高中数学-离散型随机变量的分布列

教师版第五单元第4讲离散型随机变量的分布列(6课时)

一.基本理论

(一)基本概念

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量来表

示，随机变量常用希腊字母；山等表示.

(2)离散型随机变量：

如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列此这样的随机变量

叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数；是一个离散型随机变量.

(3)连续型随机变量

如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.

(二)离散型随机变量的分布列

1.设离散型随机变量皆可能取的值为,…,自取每一个值123,4...)

的概率

p<…匕则称下表

g・・・・・・

x2

……

PPlPlPi

为随机变量：的概率分布,简称为：的分布列.

分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式；(B)一组等式(C)压缩

为一个带，•的形式.

2.由概率的性质知，任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质：

(A)Pj20J=1.2.3-,(B)+p2+•••=I

3.求分布列三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；

(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；

(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列.

4..离散型随机变量的期望与方差

一般地,若离散型随机变量；的概率分布列为

pI凡I〃卜]p,卜I

则称鹰=+X1P1+…+x„pn+…为：的数学期望或平均数.或均值.

/Pi♦(鸟・腐-Pi4<•«■-纬/。

为M的均方差.简称方差.、历叫标准差.

性质：⑴"：=£(/)-(琦尸(2)N喏;海冏P•群

(3)D(ag+Z>)=a:Dg

(三)几种常见的随机变量的分布

1.两点分布

如果随机变量X的分布列为

才10

PPQ

其中oqxi,q=l-p,则称离散型随机变量1服从参数为0的两点分布.

2.二项分布

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生,在依次独立重复试验中这个

事件发生的次数s是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在认

次独立重复试验中这个事件恰好发生左次的概率是

用劈耀嗯F塞电.碟工海祗够急…g

得到随机变量；的概率分布如下

・・・.・・

§01k

Pd"°g"C；p‘小・・・・・・C：pnq°

称随机变量；服从二项分布,记作€、B(n,p),并记UP‘g"'=b(k;n,p)

3.超几何分布

一般地，在含有M件次品中的N件产品中，任取”件，其中恰有X件次品数,则事件

.....P“=«)=""=0,1,23….九

那禅发生的概率为C'

其中m-min{〃},刀sN,MsN、n,M、NsM

称分布列

X01・・・m

•・・>~»IWfff

P•N-M

G

4.几何分布

Eg=1-璞=1-1

(1)若则”P(2)若二〜奴女。)，贝!!“/

二.题型分析

题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列

题1.(2011•北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

甲组乙组

990989

1110

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学

(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；

(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望.

[审题视点]本题解题的关键是求出n的取值及取每一个值的概率，注意用分布列

的性质进行检验.

解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4X4=16,这两名同

学植树总棵数Y的取值分别为

17,18,19,20,21,

P(2=17)==P(Y=18)==P(Y=19)==夕(Y=20)==

ar=2i)==

则随机变量Y的分布列是：

Y1718192021

/，

(2)由(1)知CD=++++=19,

设这名同学获得钱数为X元，则¥=10匕

则£0)=10«(0=190.

题2.【2012高考真题广东理17](本小题满分13分)某班50位学生期中考试

数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].

(1)求图中x的值；

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含

90分)的人数记为1求4得数学期望.

【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以

及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，

难度中等。

【解析】

(I)lh>o>OM»«10*001•10-0054UfOeia

(2)令他IK)分的学生有12人.90分磔上的学生有3人

题型2由古典概型求离散型随机变量的分布列

题3.(2012年韶关二模)有一个3X4X5的长方体，它的六个面上均涂上颜色.

现将这个长方体锯成60个1X1X1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1

个，设小正方体涂上颜色的面数为1

(1)求4=0的概率；

(2)求二的分布列和数学期望.

(1)60个1X1X1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，

八、6I

=0)=­=—

6010…(3分)

(2)由(1)可知

1)122

P(J=O)=—P(4=1)=-P4=2)=-。(夕=3)

10；30；5；15(7分)

分布列

0123

11122

P

1030515

…(10分)

1112_2_47

Ef=ox10+1X30+2X5+3X15=30

…(12分)

题4.[2012高考真题浙江理19]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：

取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取

到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和.

(I)求乃的分布列；

(II)求X的数学期望60).

【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。

(I)X的可能取值有：3,4,5,6.

C2_

U"42

故，所求X的分布列为

3156

£201015521

P――•S

前422142144221

(II)所求才的数学期望£(方为：

、5105,191

V/­P(X■/)3x—+4x—♦5x—+6x—♦—

«(乃=£4221142121.

题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列

题5.【2012高考真题重庆理171

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获

胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为三，乙每次投篮投

中的概率为5,且各次投篮互不影响.

(I)求甲获胜的概率；

(II)求投篮结束时甲的投篮次数〈的分布列与期望

【答案】

分..示甲、乙在第4次次■援中,■

(I>i£-”ir»・ccqffi*t»l■・•，■中■”

I•山■升JC・

F|C•Ft4.1•H<，M»*•

・—)KidlU/U♦K，JK，.)K&，C岂)M4

(l)(一,R・・・力L，・9

IM•l>•A4»>・KQU•}♦1■J•J,

-1)-k稿娟•nu^A)•<J>,<I)'•工.

•J)•K编谒)•(甘(打•1.

tII3)

一；I1V

-----L__l_____»■'

…•i•…•：J；g

题6.[2012高考真题全国卷理19】

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，

对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙

的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.

甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

(I)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(II)-表示开始第4次发球时乙的得分，求.的期望.

【答案】

吧，施小/件；3H次M312次匕/用、峥.甲尻八01I.九

4，[次甲与II

3•1•什：JfKiT4><**!♦11.W».〃的It甘力1怙2.

014.A4,»-3>»ft*O4048.1•一］什

Af)-A4■.4•.44)

-PIA,.<>>A.4,«»

•/M.hfLiA<>n4>

•0,|»*64*04S.||04)

•■.”?-“9”

.IPA<)Ob0U»/

:护好鞋市值为0J.23

H2-mA<^1-tX054-0*0144.

fUFF阳

A4-3)-A<n(^OI6*nt.0096.

A4-1)-1--<n-A：2»-

I0144-0152o<m

•040R,i“10纣

f42-^(4'21*-5)

.04M»2«0IS2*1»OO«6

1.4001U分

题型4.两点分布

题7.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；-

旦失败，一年后将丧失全部资金的50%下表是过去200例类似项目开发的实施结

果：

投资成功投资失败

192次8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是.

解析设该公司一年后估计可获得的钱数为¥元，则随机变量乃的取值分别为50

000X12%=6000（元），-50000X50%=-25000（元）.由已知条件随机变量才的

概率分布列是

X6000-25000

P

因此少（少=6000X+（-25000）X=4760

答案4760

题型4.二项分布

题8.（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）

在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的

中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥

体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培

养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；

（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区

的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望工¥。

解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件4“蜜蜂落入第二实验区”为事件

8.…1分

依题意，

-P（A）=-

，8蜜蜂落入第二实验区的概率为

7

8<,....................4分

(2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件仁，

则............5分

恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

70

萍...............8分

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间

是不受影响的，所以变量X满足二项分布，即X〜

.....................................10分

...随机变量X的数学期望

FX=40X8=5.....................................12分

题9.(2012年茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净

化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植入B,C,D四棵风景树，受本地地理环

境的影响，48两棵树的成活的概率均为之，另外两棵树UO为进口树种，其成

活概率都为以°<口<D,设表示最终成活的树的数量.

(1)若出现人8有且只有一颗成活的概率与仁〃都成活的概率相等，求a的值；

(2)求：的分布列(用a表示)；

(3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围.

2X—X(1----)=3"

解：(1)由题意，得22,

4i

a=-----

二2.............2分

(2)€的所有可能取值为0,1,2,3,4.……3分

PC=0)=C?(l--)2C^(l-a)2=-(1-a)1

24・・・

......................4分

-I)-c；-(I-4.Cu-->J--(I-4)

................5分

1

pii•2)•—w)♦C*t—<1----<1♦2>-2A*I

..............6分

*3)*<।，./><'—(1--)C|«5"—

7分

。房=4)=

48分

得；的分布列为：9分

01234

aa~

一(1-a)—(1+2a-2a')

2424

a'a

一(1—3)"<-(1-U)

(3)由显然4242..............10分

,-八z--(14-2a-2a')—(l-a)=—(27-4a+1)之0

.・.pU=2)-p楮=1n)=424,•,11分

MS=2)-MS=3)=V"2，~~2~__(2s--1)之0

412分

2-426

4&4------

由上述不等式解得a的取值范围是22.……13分

题型5.超几何分布

题10.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同

学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，

记其中有X名男同学.

(1)求X的概率分布；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

解(1)X的可能取值为0,1,2,3.

Cmft-nt

NM

根据公式P(X二m)二c%算出其相应的概率,

即X的概率分布为

X0123

P11515

28

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为

史史竺

P(X=l)+P(X=2)=56+28=56.

题型6.离散型随机变量的均值和方差

题11.(2011•北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组

记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲加乙例

990X89

1110

(1)如果才=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果J=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵

数V的分布列和数学期望.

(注：方差$2=[(xl—)2+(x2—)2H---F(x〃一)2],其中为xl,x2,…，的平

均数)

解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10,

所以平均数为：==；

方差为：s2=X[(8-)2+(8-)2+(9-)2+(10-)2]=.

⑵当¥=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的

植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4X4=16种

可能的结果，这两名同学植树总棵数/的可能取值为17,18,19,20,21.事件“勺

17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件

有2种可能的结果，因此P(F=17)==.同理可得P(J，=18)=；P(V=19)=；P{Y

=20)=；/(V=21)=.所以随机变量Y的分布列为：

y1718192021

p

£?=17XP(Y=17)+18XP(y=18)+19XP(?=19)+20X/5(Y=20)+21XP(y=21)

=17X+18X+19X+20X+21X=19.

题12.(2011•福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为

1,2,…，8,其中45为标准A,43为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产

品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准8生产该产品，产品的零售价为4元/

件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

(1)已知甲厂产品的等级系数汨的概率分布列如下所示：

Al5678

p0.4ab0.1

且总的数学期望以内)=6,求a,6的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数罪，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的

等级系数组成一个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数A2的数学期

望.

(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可

购买性？说明理由.

注：(1)产品的“性价比”=；

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

［审题视点］(l)利用分布列的性质/^l+/2+凡+必=l及£Cn)=6求a,力值.

(2)先求M的分布列，再求£02),(3)利用提示信息判断.

解⑴因为因加)=6,所以5X0.4+6a+76+8X0.1=6,即6a+7A=3.2.

又由用的概率分布列得0.4+a+6+0.1=1,即a+6=0.5.

由解得

分布列如下:

A2345678

P0.30.20.20.10.10.1

所以

MA2)=3X0.3+4X0.2+5X0.2+6X0.1+7X0.1+8X0.1=4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.

(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为=1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为

=1.2.

据此，乙厂的产品更具可购买性.

《离散型随机变量的分布列》作业班次姓名

1.一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球，现从中随机取出3

个球，以X表示取出的最大号码.

(1)求X的概率分布；

(2)求X>4的概率.

解(1)X的可能取值为3,4,5,6,从而有：

£1±

P(X=3)=或,

P(X=4)=《=而，

P(X=5)=c»=1。，

P(X=6)=/=2.

故X的概率分布为

X3456

p133

2020102

2.±

(2)P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)=ioio=5.

2.(2011•浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人

简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为

P，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记乃为该毕业生得到面试的公司个

数.若尸(1=0)=,则随机变量X的数学期望£(乃=.

［审题视点］分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望.

解析由已知条件-乃=0)=

即(1—92X=,解得々，

随机变量力的取值分别为0,1,2,3.

尸(X=0)=,

P(X=1)=X2+2XX2=,

PGT=2)=2XXX+X2=,

P(X=3)=X2=.

因此随机变量X的分布列为

J0123

p

£CO=OX+1X+2X+3X=.

答案

3.(广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题)

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为鼻，乙每次击中目标的概率

2

3,

(I)记甲击中目标的次数为求之的概率分布及数学期望£之；

(II)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

<PIK<(l>j

*n«**eiar».*01

p1W2!

iiii

ZJ-01+t1-15(<£*->2-isi

(l>或甲Itt乙多击中日我2次为a甲除正中日后：次HN玉里日bc氏0恪3.科建中

8H?1楂W件s,«

&•3：为5/fH...M-»7翁

----11^

RHX财眸t乙/击空目后：本为:“r殍分

4.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4

人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.

解依题意随机变量X服从超几何分布，

c%c」

所以P(X=k)=c；。(k=0,1,2,3,

4).4分

C初1以C：9

.*.P(X=0)=CKI=210,P(x=l)=CKI=35,

£1£13£1c^以

P(X=2)=4=,,p(x=3)=c；°=五,

P(X=4)=

9分

AX的概率分布为

X01234

p11281

?"3572114

14分

5.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两

人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到

两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X

表示取球终止时所需要的取球次数.

⑴求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概

率.

［审题视点］对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确.

解(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件=,

即x2-x-6=0,

解得x=3,或x=—2(舍去).

(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2,3,4,5.

因此，尸(¥=1)==,。(乃=2)==,

尸(X=3)==,尸(X=4)==,

/V=5)==.

则随机变量X的分布列为：

12345

P

⑶甲取到白球的概率为—++=++=.

6.(2011•江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工

资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为力

饮料，另外4杯为8饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯/

饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2

800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对月饮料的杯数.假设此人对

/和6两种饮料没有鉴别能力.

(1)求X的分布列；

(2)求此员工月工资的期望.

解(1)一的所有可能取值为:0,1,2,3,4,

P［X=i)=(7=0,1,2,3,4),

则

.V01231

P

(2)令V表示此员工的月工资，则V的所有可能取值为2100,2800,3500,则

一(Y=3500)=P(X=4)=,

P{Y=2800)=0(乃=3)=,

产(Y=2100)=P(XW2)=,

£(D=3500X+2800X+2100X=2280,

所以此员工月工资的期望为2280元.

7.(2008•