湖南省长沙市长沙县百熙实验学校2023-2024学七年级下学期第一次月考数学试卷

湖南省长沙市长沙县百熙实验学校2023-2024学七年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（）A． B．0 C．0. D．2．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）3．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（）A．120° B．110° C．80° D．70°4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．＝﹣5．（3分）下列命题中是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c D．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c6．（3分）若a，b为两个连续的正整数，且，则a+b等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．（3分）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（）A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（）A． B． C． D．9．（3分）如果，，那么约等于（）A．28.2 B．13.33 C．0.2872 D．0.133310．（3分）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（）①∠BAE+∠CAD＝180°；②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）比较大小：3．（填“＞”、“＝”或“＜”）12．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）在第象限．13．（3分）9的平方根是．14．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为．15．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是．三、解答题（本大题共8个小题，共72分.）17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）解方程（组）：（1）（x﹣1）2＝4；（2）解方程组．19．（6分）已知，化简求值：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]．20．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2．试说明∠DGA+∠BAC＝180°．请将下面的说明过程填写完整．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝．（）．又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3，（）．∴AB∥，（）∴∠DGA+∠BAC＝180°．（）22．（9分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：琮琮莲莲进价（元/个）6070售价（元/个）80100（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？23．（9分）已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF．（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为；（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；（3）设两点运动的时间为ts，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（）A． B．0 C．0. D．【解答】解：0，0.，是有理数，是无理数，故选：A．2．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），故选：A．3．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（）A．120° B．110° C．80° D．70°【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠FEB＝180°﹣∠1＝110°，∵AB∥CD，∴∠2＝110°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．＝﹣【解答】解：∵﹣1＜0，∴无意义，故A错误，不符合题意．∵＝3，∴B错误，不符合题意．∵＝2，∴C错误，不符合题意．∵，∴D正确，符合题意．故选：D．5．（3分）下列命题中是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c D．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，是假命题；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；C、在同一平面内，如a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；D、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c，是假命题；故选：C．6．（3分）若a，b为两个连续的正整数，且，则a+b等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵3＜＜4，∴a＝3，b＝4，∴a+b＝7，故选：B．7．（3分）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（）A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE【解答】解：根据∠D+∠BAD＝180°，可得AB∥CD；根据∠1＝∠2，可得AB∥CD；根据∠3＝∠4，可得BC∥AD，得不到AB∥CD；根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD．故选：C．8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（）A． B． C． D．【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意得：，故选：A．9．（3分）如果，，那么约等于（）A．28.2 B．13.33 C．0.2872 D．0.1333【解答】解：∵＝1.333，∴，故选：B．10．（3分）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（）①∠BAE+∠CAD＝180°；②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：如图，点M在DA的延长线上，∵∠DAE＝90°，∴∠EAM＝∠1+∠CAM＝180°﹣∠DAE＝90°，又∵∠CAB＝∠2+∠1＝90°，∴∠2＝∠CAM，又∵∠CAD+∠CAM＝180°，∴∠2+∠CAD＝180°，即∠BAE+∠CAD＝180°，故①正确，符合题意；∵∠2与∠E互余，∴∠2+∠E＝90°，∵∠E＝60°，∴∠2＝30°，∴∠3＝60°≠∠B，∴BC与AD不平行，故②错误，不符合题意；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝45°，故③正确，符合题意；∵∠CAD＝150°，∠CAM+∠CAD＝180°，∠BAE＝∠CAM，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确，符合题意．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）比较大小：＞3．（填“＞”、“＝”或“＜”）【解答】解：∵32＝9＜10，∴＞3，故答案为：＞．12．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）在第二象限．【解答】解：∵﹣1＜0，3＞0，∴点A（﹣1，3）在第二象限．故答案为：二．13．（3分）9的平方根是±3．【解答】解：9的平方根是±＝±3．故答案为：±3．14．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为1．【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：x＝4﹣2y，代入第二个方程中，可得：2（4﹣2y）+y＝5，解得：y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x+2×1＝4，解得：x＝2，∴x﹣y＝2﹣1＝1，故答案为：1；解法二：∵，由②﹣①可得：x﹣y＝1，故答案为：1．15．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝2．【解答】解：∵点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，∴2﹣a＝0，∴a＝2，故答案为：2．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是（675，1）．【解答】解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），2024÷6＝337……2，∴P6×337+2（2×337+1，1），即P2024（675，1），故答案为：（675，1）．三、解答题（本大题共8个小题，共72分.）17．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝2﹣3+2＝1；（2）＝＝．18．（6分）解方程（组）：（1）（x﹣1）2＝4；（2）解方程组．【解答】解：（1）由原方程得：x﹣1＝±2，解得：x＝3或x＝﹣1；（2），①+②得：3x＝6，解得：x＝2，将x＝2代入①得：2﹣y＝1，解得：y＝1，故原方程组的解为．19．（6分）已知，化简求值：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]．【解答】解：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]＝2a2b+2ab2﹣1﹣（3a2b﹣3+ab2+2）＝2a2b+2ab2﹣1﹣（3a2b+ab2﹣1）＝2a2b+2ab2﹣1﹣3a2b﹣ab2+1＝﹣a2b+ab2，∵，∴a+1＝0，b﹣1＝0，解得：a＝﹣1，b＝1，∴原式＝﹣（﹣1）2×1﹣1×12＝﹣2．20．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A1（4，﹣2），B1（1，﹣4），C1（2，﹣1）；（3）△A1B1C1的面积为：3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝3.5．21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2．试说明∠DGA+∠BAC＝180°．请将下面的说明过程填写完整．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3，（等量代换）．∴AB∥DG，（内错角相等，两直线平行）∴∠DGA+∠BAC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）【解答】解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3，（等量代换）．∴AB∥DG，（内错角相等，两直线平行）∴∠DGA+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．22．（9分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：琮琮莲莲进价（元/个）6070售价（元/个）80100（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，由题意等：，解得：，答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；（2）周老师在甲商店购买需要的费用为：20×80×0.8+30×100×0.8＝3680（元），在甲商店购买需要的费用为：20×80+30×100﹣700＝3900（元），∵3680＜3900，∴周老师会选择到甲商店买更优惠．23．（9分）已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF．（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA．【解答】（1）证明：∵∠AGB＝∠DGH，∠AGB＝∠EHF，∴∠DGH＝∠EHF，∴BD∥CE，∴∠D＝∠FEC，∵∠C＝∠D，∴∠FEC＝∠C，∴AC∥DF；（2）解：由（1）知BD∥CE，∴∠D+∠DEC＝180，∵∠DEC＝150°，∴∠D＝30°，∵AC∥DF，∴∠GBA＝∠D＝30°．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为（2，14）；（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（﹣2，1）；（3）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，∴P1（c﹣1，2c），∴P1的“﹣3阶派生点“P2为：（﹣3（c﹣1）+2c，c﹣1﹣6c），即（﹣c+3，﹣5c﹣1），∵P2在坐标轴上，∴﹣c+3＝0或﹣5c﹣1＝0