2024届云南省大理白族自治州大理市辖区高三区域性规模化统一检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省大理白族自治州大理市辖区2024届高三区域性规模化统一检测数学试题一、单项选择题1.若集合，，，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗已知集合，，则又，所以，故选：C.2.已知，，，若，则的虚部是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以的虚部是2.故选：A.3.已知多项式，则（）A.0 B.4 C.8 D.32〖答案〗A〖解析〗依题意，令，得.故选：A.4.双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，所以两渐近线的夹角为.故选：C.5.若函数为偶函数，则（）A.2 B.1 C. D.0〖答案〗D〖解析〗若函数为偶函数，则，都有，又因为，所以，有，所以当时，有，解得.故选：D.6.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，则，，，，则，，故，故.故选：D.7.定义在区间的函数，如果对于任意给定的非常数等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设的公比为，即，对于A项，由题意可得，因为非常数，则非常数，故非常数，即A项不符合题意；对于B项，，仍是常数，即B项符合题意；对于C项，，同A项可知，该比值非常数，即C项不符合题意；对于D项，，同A项可知，该比值非常数，即D项不符合题意.故选：B.8.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的最小正周期为，所以相应圆柱的底面圆的周长为，故其直径为4，故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即；又的最大值为2，故椭圆的长轴长为，故，故椭圆的离心率为，故选：B.二、多项选择题9.已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（）235911121073A.该回归直线必过B.变量，之间呈正相关关系C.当时，变量的值一定等于D.相应于的残差估计值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由表格数据得，，，所以该回归直线必过，故A正确；对于B，因为回归直线方程为，，当变量增加，变量相应值减少两个变量之间呈负相关关系，故B错误；对于C，当时，，变量的值可能为，故C错误；对于D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差，当时，得预测值，则相应于的残差估计值为，故D正确.故选：AD.10.若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，，，且，，选项A：，故A正确；选项B：，当且仅当时等号成立，因，所以，故B错误；选项C：，当且仅当时等号成立，因，所以，故C正确；选项D：，所以，故D正确.故选：ACD11.已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：所以m的取值范围是，故选：BC12.如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（）A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A,连接,如图:平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,连接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正确;对于B,连接,如图:,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,同理四边形平行四边形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正确;对于C,如图:由B知,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,,故C错误;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图:,,,,,即的最小值为,故D正确.故选:ABD.三、填空题13.在中，若，则________．〖答案〗〖解析〗，因为，所以.故〖答案〗为：14.已知函数满足，则的〖解析〗式可以是________（写出满足条件的一个〖解析〗式即可）．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗若设，则由，得，解得：，所以，故〖答案〗：（〖答案〗不唯一）.15.若，，，则在上投影向量的模为________．〖答案〗〖解析〗已知，，则，，得，又，则所以在上投影向量的模为，故〖答案〗为：.16.物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500m口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图3甲），若其上边缘一点距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图乙）所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到点，经抛物面反射后经过焦点射到点，则的面积为________．〖答案〗〖解析〗设抛物线的方程为，由题意可知点的坐标为，代入抛物线方程中，得，焦点坐标为，准线方程为，所以直线方程为，代入抛物线方程中，化简，得，因为，所以该方程有两个不相等的实根，设，所以，，由抛物线的定义可知：，原点到直线的距离为：，所以的面积为，故〖答案〗为：四、解答题17.已知．在中，．（1）求角的大小；（2）是边上的一点，且，平分，且，求的面积．解：（1）依题意，，由，得，而，即，因此，所以.（2）在中，由及正弦定理，得，由（1）及平分，得，又，由，得，即，解得，，所以的面积.18.已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求和：．解：（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项，则，即，化简得，又，即，化简得则，故.（2）因为，所以，两式相减得又满足上式，所以又，所以则，，两式相减得：.19.目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.（1）从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;（2）现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则,,,,.解：（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,所以,则,即这人中至少有一人进入面试的概率为.（2）的可能取值为,,,,,则随机变量的分布列为：,.20.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．（1）证明：；（2）求二面角的平面角的余弦值．（1）证明：在四边形中，，取中点，连接，由，得，则四边形是平行四边形，又，因此是矩形，即有，有，，从而，即，而平面，平面，则，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）解：由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，依题意，，，设平面一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，因此，显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.21.已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．解：（1）设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；（2）由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，则，所以直线l的方程为：，联立方程：，得：，设，则，，，由条件可知：，，的周长，即定值为10；综上，曲线C的方向为，的周长.22.已知函数．（1）讨论的极值；（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．（1）解：函数的定义域为，求导得，若，则，无极值；若，由，可得，若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，此时，函数有唯一极小值，无极大值；若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，此时，函数有唯一极大值，无极小值；所以当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值；当时，函数有极大值，无极小值；（2）证明：由，两边取对数可得，即，当时，，，由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，而，时，恒成立，因此，当时，存在且，满足，若，则成立；若，则，记，，则，即有函数在上单调递增，所以，即，于是，而，，，函数在上单调递增，因此，即.云南省大理白族自治州大理市辖区2024届高三区域性规模化统一检测数学试题一、单项选择题1.若集合，，，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗已知集合，，则又，所以，故选：C.2.已知，，，若，则的虚部是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以的虚部是2.故选：A.3.已知多项式，则（）A.0 B.4 C.8 D.32〖答案〗A〖解析〗依题意，令，得.故选：A.4.双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，所以两渐近线的夹角为.故选：C.5.若函数为偶函数，则（）A.2 B.1 C. D.0〖答案〗D〖解析〗若函数为偶函数，则，都有，又因为，所以，有，所以当时，有，解得.故选：D.6.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，则，，，，则，，故，故.故选：D.7.定义在区间的函数，如果对于任意给定的非常数等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设的公比为，即，对于A项，由题意可得，因为非常数，则非常数，故非常数，即A项不符合题意；对于B项，，仍是常数，即B项符合题意；对于C项，，同A项可知，该比值非常数，即C项不符合题意；对于D项，，同A项可知，该比值非常数，即D项不符合题意.故选：B.8.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的最小正周期为，所以相应圆柱的底面圆的周长为，故其直径为4，故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即；又的最大值为2，故椭圆的长轴长为，故，故椭圆的离心率为，故选：B.二、多项选择题9.已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（）235911121073A.该回归直线必过B.变量，之间呈正相关关系C.当时，变量的值一定等于D.相应于的残差估计值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由表格数据得，，，所以该回归直线必过，故A正确；对于B，因为回归直线方程为，，当变量增加，变量相应值减少两个变量之间呈负相关关系，故B错误；对于C，当时，，变量的值可能为，故C错误；对于D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差，当时，得预测值，则相应于的残差估计值为，故D正确.故选：AD.10.若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，，，且，，选项A：，故A正确；选项B：，当且仅当时等号成立，因，所以，故B错误；选项C：，当且仅当时等号成立，因，所以，故C正确；选项D：，所以，故D正确.故选：ACD11.已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：所以m的取值范围是，故选：BC12.如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（）A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A,连接,如图:平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,连接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正确;对于B,连接,如图:,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,同理四边形平行四边形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正确;对于C,如图:由B知,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,,故C错误;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图:,,,,,即的最小值为,故D正确.故选:ABD.三、填空题13.在中，若，则________．〖答案〗〖解析〗，因为，所以.故〖答案〗为：14.已知函数满足，则的〖解析〗式可以是________（写出满足条件的一个〖解析〗式即可）．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗若设，则由，得，解得：，所以，故〖答案〗：（〖答案〗不唯一）.15.若，，，则在上投影向量的模为________．〖答案〗〖解析〗已知，，则，，得，又，则所以在上投影向量的模为，故〖答案〗为：.16.物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500m口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图3甲），若其上边缘一点距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图乙）所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到点，经抛物面反射后经过焦点射到点，则的面积为________．〖答案〗〖解析〗设抛物线的方程为，由题意可知点的坐标为，代入抛物线方程中，得，焦点坐标为，准线方程为，所以直线方程为，代入抛物线方程中，化简，得，因为，所以该方程有两个不相等的实根，设，所以，，由抛物线的定义可知：，原点到直线的距离为：，所以的面积为，故〖答案〗为：四、解答题17.已知．在中，．（1）求角的大小；（2）是边上的一点，且，平分，且，求的面积．解：（1）依题意，，由，得，而，即，因此，所以.（2）在中，由及正弦定理，得，由（1）及平分，得，又，由，得，即，解得，，所以的面积.18.已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求和：．解：（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项，则，即，化简得，又，即，化简得则，故.（2）因为，所以，两式相减得又满足上式，所以又，所以则，，两式相减得：.19.目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.（1）从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;（2）现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则,,,,.解：（1）记“至少有