数学（文）一轮教学案：第十一章第1讲 概率 含解析

第H^一章概率与统计

第1讲概率

考点展示考纲要求高考命题探究

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定

1.内容探究：(1)随机事件的概率主要考查频率与概

事件与概率性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.

率的关系，结合概率的性质考查互斥事件和对立事件

(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.

的概率.(2)古典概型主要考查实际背景的可能事

(1)理解古典概型及其概率计算公式.件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合考查.

古典概型

(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事(3)几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件

件发生的概率.区域的长度、面积、体积有关的实际问题，注意数

形结合思想和逻辑思维能力.

(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计

几何概型概率.2.形式探究：本讲内容在高考中多以选择题、填空题

形式出现.

(2)了解几何概型的意义.

1

ES考点-事件与概率

避拒基础点重难点

1事件的相关概念

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件.

(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.

(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件.

2频率与概率

(1)事件的频率：在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事

件A是否出现，称〃次试验中事件A出现的次数”为事件A出现的

频数,称事件A出现的比例为(A)=詈为事件A出现的频率.

(2)概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验

时，随机事件A发生的频率加A)=拳会在某个赏数附近摆动，则把这

个常数记作尸(A),称为事件A的概率，简称为A的概率.

3事件间的关系及运算

名称定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发

包含关系生，这时称事件B包含事件A(或称33B（或

事件A包含于事件B)

若32A且A23,则事件A与事件B

相等事件A=5

相等

若某事件发生当且仅当事件A或事

并(和)事件件B发生，则称此事件为事件A与■8（或4+8）

事件5的并事件(或和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生

交(积)事件且事件B发生，则称此事件为事件AAn3（或AB）

与事件B的交事件(或积事件)

若4G8为不可能事件，则称事件A

互斥事件4G3=0

与事件B互斥

若AA3为不可能事件，AU3为必

对立事件然事件，那么称事件A与事件3互--

为对立事件

4概率的性质

(1)任何事件的概率都在0〜1之间，即OWP(A)WL必然事件的概

率为1,不可能事件的概率为0.

(2)当事件4与事件3互斥时，P(AU8)=P(A)+P(B).上述公式

称为互斥事件的概率加法公式.

(3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立，则P(A)

+P(B)=1.

注意点频率与概率的关系及并事件、互斥事件的理解

(1)频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.因为

频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同产生的频率也可能

不同，所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.但从

大量的重复试验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定在某一固

定的值上，频率具有某种稳定性.

概率是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数增加时，所

得的频率可近似地当作事件的概率.

(2)并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件3不发生；②

事件A不发生，事件3发生；③事件A,8都发生.即事件A,3至

少有一个发生.

(3)互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B

不发生；②事件A不发生且事件3发生；③事件A与事件B都不发

生.

1.思维辨析

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)随机事件和随机试验是一回事.()

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.()

(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)V

2.从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿

球数都大于2),那么互斥而不对立的两个事件是()

A.至少有一个是红球，至少有一个是绿球

B.恰有一个红球，恰有两个绿球

C.至少有一个红球，都是红球

D.至少有一个红球，都是绿球

答案B

解析选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选

项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；

选项D中的两事件是对立事件.故选B.

3.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件4为出现奇数点，

事件3为出现2点，已知P(A)=S，则出现奇数点或2点的

概率之和为.

2

答案3

解析出现奇数点或2点的事件为AU8,

且A,3为互斥事件，：.P(AUB)=P(A)+P(B).

112

.,.P(4U8)=］+d=T

［考法综述］随机事件的概率、互斥事件、对立事件的概率

为高考常考内容，多与古典概型及独立事件进行综合考查.

典例根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为

0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

［解］记A表示事件：该车主购买甲种保险；8表示事件：该车

主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、

乙两种保险中的1种；。表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买.

(1)由题意得尸(4)=0.5,P(B)=0.3,又。=4UB,

所以P(Q=P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以尸(。)=1一尸(0=1—0.8=02

【解题法】互斥与对立的关系及解决此类问题的方法

(1)互斥与对立的关系

①两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥.

②只有事件A,B互斥时，才有公式尸(4U3)=尸(A)+P(3),否

则公式不成立.

(2)解决互斥与对立事件问题时的方法策略

①解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出

是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.

②求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

a.直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概

率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.

b.间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1

—P(N)求解，即运用正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”

型问题，用间接法就显得较简便.

1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,

则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

13

-

-

A.88

飞

答案D

解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加

公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都

选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P

24-1-1147士…

―24-16-8,故选D-

2.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，

2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为

答案I

解析4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只

球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1

黄2,共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故尸=看

3.现有某类病毒记作X"%,其中正整数加，n(mW7,〃W9)可以

任意选取，则相，〃都取到奇数的概率为.

答案63

解析由题意知根的可能取值为1,2,3,…，7；〃的可能取值为

1,2,3…，9.由于是任取小，n：若加=1时，”可取1,2,3,…，9,共

9种情况；同理加取2,3,…，7时，〃也各有9种情况，故冽，”的

取值情况共有7义9=63种.若九〃都取奇数，则m的取值为1,3,5,7；

〃的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4X5=20种.故所求概

*420

率为0

4.A,B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单

位：天)记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16；

B组：12,13,15,16,17,14,Cl.

假设所有病人的康复时间相互独立.从A,B两组随机各选1人，

A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2)如果”=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3)当。为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？(结论不

要求证明)

解设事件4为“甲是A组的第i个人”，

事件B•为“乙是B组的第z•个人”，=1,2,…，7.

由题意可知P(A»=P(8)=,i=l,2,…，7.

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是

A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少

于14天的概率是

UAU

P(A56A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=1.

(2)设事件。为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，

I

C=A4B1uA5B\UA6BuA7B1UA5B2uA(,B2uA7B2uA7B3uA6B6u

因此pg=P(A4BI)+P(A5BI)+P(A6B,)+P(A7BI)+尸(4&)+

P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+尸(44)+P(A7B6)=WP(A4BI)=

10P(4)P(3i)=墙.

(3)。=11或<7=18.

魄考点二古典概型

■京基础点重难点

1基本事件

一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件

有如下特点：

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2古典概型的概念及特点

我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古

典概型：

(1)有限性，即在一次试验中，基本事件的个数是有限的；

(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的.

3古典概型的概率公式

4A包含的基本事件的个数

尸(A)一基本事件的总数.

尔》注意点如何判断一个试验为古典概型

(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型

的两个特征——有限性和等可能性.

(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关.

小题快做：

1.思维辨析

(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那

么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()

(2)从一3,-2,-1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小

于0的可能性相同.()

(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个

同学当选的可能性相同.()

(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一

点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()

(5)从长为1的线段AB上任取一点C,求满足ACW；的概率是多

少”是古典概型.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X

2.下面关于古典概型的说法正确的是()

①我们所说的试验都是古典概型；②“在适宜条件下，种下一粒

种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发

芽”；③掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反

面”，这三个结果是等可能事件；④在古典概型中，如果事件A中基

本事件构成集合A,且4中的元素个数为小所有的基本事件构成集

合/,且/中元素个数为相，则事件4的概率为春

A.①②B.③④

C.②D.@

答案D

解析①错误.在一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且

每个试验结果的可能性是均等的，这样的试验才是古典概型.②错

误.它不符合古典概型的定义中每个基本事件发生的可能性相等.③

错误.掷一枚硬币两次，出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、

反”，这四个事件是等可能事件.④正确.由古典概型的概率公式可

知，该说法正确.

3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称

这3个数为一组勾股数.从1,2,345中任取3个不同的数，则这3个

数构成一组勾股数的概率为()

A-WB5

C—D—

J。20

答案C

解析从123,4,5中任取3个不同的数，有｛1,2,3｝、｛1,2,4｝、

｛1,2,5｝、｛1,3,4｝、｛1,3,5｝、｛1,4,5｝、｛2,3,4｝、｛2,3,5｝、｛2,4,5｝、｛3,4,5｝

共10个基本事件，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},

，所求概率为七，故选C.

健法命题法解题法

方［考法综述］古典概型是概率知识的基础，常与互斥事件、

对立事件等知识相结合，以实际或数学其他领域的材料为背景考查,

难度容易或中等.

典例某校夏令营有3名男同学A,bC和3名女同学X,K

Z,其年级情况如下表：

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到

的可能性相同).

(1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和

1名女同学”，求事件M发生的概率.

I解］(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结

果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,

X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,

Z},{Y,Z},共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的

所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Zj,{C,X},{C,

Y},共6种.

因此，事件M发生的概率尸(M)=^=|.

Q【解题法】求古典概型概率的步骤

(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意.

(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件.

(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基

本事件的个数m.

(4)计算事件A的概率P(A)=—.

•题对点题必刷题

1.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现在从这5件

产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()

A.0.4B.0.6

C.0.8D.1

答案B

解析设5件产品中合格品分别为Ai,A2,A3,2件次品分别为

&,则从5件产品中任取2件的所有基本事件为：4A2,A1A3,

A\B\,A2A3,A2B1,A2B2,,A3B2,B1B2,共10个，其中

恰有一件次品的所有基本事件为：AiBi,A1B2,A2BI,A2B2,A38],

A3B2,共6个.故所求的概率为尸=『06

2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这

2个点的距离小于该正方形边长的概率为()

A.jB.|

C.|D.1

答案B

解析设正方形的四个顶点分别是A,B,C,D,中心为0,从

这5个点中，任取两个点的事件分别为AB,AC,AD,AO,BC,BD,

BO,CD,CO,DO,共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小

于正方形的边长，分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.故满足条

件的概率?=卡4奇2.故选B.

3.有一个奇数列，1,3,5,7,9,…，现在进行如下分组，第一组有

1个数为1,第二组有2个数为3、5,第三组有3个数为7、9、11,…，

依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为

（）

X

A.］。D-10

小一3

C.gD.§

答案B

解析将数列1,3,5,7,93记为｛斯｝,则前九组共有1+2+3+-

+9=45个奇数，故第十组中第一个数字为。46=2X46-1=91,第十

组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10

3

个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P=行.

4.甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号

景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们

同在一个景点的概率是（）

B.|

C%D-6

答案D

解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，

他们选择相同的景点有6种，所以尸=亲=/所以选D.

5.从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片

被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片

上的数字之和为偶数的概率为（）

-4「16

A-5B25

-13

C.^7D.T

答案D

解析从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张，总的情况为:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),

(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共

20种情况.

两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),

(3,5),(4,2),(5,1),(5,3)共8种情况.，从分别写有1,2,3,4,5的五张

Q7

卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率。=去=,

故选D.

6.从字母a,h,c,d,e中任取两个不同字母，则取到字母a

的概率为.

2

答案5

解析基本事件总数有10个，即(a,b),(a,c),(a,d),(a,

e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含。的基

本事件有3，b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个，故由古典概

42

型知所求事件的概率尸=正=亍

7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘

积为6的概率是.

答案1

解析从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数，不同的取法为{1,2},

{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件，其中乘积为6

21

的有{1,6},{2,3}两个基本事件，因此所求事件的概率为P=&=T

8.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运

动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.

1

答案3-

解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的

运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝）,

（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9

种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），

,、31

（蓝，蓝），共3种.故所求概率为P=d=W.

yJ

S3考点三几何概型

庭任基础点重难点

1几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体

积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2几何概型的特点

（1）无限性，即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性相等.

3几何概型的概率计算公式

在几何概型中，事件4的概率的计算公式如下：

构成事件4的区域长度（面积或体积）

尸（⑷一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）・

市》注意点与长度、角度有关的几何概型怎样区分

（1）设线段/是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线

/的长唐

段,上的概率为尸=两贱・

（2）当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角

的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同

的度量手段.

Ji©小题快版

1.思维辨析

（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（）

(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等

的.()

(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内

随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图

形.()

答案(1)V(2)X(3)J(4)V

2.在区间[-3,5]上随机取一个数%,则％[1,3]的概率为()

3

-

8

A.

C1

-

4

答案C

解析记“工£[1,3]”为事件A,

则由几何概型的计算公式可得尸(4)=而=；.

3.如图，在边长为。的正方形内有不规则图形0,向正方形内

随机撒豆子，若撒在图形。内和正方形内的豆子数分别为如n,则

图形。面积的估计值为(

,ma

A.一B.1

nm

-mar2一〃屋

一

c.nD.—m

答案c

解析因为由题意知在正方形中随机投掷几个点，则〃个点中有

m个点落入Q中,

所以不规则图形。的面积：正方形的面积=加：小

2

所以不规则图形。的面积=£x正方形的面积=?*/=等.

《法命题法解题法

>[考法综述]几何概型是高考的热点，考查与长度或面积有

关的几何概型的求法.特别是与平面几何、函数等知识结合的几何概

型是高考考查的重点内容，难度不大.

典例(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上

随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为

()

A[B.|

(2)A,B,C是平面内不共线的三点，点尸在该平面内且有B4+

—>—>

2P8+3PC=0,现将一粒黄豆随机撒在△48C内，则这粒黄豆落在4

PBC内的概率为.

[解析](1)由题意可知，三角形的三条边长的和为5+12+13=

30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的

区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求

概率为第24=]4

—►—►—►—>—►—>—►—>

(2)由出+2P3+3PC=00一AP+2(AB-AP)+3(4C-AP)=0,

61一1一_、一]一

得A尸=驶8+厘。，设。到AB的距离为d,如图所示，设AE=]AC,

所以SAPBC=［^1—1—|^AABC=|sAAfiC,所以所求概率为去

［答案］(1)A(2)|

9【解题法】应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区

域转化为几何图形，并加以度量.

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需

把这个变量放在坐标轴上即可.

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量

的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺

利地建立与面积有关的几何概型.

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个

变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立

与体积有关的几何概型.

';题对点题必刷题

L

X>2

1.在区间［0,1］上随机取两个数%,y,记0为事件+y\

的概率，〃2为事件“I%—的概率，〃3为事件的概率,

则()

A.pi<p2Vp3B.p2Vp3Vpi

C.〃3<P1<P2D.p3Vp2Vpi

答案B

解析],y£[O,l],事件表示的区域如图(1)中阴影

部分S,事件“|九一表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件

“孙表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积

S2Vs3<S1,正方形的面积为IX1=1.根据几何概型的概率计算公式，

可得

311__]_

十27r巳自―27r

DUI

2712兀

答案B

解析:IzIWl,，(%—l)2+ywi,表示以M(1,O)为圆心，1为

半径的圆及其内部，该圆的面积为兀易知直线＞=%与圆(%—l)2+y2

71I711

VZOMA=90°,...5阴影=不一/义1X1=^一

7T_X

故所求的概率尸=粉=?=*2

3.由不等式组〈y》O，确定的平面区域记为01，不等式

、y-%—2W0

%+yW1,

组c确定的平面区域记为02,在乌中随机取一点，则该

(x+y^-2

点恰好在02内的概率为()

「37

C14D8

答案D

解析如图，由题意知平面区域。1的面积S0]=S/ww=；X2X2

=2.

/X_________________

/

/-]---------

<1

/

ZJ

。1与02的公共区域为阴影部分，面积Sa=SQ\—S&ABC=2-2

17

X1X2=4-

7

-

4

由几何概型得该点恰好落在。2内的概率“爵-7

2

6o.故选D.

4.如图，矩形ABCO中，点A在％轴上，点8的坐标为(1,0),

%+1,%20,

且点C与点D在函数/U)=一；%+1,%<0的图象上.若在矩形

ABC。内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()

11

A6B4

C.gD2

答案B

解析依题意得，点C的坐标为(1,2),所以点。的坐标为(一2,2),

所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD=3X2=6,阴影部分的面积S阴影=]

X3X1=1,根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P=g—■

3

21

=7=7,故选B.

。4

5.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上

7：30-7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可

能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字

作答)

9

答案32

解析设小张与小王的到校时间分别为7：00后第％分钟，第y

分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50

—30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y

—x》5,30W%W50,30WyW50},如图中阴影部分所示，阴影部分所占

的面积为:1义15X15=爹?25，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率

225

,~T9

为P(4)=

6.在棱长为2的正方体45CQ—431Goi中，点0为底面ABCD

的中心，在正方体内随机取一点P,则点P到点0

的距离大于1的概率为.

答案f

解析如图，与点。距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其

1427r

体积为Vi=TXT7rX13=-7-.

事件“点尸与点。距离大于1的概率”对应的区域体积为23—苧,

根据几何概型概率公式得，点P与点0距离大于1的概率尸=

73——

~ir=x~n-

7.若在区间［—2,4］上随机地取一个数%,则满足|x|W3的概率为

答案I

解析由|x|W3,所以一3W%W3.所以在区间［—2,4］上随机地取一

个数居满足|%|W3的区间为［―2,3］,故所求概率为:二］二1=|.

学霸错题警示古典概型中的基本事件理解错误

若将一枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有123,4,5,6个点

的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为

［错解］

2次的息数之和令到为2,3,4,.*7,

8,7,10,II,Z2,的从风本事件的个数方〃，2

♦W-汰备4讷事件灰/,3)(2,2)两湾，访汉

就卑盲关.

［错因分析］对等可能事件的概率求法中“基本事件”和“等

可能性”的概率理解不清楚，数错了基本事件的个数.

［正解］先后掷两次出现的点数记作(x,y),共有6义6=36个基

本事件,而向上点数和为4的基本事件有：(1,3),(2,2),(3,1)共3个.所

31

以所求概率为尸=五=万.

［答案］.

［心得体会］

时间：50分钟

基础组

1」.枣强中学预测］4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡

片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为

)

B.1

A-2

C.|

D4

答案B

解析因为从4张卡片中任取出2张共有6种情况，其中2张卡

片上数字之和为偶数的共有2种情况，所以2张数字之和为偶数的概

率为去

2.［.冀州中学一轮检测］将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分

别为m，n,则函数尸孤*依+1在［1,+8）上为增函数的概率是

()

A-2B6

32

C4D3

答案B

2

解析=2mx2—n.

n

令y'=0得％=±俞

人是函数的两个极值点，

Zm

:.函数在烹,上是增函数，则即〃W2/w.

通过建立关于机，〃的坐标系可得出满足n^2m的有30个，

2

由古典概型公式可得函数y=g加x3—加+1在［1,+8）上为增函

数的概率是尸=3碧0=15.故选B.

JOO

3.［•武邑中学一轮检测］设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任

取一点与A连接，则弦长超过半径啦倍的概率是（）

1

A3B

C3D5

答案B

解析作等腰直角三角形AOC和AMC,8为圆上任一点，则当

点8在2c上运动时，弦长

.MmC1

••一=圆的周长=5.故选故

4.［•武邑中学月考］A3CO为长方形，AB=2,BC=\,0为AB

的中点.在长方形A8CQ内随机取一点，取到的点到0的距离大于1

的概率为（）

_7171

C,8D,1-8

答案B

解析如图，根据几何概型概率公式得所求概率为尸=

5.D衡水中学热身］如图所示方格，在每一个方格中填入一个数

字，数字可以是123,4中的任何一个，允许重复.则填入A方格的

数字大于3方格的数字的概率为()

33

C-4D8

答案D

解析只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小，A,B两个

方格有4X4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于8方格的数字，

则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入8格，有(4,3),

(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种，故填入A方格的数字大于

8方格的数字的概率为白=*选D.

IoO

6.［•冀州中学期末］设p在。5］上随机地取值，则方程/+px+《

+1=0有实数根的概率为.

3

答案5

解析一元二次方程有实数根即/=p2—4*+2=5+1)5—

2)N0,解得pW—1或〃N2,故所求概率为三2=,.

7.1衡水中学预测］从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张

卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.则两次取出的卡片上

的数字之和恰好等于4的概率是.

答案5

解析从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数

字之和恰好等于4的结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数

字和恰好等于4的概率是P=g.

8.［.枣强中学热身］现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某

项活动，则甲被选中的概率为.

答案f2

解析从甲、乙、丙3人中随机选派2人，共有甲乙、甲丙、乙

丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的

2

概率为

9.「衡水中学猜题］某商场有奖销售中，购满100元商品得1张

奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等

奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事

件分别为A,B,C求:

⑴尸⑷，P(B),P(。；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解P(B)=iooo=而'P(O=1000=%

(2)因为事件A,B,。两两互斥，所以尸(AU3UO=P(A)+P(3)

+P0=iooo+155+而=ioo(y

故1张奖券的中奖概率为赢.

⑶尸(-A--口--3)=1—尸(A+,3)=1-f［再l+,高O=丽989•

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为勰.

10.卜衡水中学一轮检测］某超市为了解顾客的购物量及结算时间

等信息、，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关

数据，如下表所示.

一次1至5至9至13至17件及

购物量4件8件12件16件以上

顾客数

X3025y10

（人）

结算时间

11.522.53

（分钟/人）

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

⑴确定1,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频

率视为概率）

解（1）由已知得25+y+10=55,%+30=45,所以％=15,y—

20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的

100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单

随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,

其估计值为

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10、人

-------------------面------------------:1.9（分钟）.

（2）记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分

钟”，A,,A2,4分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分

钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的

15330

结算时间为2分钟”.将频率视为概率得尸（4）=-=布,尸（42）=不市

■L1/171.UI/

=2尸（4）=叵」

10，人到1004-

因为A=AiUA2UA3,且AI,A2,4是互斥事件，所以P(A)=P(4

3317

UA2UA3)=尸(4)+尸(A*+尸(A3)=加+记+^=m-