新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题05一元函数的导数及其应用利用导函数研究单调性含参问题解答题压轴题教师版

专题05一元函数的导数及其应用（利用导函数探讨单调性（含参）问题）角度1：导函数有效部分为一次型1．（2024·吉林吉林·模拟预料（文））已知函数.推断函数的单调性：解的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，.令，，所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.2．（2024·江苏南通·高二期中）已知函数，探讨函数的单调性；解由题意知：定义域为，；当时，恒成立，在上单调递减；当时，令，解得：；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.3．（2024·广东·东涌中学高二期中）已知函数（其中为参数）.求函数的单调区间：解由题意得：定义域为，；当时，，则的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，解得：；当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.4．（2024·全国·高三专题练习（文））已知函数．探讨函数的单调性；，．当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，从而函数在上单调递减，在上单调递增．5．（2024·全国·高三专题练习（文））设函数探讨函数的单调性；解：因为，定义域为，所以.①当时，，故在上单调递增；②当时，若，则，若，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.角度2：导函数有效部分为类一次型1．（2024·河南驻马店·高二期中（理））已知函数，为常数．探讨函数的单调性；解：因为定义域为，，当时，，则在上单调递增，当时，由解得，时，，单调递减，时，，单调递增综上知：当时，在上单调递增，当，的单调递减区间为，单调递增区间为．2．（2024·山东·德州市教化科学探讨院高二期中）设函数，．探讨函数的单调性；【解析】的定义域为，当时，，故在R上递减．当时，令得，令得综上可知：时，在上单调递减时，在上单调递减，在单调递增3．（2024·四川德阳·三模（文））已知函数，判定函数的单调性；【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；解：由题得，当时，，所以函数在上单调递增；当时，令所以令所以所以此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.4．（2024·湖北武汉·模拟预料）已知函数．探讨的单调性；因为，定义域为，所以．①当时，令，解得即当时，单调递增：当时，单调递减；②当时在单调递增；③当时令，解得，即当时，单调递减；当时，单调递增；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增．5．（2024·全国·模拟预料）已知函数，其中e为自然对数的底数，．探讨函数的单调性；函数的定义域R，求导得：，若，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，若，则对随意都有，则在R上单调递增，若，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型1．（2024·陕西·宝鸡中学模拟预料（文））已知函数(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间.【答案】(1)(2)答案见解析(1)解：当时，，所以，所以，，故在点处的切线方程是，即；(2)解：因为定义域为，所以，因为，当，即当时，由，解得或，当时，恒成立，当，即当时，由，解得或，综上，当时，的递增区间是，，当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，；2．（2024·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数．探讨的单调性；【答案】函数的定义域为．．当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．当时在单调递增．当时，，若或，则；若，则．所以在区间单调递增，在区间单调递减．当时，，若或，则；若，则．所以在单调递增，在单调递减．综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．3．（2024·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数，.探讨的单调性；【答案】.当时，，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.当，即时，恒成立，所以在上单调递增.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；4．（2024·江苏省苏州试验中学高二期中）已知函数，其中.探讨函数f(x)的单调性；【答案】的定义域为，依题意可知，，，当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，由恒成立，所以在定义域上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.5．（2024·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．(1)求在x＝1处的切线方程；(2)设，摸索讨函数的单调性．【答案】(1)；(2)答案见解析.(1)因为，则，所以，在x＝1处．在x＝1处切线方程：，即．(2)因为，所以，①若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，，当时，在和上，在上，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，在和上，在上，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上，，在上单调递增，在上单调递减；，在和上单调递增，在上单调递减；，在上单调递增；，在和上单调递增，在上单调递减.6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数探讨的单调性；解：由题意可得的定义域为①当时，即，在单调递增．②当时，即，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；③当时，即，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，④当时，即，时，，单调递减，时，，单调递增；综上可得：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2024·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预料）已知函数求函数的单调区间.【答案】由题意，得当时，恒成立，所以在R上单调递增.当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；2．（2024·辽宁·高二期中）已知函数．(1)当a＝1时，求零点的个数；(2)探讨的单调性．【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.(1)当a＝1时，，则，由，得x<0或x>2，由，得0<x<2，则在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，因为，，，，所以有3个零点．(2)由题意可得，①当a≤0时，由，得x>2，由，得x<2，则在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，②当时，由，得或x>2，由，得lna<x<2，则在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增，③当时，恒成立，则在（－∞，+∞）上单调递增，④当时，由，得x<2或x>lna，由，得2<x<lna，则在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增，综上，当a≤0时，f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；当时，在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增；当时，在（－∞，+∞）上单调递增；当时，在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增．3．（2024·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数探讨的单调性；【答案】的定义域为R,.i.当a≥-1时,.令,解得；令,解得.所以的单增区间为,单减区间为.ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1).（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时,≥0,所以在(-∞,+∞)单增.（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为,单减区为.（iii）当ln(-a-1)<0,即-2<a<-1时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为，的单减区间为.4．（2024·湖北荆州·高二期中）已知函数．探讨的极值．【答案】因为，所以．令，得或．①当时，由，得，由，得．则在上单调递减，在上单调递增，所以函数有微小值，没有极大值.②当时，由，得或，由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，所以函数有极大值，微小值．③当时，恒成立，则在上单调递增，函数无极值．④当时，由，得或，由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，所以函数有极大值，微小值.综上，当时，函数有微小值，无极大值；当时，函数有极大值，微小值；当时，函数无极值；当时，函数有极大值，微小值.5．（2024·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．(1)当时，若两个零点，求k的取值范围；(2)探讨的单调性．【答案】(1)(2)答案不唯一，详细见解析(1)解：因为，，所以，令得或（舍去），所以当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，，要使有两个零点，则，即，解得，∴．(2)解：由（1）得，令解得或，当时，即x0＋0－0＋所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，即，恒成立，所以的单调递增区间为．当时，即，x0＋0－0＋所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．当时，x0－0＋所以的单调递增区间为，单调递减区间为．6．（2024·浙江省杭州其次中学高二期中）已知函数．设，求函数的单调区间；【答案】(1)单调增区间是和，单调减区间是由题意，函数，则，当时，则，令，解得或；令，解得，．故的单调增区间是和，单调减区间是．7．（2024·全国·模拟预料）已知函数.探讨函数的单调性；【答案】由题意得的定义域为，，令，得或，①若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.②若，则（当且仅当时取“=”），在上单调递增.③若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.8．（2024·安徽师范高校附属中学模拟预料（理））已知函数，为常数，.探讨函数的单调性；【答案】且当时，在上，上，当时，在上，上，上，当时，在上，当时，在上，上，上，综上，时在上递减，上递增，时在上递增，上递减，上递增，时在上递增，时在上递增，上递减，上递增③导函数有效部分为不行因式分解的二次型1．（2024·天津·南开中学模拟预料）已知函数，记的导函数为，探讨的单调性；【答案】解：由已知可得，故可得．当时，，故在单调递增；当时，由，解得，或，记，，则可知当变更时，的变更状况如下表：00极大值微小值所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．2．（2024·安徽·蚌埠二中模拟预料（理））已知函数，．探讨函数的单调性；【答案】明显，函数的定义域为，且，①若，明显单调递增．②若，令，有，易知，当时，，单调递增；当时，，单调递减．③若，则，单调递增，④若，令，有，易知，当，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，若，的增区间为，减区间为；若，的增区间为；若，的增区间为，，减区间为．3．（2024·江苏徐州·模拟预料）已知函数，函数的导函数为．探讨函数的单调性；【答案】由得，函数的定义域为，且，令，即，①当，即时，恒成立，在单调递增；②当，即时，令，当时，，的解或，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．4．（2024·河南郑州·三模（理））设函数．求函数的单调区间；【答案】的定义域为，，令，当≤时，即≥时，在上递增，当时，即时，，解得，，当时解得，或，所以函数在，上单调递增，当时解得，，所以函数在上单调递减.综上，当≥时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.5．（2024·河南新乡·高二期中（理））已知函数．若函数，探讨的单调性．【答案】若，则，．当时，，在定义域R上单调递增．当时，令．解得，．若或，，则在和上单调递增；若，，则在上单调递减;6．（2024·全国·模拟预料）已知函数.当时，探讨函数的单调性.【答案】由，得.令，当时，，因此，所以函数在上单调递减；当时，，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.7．（2024·四川南