新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业15余弦定理正弦定理应用举例新人教A版必修第二册

课时分层作业(十五)余弦定理、正弦定理应用举例一、选择题1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛接近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是()A．103海里 B．106C．52海里 D．56海里2．一艘船向正北方向航行，望见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，接着航行半小时后，望见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是()A．52海里/时 B．5海里/时C．102海里/时 D．10海里/时3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m4．(多选)如图，某校测绘爱好小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同始终线上)，测得CD＝s．测绘爱好小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则依据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC二、填空题5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________nmile．三、解答题7．如图，一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，到A处时测得马路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．(1)求此山的高度(单位：km)；(2)设汽车行驶过程中仰视山顶D的最大仰角为θ，求tanθ．8．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走am到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝()A．22amB．a2mC．32amD9．一次机器人足球竞赛中，甲队1号机器人由点A起先做匀速直线运动，到达点B时，发觉足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝42dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽视机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．10．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出须要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．课时分层作业(十五)1．D[如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．由正弦定理，得10sin45°所以BC＝56(海里)．]2．D[如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．]3．B[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB则BC＝2100012×sin15°＝10500(6-2)，因为所以CD＝BCsin45°＝10500(6-2)×22＝10500(3－1)所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B．]4．ACD[解一个三角形，须要知道三个条件，且至少一个为边长．对于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE．由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故选ACD．]5．2[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．在△ABC中，ABsinC＝∴AC＝AB·sin∠ABCsinC＝1×6．202[由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，由正弦定理得ABsin∠BCAABsin30°＝40sin135°7．解(1)设此山高h(km)，则AC＝htan在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．依据正弦定理得ACsin∠ABC＝ABsin∠BCA，即hsin120°(2)由题意可知，当点C到马路距离最小时，仰视山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin45°，DC＝AC·tan30°，所以tanθ＝DCCE＝68．A[由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝am，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴asin30°＝PBsin15°，∴PB＝6-22am，∴h＝PC＋CQ＝6-229．7[设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝373∴AC＝17－2x＝7(dm)或－233(dm)(舍去)∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．]10．解方案一：①须要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝dsin其次步：计