2024届贵州省六盘水市高三第一次诊断性监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六盘水市2024届高三第一次诊断性监测数学试题一、选择题1.设全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，又，所以.故选：D.2.已知a，b都是正实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由可得；当时，可得.则“”是“”的充要条件.故选：A.3.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数在复平面对应的点为，位于第一象限，故选：A.4.若为奇函数，则（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定义域为R，若为奇函数，则恒成立，整理得恒成立，所以，即.故选：D.5.已知O，P，N在所在平面内，满足，，且，则点O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心〖答案〗C〖解析〗因为，所以点O到三个顶点的距离相等，所以O为的外心；记BC的中点为D，因为，所以，所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，同理，点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；如图，作，因为，所以，所以，所以点N在BE上，同理，点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.故选：C.6.已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是相互垂直的单位向量，所以.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B7.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以；又因为，所以；综上所述：.故选：C.8.盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如图，过点作，垂足为，由题意可知：，则均为等腰直角三角形，可得，且，可得，因为，则，解得，所以，即隧道DE的长度为350米.故选：C.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若数列为等差数列，则C.若，，且，则的最小值为9D.命题“，”的否定为“，”〖答案〗BC〖解析〗A选项：取，显然满足，，但，故A错误；B选项：记数列的公差为d，则，，所以，B正确；C选项：因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，C正确；D选项：命题“，”的否定为“，”，D错误.故选：BC10.已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.在区间上有6个零点C.直线是图象一条对称轴D.若对任意的恒成立，则〖答案〗ABD〖解析〗将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故A错误；令，得，所以，又，所以，即在区间上有6个零点，故B正确；因为，所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；对任意的恒成立，即对任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.设函数定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（）A.为偶函数 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递减〖答案〗AC〖解析〗因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以，所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为e B.在区间上单调递增C.函数有且只有一个零点 D.不等式存在唯一整数解〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，当时，取得最小值，A错误；由上知，在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；记，函数有且只有一个零点，等价于有且只有一个根，等价于与的图象有且只有一个交点.因为当时，，在上单调递增，在上单调递减，且，所以，当时，与的图象有且只有一个交点.因为，当时，易知，，所以，此时与的图象没有交点.综上，与的图象有且只有一个交点，C正确；记，因为，，，所以函数与的图象在区间和都存在零点，分别记为，如图，在区间上不等式存在唯一整数解0.易知，当时，，不等式无实数解.当时，记，则，所以，函数在上单调递增，所以，不等式无实数解.综上，不等式存在唯一整数解0，D正确.故选：BCD三、填空题13.已知向量，.若，则______.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：1.14.已知，，且，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，，则，，可得，即.故〖答案〗为：.15.已知圆M圆心在曲线上，且圆M与直线相切，则圆M面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由圆M圆心在曲线上，可设，又圆M与直线相切，则圆M的的半径，当且仅当，即时取等号，所以圆M的的半径，所以圆M面积的最小值为.故〖答案〗为：.16.在正方体中，以点A为球心，棱AB为半径的球将正方体截为P（含球心的部分）和Q两部分，则四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为______.〖答案〗〖解析〗设正方体的棱长为1，由题可知为球的，故P的表面积为，设交于点，则，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因为平面，，所以⊥平面，因为，故以为圆心，半径为的半圆即为四边形被球A截得的区域，如图所示，故面积为，故四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）当时，求使成立的x的取值集合.解：（1）由图可知，，所以，又函数图象过点，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合为18.已知等差数列的前n项和为，等比数列的各项均为正数，且满足，，.（1）求数列与的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.解：（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则由题可得，，解得，又等比数列的各项均为正数，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：从降至所需时间3.4分钟从降至所需时间5.0分钟（1）从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数〖解析〗式；（2）在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟）（参考数据：，，，）解：（1）由题可知，有，若取第一组数据，则有，得，此时〖解析〗式为；若取第二组数据，则有，解得，此时〖解析〗式为.综上，所求〖解析〗式为（2）由（1）知，，令，则，解得.所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要分钟.20.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中线BD长为，求的最大值.解：（1）因为，所以，又，所以，所以，整理得，因为，所以，即，因为，所以，所以，得.（2）因为D为AC中点，所以，因为，所以，整理得，所以，得，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8.21.设等比数列的前项和为，已知N）.（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.解：（1）由N*）得N*，），两式相减得：，即N*，），∵是等比数列，所以；又则，∴，∴（2）由（1）知，则∵，∴∵…①-②得∴22.已知函数.（1）若，求的最值；（2）若有两个零点，求a的取值范围.解：（1）当时，，则，令，解得，易知，在R上单调递增，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，当时，有最小值，无最大值.（2）令，得.记，则，记，因为，所以在R上单调递减，又，所以，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.所以当时，有最大值.而，又当时，恒成立，所以可得函数的草图如图所示，由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以有两个零点时，a的取值范围为.贵州省六盘水市2024届高三第一次诊断性监测数学试题一、选择题1.设全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，又，所以.故选：D.2.已知a，b都是正实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由可得；当时，可得.则“”是“”的充要条件.故选：A.3.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数在复平面对应的点为，位于第一象限，故选：A.4.若为奇函数，则（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定义域为R，若为奇函数，则恒成立，整理得恒成立，所以，即.故选：D.5.已知O，P，N在所在平面内，满足，，且，则点O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心〖答案〗C〖解析〗因为，所以点O到三个顶点的距离相等，所以O为的外心；记BC的中点为D，因为，所以，所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，同理，点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；如图，作，因为，所以，所以，所以点N在BE上，同理，点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.故选：C.6.已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是相互垂直的单位向量，所以.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B7.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以；又因为，所以；综上所述：.故选：C.8.盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如图，过点作，垂足为，由题意可知：，则均为等腰直角三角形，可得，且，可得，因为，则，解得，所以，即隧道DE的长度为350米.故选：C.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若数列为等差数列，则C.若，，且，则的最小值为9D.命题“，”的否定为“，”〖答案〗BC〖解析〗A选项：取，显然满足，，但，故A错误；B选项：记数列的公差为d，则，，所以，B正确；C选项：因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，C正确；D选项：命题“，”的否定为“，”，D错误.故选：BC10.已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.在区间上有6个零点C.直线是图象一条对称轴D.若对任意的恒成立，则〖答案〗ABD〖解析〗将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故A错误；令，得，所以，又，所以，即在区间上有6个零点，故B正确；因为，所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；对任意的恒成立，即对任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.设函数定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（）A.为偶函数 B.C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递减〖答案〗AC〖解析〗因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以，所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为e B.在区间上单调递增C.函数有且只有一个零点 D.不等式存在唯一整数解〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，当时，取得最小值，A错误；由上知，在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；记，函数有且只有一个零点，等价于有且只有一个根，等价于与的图象有且只有一个交点.因为当时，，在上单调递增，在上单调递减，且，所以，当时，与的图象有且只有一个交点.因为，当时，易知，，所以，此时与的图象没有交点.综上，与的图象有且只有一个交点，C正确；记，因为，，，所以函数与的图象在区间和都存在零点，分别记为，如图，在区间上不等式存在唯一整数解0.易知，当时，，不等式无实数解.当时，记，则，所以，函数在上单调递增，所以，不等式无实数解.综上，不等式存在唯一整数解0，D正确.故选：BCD三、填空题13.已知向量，.若，则______.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：1.14.已知，，且，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，且，，则，，可得，即.故〖答案〗为：.15.已知圆M圆心在曲线上，且圆M与直线相切，则圆M面积的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由圆M圆心在曲线上，可设，又圆M与直线相切，则圆M的的半径，当且仅当，即时取等号，所以圆M的的半径，所以圆M面积的最小值为.故〖答案〗为：.16.在正方体中，以点A为球心，棱AB为半径的球将正方体截为P（含球心的部分）和Q两部分，则四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为______.〖答案〗〖解析〗设正方体的棱长为1，由题可知为球的，故P的表面积为，设交于点，则，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因为平面，，所以⊥平面，因为，故以为圆心，半径为的半圆即为四边形被球A截得的区域，如图所示，故面积为，故四边形被球A截得的区域面积与P的表面积之比为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）当时，求使成立的x的取值集合.解：（1）由图可知，，所以，又函数图象过点，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合为18.已知等差数列的前n项和为，等比数列的各项均为正数，且满足，，.（1）求数列与的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.解：（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则由题可得，，解得，又等比数列的各项均为正数，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：从降