东莞威远职中文化课数学教案：函数

东莞威远职中文化课数学教案：函数

一、基础知识

定义1映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则/,若对A中的任意一个元

素x,在3中都有唯一一个元素与之对应，则称3为一个映射。

定义2单射，若-3是一个映射且对任意都有八则称

之为单射。

定义3满射，若是映射且对任意都有一个使得八x)=y,则

称/:A-3是A到8上的满射。

定义4一一映射，若/:A-3既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一

映射存在逆映射，即从3到A由相反的对应法则尸构成的映射，记作尸:公一瓦

定义5函数，映射/:4一3中，若A,3都是非空数集，则这个映射为函数。A

称为它的定义域，若且｛x)=y(即x对应3中的y),则y叫做x的

象，x叫y的原象。集合伏x)heA｝叫函数的值域。通常函数由解析式给出，止匕

时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数尸3&-1的定

义域为｛xlxNO,x©R｝.

定义6反函数，若函数(通常记作y/x))是一一映射，则它的逆映

射尸:A-3叫原函数的反函数，通常写作y=「a).这里求反函数的过程是：在解

析式y=/(x)中反解x得行尸。)，然后将互换得y=P(x)，最后指出反函数的定

义域即原函数的值域。例如：函数产’的反函数是y=l-工(xwO).

1-XX

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函数。

定义7函数的性质。

(1)单调性：设函数在区间/上满足对任意的X1,X2©/并且对<了2，总有

f(Xi)<f(X2)(f(X)>f(X2)),则称外)在区间/上是增(减)函数，区间/称为单调增(减)

区间。

(2)奇偶性：设函数y=/a)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集，若对

于任意的xGD,都有八j)=-«x),则称八x)是奇函数；若对任意的xdD,都有

f（-x）=f（x）,则称大x）是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y

轴对称。

（3）周期性：对于函数八x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域

内每一个数时，八x+Q/x）总成立，则称八x）为周期函数，T称为这个函数的周期,

如果周期中存在最小的正数To,则这个正数叫做函数人x）的最小正周期。

定义8如果实数a<b,则数集｛xla<x<。,x©R｝叫做开区间，记作（a,b）,集合｛xla

记作闭区间集合｛xla<xWb｝记作半开半闭区间（。,勿，集合｛xla

Wx<b｝记作半闭半开区间［a,b）,集合｛xlx>a｝记作开区间（a,+8）,集合｛xlxWa｝

记作半开半闭区间

定义9函数的图象，点集｛Q,y）ly=/a）,xGD｝称为函数y=/（x）的图象，其中D为

八x）的定义域。通过画图不难得出函数y/x）的图象与其他函数图象之间的关系

（a力>0）；（1）向右平移。个单位得到的图象；（2）向左平移。个单位得

到y/x+a）的图象;（3）向下平移b个单位得到y=f（x）-b的图象;（4）与函数y=f（-x）

的图象关于y轴对称；（5）与函数尸爪-x）的图象关于原点成中心对称；（6）与

函数方尸⑴的图象关于直线y=X对称；（7）与函数尸虫犬）的图象关于x轴对称。

定理3复合函数方4g（x）］的单调性，记住四个字：“同增异减"。例如尸上,

u=2-x在（-8,2）上是减函数，y='在（0,+°°）上是减函数，所以一在

u2-x

（-8,2）上是增函数。

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显

然的。

1.数形结合法。

1X

例1求方程卜11=4的正根的个数.

X

【解】分别画出y=bll和产工的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程

X

有一个正根。

例2求函数危)=A/X4-3X2-6X+13-y/x4-x2+1的最大值。

2222

［解］»=7(X-2)+(X-3)-J(%2—1尸+(%—0)2,记点p8x-),A(3,2),

B(0,1),则/(x)表示动点P到点A和3距离的差。

因为1以1-解忘1431=*2+(2-1)2="5,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2

的交点时等号成立。

所以危)皿产J市.

2.函数性质的应用。

…、几…口[(1)2+1997(1)=-1.

例3设x,yCR,且满足1,求x+y.

(y-炉+1997(y-1)=1

【解】设g)=P+1997t,先证加)在(-8,+oo)上递增。事实上，若a<b,则

八。)十。)=/城+19973-4)=(。0(/+加+/+1997)>0,所以加)递增。

由题设於-1)=-141-)0,所以x-l=l-y,所以x+y=2.

例4奇函数次0在定义域(-1,1)内是减函数，又八1-。)式1-/)<0,求。的取

值范围。

【解】因为八X)是奇函数，所以大1也2)=虫/一1),由题设大

又危)在定义域(-1,1)上递减，所以解得0<0<1。

例5设八X)是定义在(-8,+oo)上以2为周期的函数，对左©Z,用4表示区

间(2hl,2A+l],已知当尤GTo时,f(x)=x,求八x)在。上的解析式。

【解】设xe/k，则2hl<xW2A+l,

所以大x-24)=(x-24F

又因为大刈是以2为周期的函数，

所以当x©4时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6解方程：(3%-1)(,9——6x+5+l)+(2x-3)(j4>2—12x+13+l)=0.

【解】令m=3x-1,n=2x-3,方程化为

m(J”？+4+1)+“(J"2+4+1)=0.①

若m=0,则由①得九=0,但m,不同时为0,所以mwO,

i)若m>0,则由①得〃<0,设加)=f(J/+4+1),则加)在(0,+8)上是增函数。

……4

又所以m=-n9所以3x-l+2x-3=0,所以x=<

4

ii)若m<0,且n>0o同理有m+〃=0,x=y,但与m<0矛盾。

综上，方程有唯一实数解x=g

3.配方法。

例7求函数y=x+J2x+1的值域。

【解】y=x+V27+l=1[2x+l+2J2x+1+1]-1

=1(V2x+l+l)-l^1-l=--|.

当时，y取最小值一工，所以函数值域是卜工，+8)。

222

4.换元法。

例8求函数yiVm+Fi+ZxTi=Z+l),xG[O,l]的值域。

【解】令+因为x©[0,1],所以2WU2=2+2,1--W4,所以后W

uW2,所以正士2・犯匚W2,1W4W2,所以产士,「©[行+2,8]0

2222

所以该函数值域为[2+正，8]0

5.判别式法。

例9求函数产一的值域。

x+3x+4

【解】由函数解析式得(y-l)7+3(y+l)x+4y-4=0.①

当ywl时，①式是关于x的方程有实根。

所以△=9(丹1尸-16(广1)220,解得)WyWL

又当尸1时，存在x=0使解析式成立，

所以函数值域为6，7]o

6.关于反函数。

例10若函数y/x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若大x)在(-8,+8)上

递增，求证：户尸。)在(-8,+8)上也是增函数。

【证明】设X1<X2,且乃4^⑴),竺=^。2)，则不4》)，也不必)，若月三”，则因为

八%)在(-8,+8)上递增，所以为2%2与假设矛盾，所以乃<>2。

即y才(X)在(-8,+8)递增。

4x+l

例11设函数八%)=W解方程：f(x)=f\x).

3%+2

71

【解】首先八X)定义域为(-8,-()U[-i,+8)；其次，设凡必是定义域

一匹)

口24x2+1411+1_5(X2

内变量,修<%2<---；---------

33X2+23/+2(3X2+2)(3%1+2)

71

所以八%)在(-8，一_)上递增，同理八》)在,+8)上递增。

34

在方程外)刁*1(尤)中,记危)才(x)=y,则yNO,又由/(x)=y得")=%,所以了2

0,所以+8).

4

若xRy,设x<y,贝Uf(x)=y<f(y)=x,矛盾。

同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.

即/(x)=x,化简得34+2/-4%-1=0,

fiP(X-1)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因为无NO,所以3/+5/+5%2+5%+1>0,所以x=l.

三、基础训练题

1.已知X={-1,0,1},y={-2,-i,o,1,2},映射/：x-y满足：对任意的％ex,它

在y中的象人X)使得X4/(X)为偶数，这样的映射有个。

2.给定A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射/：X-y,若/为单射，则/有

个；若/为满射，则/有______个；满足州%)]=/区)的映射有个。

3.若直线y4(x-2)与函数y=/+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有

个交点。

4.函数y=/(x)的值域为二,-],则函数g(x)=/a)+Jl-2/(%)的值域为。

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5.已知八