高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6 第6讲 数学归纳法教学案-高三全册数学教学案

第6讲数学归纳法

i.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n(nGN")时命题成立；

00

(2)(归纳递推)假设n=k(k》n,kGN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

0

2.明确数学归纳法的两步证明

数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规

范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起

着“己知条件”的作用，在n=k+l时一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键

是“一凑假设，二凑结论”.

［疑误辨析］

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(D用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=l时结论成立.()

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()

(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由！1=1<到11=1<+1时，项数都增加

了一项.()

(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设.()

答案：⑴X⑵X⑶X(4)V

［教材衍化］

1

nnn

1.他修22P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为社-3)条时，

第一步检验n等于()

A.1B.2C.3D.4

解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n=3.

2.(选修22P96A组T2改编)已知｛a｝满足a=a2—na+1,n£N«,且a=2,则a

nn+1nn12

=,a=,a=，猜想a=.

34n

答案：345n+1

［易错纠偏］

(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n=1：

(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设.

1.用数学归纳法证明"2»n2+l对于n2n的正整数n都成立"时，第一步证明中的起

0

始值n应取（）

0

A.2B.3C.5D.6

解析：选C.当n=l时，21=2=12+1,

当n=2时，22=402+1=5,

当n=3时，23=802+1=10,

当n=4时，2I=16<42+1=17,

当n=5时，25=32>52+1=26,

当n=6时，2B=64>62+1=37,故起始值n应取5.

0

2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从n=k到n=k+l,

左边需增添的代数式是.

解析：当n=k时，待证等式左边=1+2+3+…+(2k+l),

当n=k+l时，待证等式左边=1+2+3+…+(2k+l)+(2k+2)+(2k+3),

所以从n=k到n=k+l,左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).

答案：(2k+2)+(2k+3)

用数学归纳法证明等式

flT|用数学归纳法证明：\----=—/一(n£N*).

2X44X66X82(2+2)4(T1)

【证明】(1)当n=l时，左边=________!________=1

2X1X(2X1+2)8’

]J

右边=

4X(1+1)8

左边=右边，所以等式成立.

⑵假设n=k(k£N*且k2l)时等式成立，即有

+…+k=,

2X44X66X82k(2k+2)4(斗1)

则当n=k+l时,

，+，+-J-+…+1____________1__________

2X44X66X82k(2k+2)2(4-1)[2(4-1)+2]

=———十—k——-----

4(+1)4(+1)(+2)

=K(k+2)J1

4(+1)(+2)

(k+1)2

=4(k+1)(k+2)

k+1

4(k+2)

k+1

4.+1+1)

所以当n=k+l时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切ndN*等式都成立.

后1^

用数学归纳法证明恒等式的注意事项

(1)明确初始值n的取值并验证n=n时等式成立.

00

(2)由n=k证明n=k+l时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.

「入麦切E3(2020•温州七校联考)已知数列值｝的通项公式为a=l+L*i…+

nn23

SaaaaSnan

一，记=+++…+，用数学归纳法证明=(+1)一.

nn123nnn

证明：当n=l时，a=1,S=a=1,满足条件.

假设当n=k(k2l,kcN,时，S=(k+l)a-k成立，

kk

则当n=k+l时，

因为a=1+，+J_+…+_L

k23k

=1+1+1+...+^+_L_lU=4.

23长

K+1

k+lk+1

所以S=S+a=(k+l)a—k+a

k+1kk+1kk+1

=(k+1)(a-k+a

k+Ik+1k+1

=(k+l)a—1—k+a

k+1k+1

=(k+2)a—(1+k).

k+1

从而S=(n+l)a—n成立.

用数学归纳法证明不等式

碗川(2020•衢州模拟)在数列｛a｝中，已知a=a(a>2),且@=科(n£N*).

6刀n1什12(a-1)

n

⑴用数学归纳法证明:a>2(n)N*)；

n

(2)求证a<a(neN*).

n+in

【证明】(1)①当n=l时，a=a>2,命题成立.

i

②假设当n=k(k《N*,k21)时，命题成立，BPa>2.

k

则当n=k+l时，

a-2=_"、_2=Ja12)J)。.

k+i2(a-1)2(a-1)

kk

所以当n=k+l时a>2也成立，

k+1

由①②得，对任意正整数n,都有a>2.

n

/c、a2a(2—a)

(2)a—a=n—a=1111,

n+ln2(3—1)n2(3—1)

nn

由(1)可知a>2>0,

n

所以a<a.

n+ln

因国回用

数学归纳法证明不等式的注意事项

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数

学归纳法；

⑵用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+l时也成立，证明时用

上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.

跟踪训练已知数列｛a｝的各项均为正数，a=1,%—32=2.

n1n+ln

⑴求数列｛a｝的通项公式;

1111I------

(2)证明：7+r+r-1---对一切n£N*恒成立.

aaaa

123n

解：(1)由我-w=2得ai=2n—L

n+ln

所以a=>/2n—1.

(2)证明：①当n=l时，1=1成立；当n=2时，左边〈右边.

1111I------

②假设当n=k(k22,k£N*)时，：+1+<+…+：V2k—1成立,

aaaa,

123k

那么当n=k+l时,

11111

2k+l

<j2k—IT--11

丫\/2k+l

2

〈L+________________

，2k+l+q2k—1

=*7T,不等式成立.

iiii_____

由①②可得7+丁+广1—^7^也11-1对一切116股亘成立.

dd.dd

123n

归纳一猜想一证明

3a—4、

函[3]（2020•宁波效实中学高三期中）已知数列｛a｝,a=3,a:。(Zn£N*).

nIn+1a—1

（1）求a,a,a的值，并猜想｛a｝的通项公式;

234n

⑵用数学归纳法证明你的猜想.

【解】（1）因为a=3,且a=*3a—♦4

1n+1a-1

5

3X4

3X3-452-7

所次=3一1二

2

3x1-4

a=_3_=2,由此猜想a=2n+l

174nn

—一1

3

2X1+1

（2）证明：①当n=l时，a=-.—=3,满足要求，猜想成立;

11

②假设n=k（kNl且keN*）时，猜想成立,

即a=2k+1

kk

2k+l

3a-43X-r-4_2k+3_2(k+1)+1

那么当n=k+l时,a=k=八

k+1a-12k+lV+T1TFT

k--1

这就表明当n=k+l时,猜想成立,

2n+l

根据①②可以断定,对所有的正整数该猜想成立,即ar—

国陶团国

“归纳一一猜想一一证明”的模式

“归纳一一猜想一一证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模

式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方

法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、

猜想出公式.

婚跟踪训练(2020•宁波市九校联考)已知neN*,S=(n+1)•(n+2)•••(n+n),

n

T=2»X1X3X-X(2n-l).

⑴求S,S,S,T,T,T；

123123

⑵猜想s与T的关系，并用数学归纳法证明.

nn

解：(1)S=T=2,S=T=12,S=T=120.

112233

(2)猜想:S=T想£N*).

证明：①当n=l时，S=T；

ii

②假设当n=k(k，l且kGN*)时，S=T,

kk

即(k+1)(k+2)—(k+k)=2kXlX3X—X(2k-l),

则当n=k+l时，

S=(k+l+l)(k+1+2)…(k+l+k—1)(k+l+k)•(k+l+k+1)

k+l

=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+l)(2k+2)

2kxiX3X…X(2k-l)

=----------------------X(2k+l)(2k+2)

=2k+iXlX3X-X(2k-l)(2k+l)=T.

k+l

即n=k+l时也成立，

由①②可知，ndN*,S=T成立.

》G明演练，OO突破练好霸■突破m分瓶颈..

［基础题组练］

1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边形的对角线的条数仪11+1)为()

A.f(n)+n+lB.f(n)+n

C.f(n)+n—1D.f(n)+n—2

解析：选C.边数增加1,顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n—2个顶点连接成

对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n—1条.

2.用数学归纳法证明”当n为正奇数时，x0+yn能被x+y整除”的第二步是()

A.假设n=2k+l时正确，再推n=2k+3时正确(其中kWN*)

B.假设n=2k—1时正确，再推n=2k+1时正确(其中kGN«)

C.假设n=k时正确，再推n=k+l时正确（其中keN*）

D.假设n=k时正确，再推n=k+2时正确（其中keN*）

解析：选B.因为n为正奇数，所以n=2k—l（keN*）.

3.用数学归纳法证明：“1+1+L+-+1<n(neN*,n>l)”时,由n=k(k>l)不等

232n—1

式成立，推证n=k+l时，左边应增加的项数是

111<k；当n=k+l时，要证的式子

解析：当工及时，要证的式子为---------

232k1

为14+1+…+―_+上+_1-+…+_1_<k+l.左边增加了2k项.

232k—12k2^+12k+i—1

答案：2k

4.(2020•绍兴模拟)已知f(n)=l+l+l+…+」(nWN・)，经计算得f(4)>2,f(8)>£

23n2

f7

(16)>3,(32)>-则其一般结论为--------.

解析：因为f(2z)>3,f(23)>-,f(2，)>?f⑵)>乙所以当n》2时，有f⑵)>2±£.

22222

n+2

答案：f(2..)>-^—(n^2,n£N*)

5.已知数列｛a｝满足，a=1,a=J\

n1n22

n+1

2

(1)求证：-W^1；

3。

⑵求证：|a-a

n+ln3

,26

证明：(1)由已知得a=，计算a_a_a142

---r=，=T=一猜想Wl.

n+1

a+12337i193n

n2

下面用数学归纳法证明.

①当n=l时，命题显然成立；

2

nkanka=l〈l<i,

②假设=时，有产成立，则当=+1时，-■—

3n+1a+__+_

k232

112.

a=2nk,八一

k+l[1>=?,即当=+1时也成”，

a+11+1

k22

9

所以对任意neN*,都有2WaWl.

3n

1

(2)当n=i时，a-a|=J

123

nr1、111113

当》2时，因为(+_)(+-)=(a+-).-=1+—>1+-=-

„2n-.2"2a2a22

nn

所以|a—a|=

n+ln

I1_1I|a-a|2②11②

对厂a,」W・Y©Ia2-a%由I

n2n—I2

n—1

6.(2020•温州高考模拟节选)已知数列{a},{b}满足a=2,b=4,且2b=a+a,

nn11nnn+l

僦=bb.

n+lnn+l

(1)求a,a,a及b,b,b的值；

234234

(2)猜想{a},{b}的通项公式，并证明你的结论.

nn

解：(D因为2b=a+a，&=bb,

nnn+ln+lnn+l

且a=2,b=4.

ii

[8=2+a,

令n=l,得到〈2解得a=6,b=9；同理令n=2,3分别解得a=12,b=16,

a=20,b=25.

44

(2)证明：猜测a=n(n+l),b=(n+l)2.

用数学归纳法证明：①当n=l时，由上可得结论成立.

②假设当n=k时，结论成立，即a=k(k+l),b=(k+l)2,

kk

那么当n=k+l时，a=2b—a=2(k+l)2—k(k+l)=(k+1)(k+2),

k+lkk

b=.+i=(k+2)2.所以当n=k+l时,结论也成立.

k+lb

k

由①②，可知a=n(n+l),b=(n+l)2对一切正整数都成立.

nn

1

7.(2020•台州市高三期末考试)在正项数列｛a｝中，已知a=l,且满足a=2a-

n1n+lnS+1

(n£N*).

(1)求a,a的值；

23

(2)证明：a.2@n1

1

解：(1)因为在正项数列｛a｝中，a=1,且满足a=2a-(nGNO,

nln+1na+1

所以a=2Xl—1_323113

2l+l"?3=2X2-

由已知a9)=1,不等式成立;

(2)证明：①当n=l时,

②假设当n=k时，不等式成立，即1

因为f(x)=2x—在(0,+8)上是增函数，

x+1

砰招二卜心7

(J+】

⑶k-332X3-3=0,

因为k》l,所以2X012

即当n=k+l时，不等式也成立.

根据①②知不等式对任何ncN.都成立.

1

8.(2020•台州市书生中学月考)已知数列｛'｝中，a=r'0,印该数列的前项n

n12n

和，且S=a(1—a)+S,nFN*.

n+lnn+ln

⑴求数列｛a｝的通项公式;

n

⑵若不等式a+a+a+-+a>3寸一切正整数n都成立，求正整数a的最大值,

n+1n+2

并证明结论.

解：(1)因为S=a(1—a)+S,n£N*,

n+lnn+1n

所以S—S=a(1—a),

n+Innn+1

所以a=a(1—a)=a—aa,

n+lnn+1nnn4-1

所以a—a=aa.又aWO,

n+1nn+1

所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列,

所以a=」_,neN».

nn+l

(2)当n=l时，1+1斗1即登£

1+11+23+1242424

所以a<26.

而a是最大的正整数，

所以取a=25.

下面用数学归纳法证明：2-+-l-+-+—L->—

nIfn।o0n।->»

+1”+2o

①当n=l时，已证；

②假设当n=k(k2l,keN*)时，不等式成立，即」_+」_+…+-—>巴

下午3k+l24

则当n=k+l时,

(八+1)+1(八+1)+23(八+1)+1

=k+1+k+2+…+3k+l+3k+2+3k+3+3k+4—肃7>24+

「1+1-2]

_3k+23k+43(k+1)JL

中为、

因为1T.-1=6(k+1)>6(k+1)=2

3k+23k+49k2+18k+89k?+18k+93(k+1)

112

即EWTTH

i19

所以西飞7IF>0.

所以当n=k+l时不等式也成

立.由①②知，对一切正整数n,

都有

1+1,,1.25

Xi___n___H----F____>―

+1+23+124

所以a的最大值等于25.

［综合题组练］

1.(2020•宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列｛a｝满足a=3,a=a?+

n1n+in

2a,neNs设b=log(a+l).

nn2n

(1)求｛a｝的通项公式；

n

(2)求证:i+l+l+-+_L_<n(n>2)；

23b-1

n

fcY

(3)若27=4，求证：2《(超即|<3.

n

解：(1)由a=a^+2a,

n+lnn

则a+l=a^+2a+1=(a+1)2,

n+lnnn

由a=3,则a>0,两边取对数得到

1n

log(a+1)=log(a+1)2=2log(a+1),

2n+l2n2n

即b=2b.

n+ln

又b=log(a+l)=2#0,

121

所以｛b｝是以2为公比的等比数列.

n

即b=2n.

n

又因为b=log(a+1),

n2n

所以a=22n—1.

n

n1111

⑵证明：用数学归纳法证明：①当=2时，左边为1tH-二<2=右边，此时不

Zoo

等式成立；

②假设当n=k(k,2,keN*)时，不等式成立，

则当门=卜+1时，左边=1+1+1+…+1+1+1+…+1

232k—12k2k+l2k+l—1

Vk+11T----11Vk+1+1T---2k个,Vk+1=右边,

2k2k4~12k+l—12k2k2k

所以当n=k+l时，不等