2024年高中数学专题1-6重难点题型培优精讲充分条件与必要条件学生版新人教A版必修第一册

充分条件与必要条件1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．充要条件假如“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即假如p⇔q，那么p与q互为充要条件．温馨提示：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．【题型1充分条件、必要条件及充要条件的判定】【方法点拨】(1)定义法：首先分清条件和结论，然后推断p⇒q、q⇒p和p⇔q是否成立，最终得出结论．(2)命题推断法：①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．④若peq\o(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若peq\o(⇒,/)q，且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．【例1】（2024•呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件【变式1-1】（2024春•温州期中）设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【变式1-2】（2024•西宁一模）设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【变式1-3】（2024•柯桥区模拟）设x∈R，则“x＞2”是“2x＜A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【题型2充分条件、必要条件及充要条件的探究】【方法点拨】(1)先找寻必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，找寻使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不须要将充分性和必要性分开来证．【例2】（2024春•射洪市校级期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【变式2-1】（2024秋•南宁期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x【变式2-2】（2024•全国一模）已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（）A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D．1【变式2-3】（2024秋•湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【题型3由充分条件、必要条件求参数】【方法点拨】依据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再依据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【例3】（2024秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1【变式3-1】（2024秋•罗庄区校级月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【变式3-2】（2024•晋中模拟）已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【变式3-3】（2024•渭滨区校级模拟）假如不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤【题型4充要条件的证明】【方法点拨】证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性须要证明“条件”⇒“结论”，必要性须要证明“结论”⇒“条件”．【例4】（2024秋•禅城区校级月考）已知ab≠0，求证：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要条件是a﹣b＝0．【变式4-1】（2024秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“