高中数学高考知识重点练习(三)

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件Q,P（Q）=1,不可能事件4）,P（＜t））=O

（2）包含关系：AuB,“A发生必导致B发生”称B包含A。

（3）事件的和（并）：A+B或AUB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和

（并）。

（4）事件的积（交）：A・B或AflB"A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A•B=（|）

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，AAUA-Q,AAA=（|）

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立

事件。

A与B独立，A与囚与B,久与否也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即

D”、A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n

(2)若A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互独立,则P(A-B)=P(A)-P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kn-k

k次的概率：Pn(k)=C^p(l-p)

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)从中任取2件都是次品；

(pC2)

(2)从中任取5件恰有2件次品；

(C2c310、

[2-c；o-21J

(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，，n=1(?

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

：.m=C}•426'+43

.cCQ42.6+4344

.•P3=\=

103125

(4)从中依次取5件恰有2件次品。

解析：•.•一件一件抽取(有顺序)

..n=A；o，m=C；AgA：

.p_C：A；A：_10

分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,

它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成

若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明

显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计一一用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方

差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

(1)算数据极差(x3-x*)；

(2)决定组距和组数；

(3)决定分点；

(4)列频率分布表；

(5)画频率直方图。

其中，频率=小长方形的面积=组距义器

组距

样本平均值：x=-(x,+X,+.......+x)

n'n7

222

样本方差：S=-对+(x3-X)+........+(xn-X)j

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组

成此参赛队的概率为»

c4C2

C6

56.你对向量的有关概念清楚吗？

(1)向量——既有大小又有方向的量。

(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|

—>

—>—>a

(3)单位向量|a°|=l,a<)=—

|a|

(4)零向量0,|0|=0

长度相等->->

（5）相等的向量。a=b

方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）----方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

—>-*->—>—>—>

b〃a（b声0）o存在唯一实数九，使b=Aa

（7）向量的加、减法如图：

OA+OB=OC

—―

OA-OB=BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e,,高是平面内的两个不共线向量，；为该平面任一向量，则存在唯一

实数对九I、九2，使得a=%ei+九2e2,ei>e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

；是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,y,使得

a=xi+yj,称（x,y）为向量a的坐标，记作：a=（x,y）,即为向量的坐标

表示。

设a=(xjyj,b=(x2，y2)

则a±l^=(x],yj士(%，丫2)=卜|土9,x2±y2)

Xa=X(Xj,yJ=,X],入yj

若A(X],yj,B(X2,y2)

则AB=(X2-X|,丫2-%)

22

IAB|=^(x2-x,)+(y2-yt),A、B两点间距离公式

57.平面向量的数量积

—>—>—>—>—>—►

(1)a•b=|a|•|b|cos。叫做向量a与b的数量积(或内积)。

e为向量；与二的夹角，0e[0,n]

数量积的几何意义：

a•b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos0的乘积。

(2)数量积的运算法则

①a•b=b•a

—>—>—>—>

②(a+b)c=a•c+b•c

③a-3=(X],yj•(x2,y2)=X1X2+y]y2

•—>—>—>—>—>—>

注意：数量积不满足结合律(a•b)•cwa•(b•c)

(3)重要性质：设a=(x],yj,b=(x2,y2)

->->-

①a_Lb=a•b=0oX],X2+y]・y2=0

—>—>T-»T—>T—>—>—>

(2)a//b<=>a•b=|a|•|b|或a•b=-|a|•|b|

—>—>—>

<=>a=Xb(bwO,入惟一确定)

^>x,y2-x2y,=0

③a=|a『=x；+y：,|a,b|<|a|,|b|

a,bx,x,+y,y

④cos。=2

Jx；+y；•&+y；

|a|-|b|

［练习］

-T

（1）已知正方形ABCD,边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则

|a+b+c|=

答案：2y［2

（2）若向量a=（x,1）,b=（4,x）,当乂=时a与b共线且方向相同

答案：2

->―»__>—>

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60。,那么|a+3b|=

答案：V13

58.线段的定比分点

设P|（X|,%），P2（X2,y2）,分点P（x,y）,设P?是直线/上两点,P点在

/上且不同于R、P2,若存在一实数M使京=入玲，则九叫做P分有向线段

—）

PR所成的比（入>o，P在线段PF2内，入<。，P在PF2外），且

X]+XxX,+x

x=2X=—5----2

1+X2

P为PF2中点时，

V+九丫2y='+y2

y=

1+九2

如：AABC,A（Xjy）B（x2,y2）,C（x3,y3）

则AABC重心G的坐标是。+；+X3,%+,+丫3）

X.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线〃线＜——＞线〃面＜——＞面〃面

_^!废一线,线＜一＞线,面一＞面，面＜..赴医一.

线〃线＜一一＞线_1_面＜_＞面〃面

线面平行的判定：

a〃b,bu面a,a（za=＞a〃面a

a

线面平行的性质：

a〃面a,。（=面0,ap|p=b=＞a〃b

三垂线定理（及逆定理）：

PA，面a,AO为PO在a内射影，au面a,则

a±OA=＞a_LPO；aJLPOna_LAO

线面垂直:

a_Lb,a_Lc,b,cua,bQc=O=>a±a

面面垂直:

@_1_面01,au面0=>BJ_a

面a_L面p,aAp=lyaua,a±Z=>a±p

a±®a,b±lEa=>a//b

面a_La,面B_Lana〃p

60.三类角的定义及求法

(1)异面直线所成的角。，0°<0^90°

(2)直线与平面所成的角e,0°W0W90°

。=0"时，b〃a或bua

(3)二面角：二面角口-/一。的平面角①0°<0<180°

(定义法)

（三垂线定理法：AWa作或证ABJ.B于B,作BOJ_棱于0,连A0,则A0_L棱/,

ZA0B为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

［练习］

（1）如图，0A为a的斜线0B为其在a内射影，0C为a内过O点任一直线。

证明：cosy=cos0,cosP

（。为线面成角，/AOC=y,NBOC=0）

（2）如图，正四棱柱ABCD—ABCQi中对角线BD|=8,BD|与侧面&BCG所成的

为30°。

①求BD］和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD,和AD所成的角;

③求二面角C,—BD1—B1的大小。