常需测算森林蓄积量