2024届湖北省宜荆荆随高三上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省宜荆荆随2024届高三上学期10月联考数学试题一､选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，∴.故选：D．2.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗为纯虚数的充要条件为因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件，故选：A．3.公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（）A.8 B.12 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗由等差数列的性质，，又，，，，.故选：C.4.已知钝角，，则（）A. B. C.7 D.〖答案〗D〖解析〗由为钝角，得，，所以.故选：D5.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B6.已知均为正数，且，则的最小值为（）A.11 B.13 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗，当且仅当，即时，等号成立.故选：A.7.已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得到，设，,在中，由余弦定理得，，解得，为等边三角形，则在中，，，又，，得，解得.故选：B.8.为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得且，构造函数，所以，易得在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得，易知函数及交于点，作出函数及的图象如下图所示：由图知所以，即，由此可得，即.故选：A.二､多选题9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.C.是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称〖答案〗BCD〖解析〗由，故B正确；，故A错误；又，由正弦函数的性质可知，是图像的一条对称轴，故C正确；将的图像向左平移个单位，得，是奇函数图像关于原点对称，故D正确.故选：BCD.10.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，若，则B.已知，则C.若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由正态曲线的性质可得，根据对称性可知，则，，故A正确；B选项，由得，即，所以事件A，B相互独立，所以结论正确；C选项，越接近于1，相关性越强，故C错误；D选项，设两层的数据分别是和，总体的平均数为，则，又，，，，总体方差.故D正确.故选：ABD.11.已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（）A.的准线方程是B.过的焦点的最短弦长为8C.以为直径的圆与准线相离D.线段的长为19〖答案〗AC〖解析〗对于A，由在抛物线上可得抛物线方程为，，准线方程是，故A正确；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，把代入，得，所以此时弦长为16，故B错误；对于C，D，设，又，，由重心的坐标公式得，即，所以的中点坐标为，因为不过焦点，所以，的中点到准线的距离为，所以C正确，D错误.故选：AC.12.如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.若与平面所成的角为，则C.的最小值为D.若三棱锥的外接球表面积为，则〖答案〗BCD〖解析〗如图，，连接，在中，，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故A错误；连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图，所以，因为，所以，故B正确；设在底面的射影为，为中点，连接，则，又，则，而，所以，故，故C正确；以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图，则点的坐标满足，可设的坐标为，由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为，因为，所以，解得，故，所以外接球的半径，所以，故D选项正确.故选：BCD.三､填空题13.已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.〖答案〗〖解析〗因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，二项式的通项公式为，令，所以展开式中的系数为，故〖答案〗为：14.暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有__________种.〖答案〗160〖解析〗间接法：.故〖答案〗为：160.15.已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，或，所以函数在上递减，上递增，因此当时，当时，，显然不满足，当时，，综上所述：不等式的解集为，故〖答案〗为：.16.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________.〖答案〗〖解析〗设正四棱锥的底面边长为，则高为，体积当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知分别是的三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若在边上且，求面积的最大值.解：（1）由及正弦定理得因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，得，（2）因为在边上且，所以为中点，所以，两边平方得，因为，所以得到，由，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.（1）证明：平面，平面，，为矩形，，又，平面，平面，平面，，，为线段的中点，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，平面与平面所成的锐二面角为，，解得，，即，当时，平面与平面所成的锐二面角为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1），①当时，因，所以在上恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，由，即在上单调递增，由，即在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）时，，，令，由，在上单调递增，由，即在上单调递减，，，对成立，只要，即对恒成立，，对恒成立，令，则，且在上单调递增，上单调递减，，，.20.已知数列的前项和为，且满足：（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.解：（1）简可得结论.由①得时②①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.21.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.参考公式：（其中为样本容量）0.500.400.250.150.1000.05000250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由频率分布直方图知，该项指标值不小于60的频率为，有（只），则列联表如下：（单位：只）抗体指标值合计小于60不小于60有抗体100220320没有抗体404080合计140260400零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.025.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，则，，所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii）依题意，随机变量，因为最大，显然，且，因此，则，，解得，而是整数，所以.22.已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为.（1）求曲线的方程；（2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标.解：（1）由，又得：，所以渐近线方程为，则双曲线方程为，即，设，则到渐近线的距离分别为，又两渐近线的夹角为，且四点共圆，则或，的面积，曲线的方程为：.（2）如图四点共圆，，，设，，易得，令得：，当斜率为0时，不符合题意；当的斜率不为0时，设，联立双曲线得，则，且，即，且，所以，由，即，，，符合，综上，.湖北省宜荆荆随2024届高三上学期10月联考数学试题一､选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，∴.故选：D．2.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗为纯虚数的充要条件为因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件，故选：A．3.公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（）A.8 B.12 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗由等差数列的性质，，又，，，，.故选：C.4.已知钝角，，则（）A. B. C.7 D.〖答案〗D〖解析〗由为钝角，得，，所以.故选：D5.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B6.已知均为正数，且，则的最小值为（）A.11 B.13 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗，当且仅当，即时，等号成立.故选：A.7.已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得到，设，,在中，由余弦定理得，，解得，为等边三角形，则在中，，，又，，得，解得.故选：B.8.为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得且，构造函数，所以，易得在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得，易知函数及交于点，作出函数及的图象如下图所示：由图知所以，即，由此可得，即.故选：A.二､多选题9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.C.是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称〖答案〗BCD〖解析〗由，故B正确；，故A错误；又，由正弦函数的性质可知，是图像的一条对称轴，故C正确；将的图像向左平移个单位，得，是奇函数图像关于原点对称，故D正确.故选：BCD.10.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，若，则B.已知，则C.若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由正态曲线的性质可得，根据对称性可知，则，，故A正确；B选项，由得，即，所以事件A，B相互独立，所以结论正确；C选项，越接近于1，相关性越强，故C错误；D选项，设两层的数据分别是和，总体的平均数为，则，又，，，，总体方差.故D正确.故选：ABD.11.已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（）A.的准线方程是B.过的焦点的最短弦长为8C.以为直径的圆与准线相离D.线段的长为19〖答案〗AC〖解析〗对于A，由在抛物线上可得抛物线方程为，，准线方程是，故A正确；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，把代入，得，所以此时弦长为16，故B错误；对于C，D，设，又，，由重心的坐标公式得，即，所以的中点坐标为，因为不过焦点，所以，的中点到准线的距离为，所以C正确，D错误.故选：AC.12.如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.若与平面所成的角为，则C.的最小值为D.若三棱锥的外接球表面积为，则〖答案〗BCD〖解析〗如图，，连接，在中，，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故A错误；连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图，所以，因为，所以，故B正确；设在底面的射影为，为中点，连接，则，又，则，而，所以，故，故C正确；以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图，则点的坐标满足，可设的坐标为，由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为，因为，所以，解得，故，所以外接球的半径，所以，故D选项正确.故选：BCD.三､填空题13.已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.〖答案〗〖解析〗因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，二项式的通项公式为，令，所以展开式中的系数为，故〖答案〗为：14.暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有__________种.〖答案〗160〖解析〗间接法：.故〖答案〗为：160.15.已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，或，所以函数在上递减，上递增，因此当时，当时，，显然不满足，当时，，综上所述：不等式的解集为，故〖答案〗为：.16.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________.〖答案〗〖解析〗设正四棱锥的底面边长为，则高为，体积当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知分别是的三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若在边上且，求面积的最大值.解：（1）由及正弦定理得因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，得，（2）因为在边上且，所以为中点，所以，两边平方得，因为，所以得到，由，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.（1）求证：平面平面；（2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.（1）证明：平面，平面，，为矩形，，又，平面，平面，平面，，，为线段的中点，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，平面与平面所成的锐二面角为，，解得，，即，当时，平面与平面所成的锐二面角为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1），①当时，因，所以在上恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，由，即在上单调递增，由，即在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）时，，，令，由，在上单调递增，由，即在上单调递减，，，对成立，只要，即对恒成立，，对恒成立，令，则，且在上单调递增，上单调递减，，，.20.已知数列的前项和为，且满足：（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.解：（1）简可得结论.由①得时②①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.21.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次