2023-2024学年上海市杨浦区高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市杨浦区高二（下）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“m=−1”是“直线l1：x+my−2=0与直线l2：(m−2)x+3my+2m=0互相垂直”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.设a、b是两条不同的直线，α是一个平面，若a/​/α且b/​/α，则a、b的位置关系是(

)A.相交 B.平行 C.异面 D.不能确定3.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A−A.15 B.25 C.354.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形BCC1B1内部(不含边界)运动，给出以下三个结论：

①存在点P满足PD1⊥MB1；

②存在点P满足PDA.0

B.1

C.2

D.3二、填空题：本题共12小题，共54分。5.抛物线y2=4x的焦点坐标为

．6.直线y=x的倾斜角大小是______．7.已知圆C的方程为x2+y2−2x+4y=08.平行直线3x+4y−5=0及3x+4y+5=0之间的距离是______．9.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是______．10.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装______立方厘米．

11.已知a=(1,−2,3)，b=(2,m,n)，若a//b，则m+n=12.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．13.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50,100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，图中x的值是______．14.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE=15.已知数列{an}是首项是1，公比为q(q>0)的等比数列，数列{bn}的通项公式是bn=n+1.设双曲线x216.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”.如图，抛物线C的方程为y=x2，过点(1,0)作抛物线C的切线l(l的斜率不为0)，将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作Ω，利用祖暅原理，可得出几何体Ω的体积为______．

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

设数列{an}为等差数列，其公差为d，前n项和为Sn．

(1)已知a2=21，a7=76，求a1及d；

18.(本小题14分)

如图，三棱柱OAB−O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB．

(1)求异面直线A19.(本小题14分)

某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下(其中a∈N，b∈N)；进球数012345高一人数42ab4212高二人数311244337(1)请写出高二年级样本的中位数；

(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a的值；

(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a的值．20.(本小题18分)

端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体A−BCD，设棱长为a．

(1)求证：BC⊥AD；

(2)求箬竹叶折出的二面角A−BC−D的大小；

(3)用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合.请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短(不计打结用的绳子)，请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．21.(本小题18分)

如图，已知椭圆C的方程为x24+y2=1，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点，点E的坐标是(4,0)，过点E的动直线l交椭圆C于点P、Q(点P的横坐标小于点Q的横坐标)．

(1)求椭圆C焦点的坐标；

(2)是否存在常数λ，使OP⋅OQ+λEP⋅EQ为定值，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

(3)当设直线l的斜率不为0时，设直线AP

参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.(1,0)

6.45°

7.(1,−2)

8.2

9.0.5

10.16π311.2

12.1613.0.030

14.1315.10或11

16.4π317.解：(1)由a2=21，a7=76，

有a1+d=21a1+6d=76，解得a1=10d=11；

(2)由a6=1018.解：(1)因为三棱柱OAB−O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB，

所以可以把该棱柱补成一个棱长为1的正方体，

因为B1O1//AC，B1O1=AC，

所以四边形ACB1O1为平行四边形，

故AO1//CB1，

所以∠OB1C即为异面直线AO1与OB1所成角，

因为OC=B1C=OB1，

所以∠OB1C=60°．

即异面直线AO1与OB1所成角为60°．

19.解：(1)因为高二年级进球数不超过2个的人数为16人，不超过3个的人数为60人，

所以高二年级样本的中位数为3个；

(2)因为高一年级样本的平均数为3.2，

所以1100×(0×4+1×2+2a+3b+4×42+5×12)=3.2，

即2a+3b=90，

又因为4+2+a+b+42+12=100，

所以a+b=40，

联立方程2a+3b=90a+b=40，解得a=30b=10，

即a的值为30；

(3)由题意可知，高一100人中进球数为2的有a人，概率为a100；高二100人中进球数为2的有12人，概率为12100=325，

所以“至少有一个人的进球数为20.证明：(1)取BC中点，连接AE，DE，

因为正四面体A−BCD，所以△ABC，△DBC都是正三角形，

所以AE⊥BC，DE⊥BC，

因为AE，DE⊂平面AED，且AE∩DE=E，

所以BC⊥平面AED，又AD⊂平面AED，

所以BC⊥AD．

解：(2)由(1)可知，∠AED是二面角A−BC−D的平面角，

因为正四面体的棱长为a，所以AE=DE=32a，AD=a，

所以在△AED中，由余弦定理得：cos∠AED=AE2+DE2−AD22AE⋅DE=34a2+3421.解：(1)椭圆C的方程为x24+y2=1，

则a=2，b=1，

所以c=a2−b2=3，

则椭圆的焦点坐标为(3,0)和(−3,0)；

(2)①l必存在斜率，当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为：x=my+4，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立x=my+4x24+y2=1并化简得：(m2+4)y2+8m