高中数学题库B函数对数与对数函数

已知：/(x)=ln(l+x)-ln(l-x).

(1)求/(O);(2)判断此函数的奇偶性；(3)若/(a)=ln2,求。的值.

答案:

(1)因为/(x)=ln(l+x)_ln(l_x)

所以/(O)=ln(l+O)-ln(l-O)=O-O=O

(2)由l+x〉O,且1一%>0

知一1<%<1

所以此函数的定义域为：(・1,1)

又/(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=—(ln(l+x)-ln(l-x))=—/(x)

由上可知此函数为奇函数.

(3)由/(〃)=ln2知ln(l+〃)一ln(l-〃)=In""=1112得

l-a

-1＜。＜1且匕@=2解得所以a的值为：-

l-a33

来源：09年湖北宜昌月考一

题型：解答题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题：

对于任意实数x,符号［x］表示》的整数部分，即［x］是不超过x的最大整数”。在实数

轴R(箭头向右)上［x］是在点X左侧的第一个整数点，当x是整数时［x］就是X。这个函数

［灯叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

从［x］的定义可得下列性质：X-1＜［X］＜X＜［X+1］

与[X]有关的另一个函数是卜｝，它的定义是｛x｝=x-[x],｛x｝称为X的''小数部分”,

这也是一个很常用的函数。

问题①根据上文可知：｛x｝的取值范围是;

[-5.2]=；

问题②求[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]的和。

答案：

问题①：

卜｝的取值范围是10,11[-5.2]=~6

问题②：

01<N<2

I2<N<22

[1O°,N]=.2*&N原式=0+b(22-2)+2-(23-22)+…+9-(2i°-29)+10

929<W<210

10N=210

=9-210-(29+28+---+2)+10=8204

来源：1

题型：解答题，难度：较难

定义在R上的单调函数/U)满足13)=log23且对任意x,yGR都有大x+y)=«r)+Ay).

(1)求证4x)为奇函数；

(2)若和:-3,)M3匚9*-2)<0对任意xGR恒成立，求实数k的取值范围.

答案：

(1)证明：f(x+y)=fix)+fly)(x,yGR),①

令x=y=O,代入①式，得R0+0)中：0)短0),即八0)=0.

令产-x,代入①式，得/(x-x)=/a)+/(-x),又-0)=0,则有

0=f^x)+f(-x).即人与)=由外对任意xGR成立，所以/(x)是奇函数.

(2)解：/(3)=/og23>0,即大3)>人0),又八x)在R上是单调函数，所以加0在R上是增函

数，又由(1加均是奇函数.

Ak•3")<人3'-9*-2)并3*+9*+2),k•3x<-3x+9x+2,

32rl+k)•3'+2>0对任意xGR成立.

令t=3'>0,问题等价于『-(l+k)r+2>0对任意t>0恒成立.

〜1+k

令f(t)=t?-(l+k)t+2,其对称轴x=—尸.

当当<0即k<-l时，f(0)=2>0,符合题意；

p+k

当毕》0时对任意t〉0,f(t)〉。恒成立=(三刖’

2

2△=(i+k)-4X2<0.

L.

解得-Kk<-1+272

综上所述当k<-1+2应时，f(k♦3X)+氏笋-9X-2)<0对任意xER恒成立.

命题意图与思路点拨：：问题(2)的上述解法是根据函数的性质.兀v)是奇函数且在XGR

上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(l+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次函数f(t)

进行研究求解.本题还有更简捷的解法：

2

分离系数由k-3*<-3*+9'+2得k〈3x+/-1.

2——

u=?+y-l>2V2-l,即U的最小值为2、物-1,要使对xER不等

式k<3x+/-l恒成立，只要使k<2「-L

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖.

来源：1

题型：解答题，难度：较难

设x,y>R+,且3A=4V=6"。

(1)求证：———=—；(2)比较3/,4y,6z的大小

zX2y

答案：

(1)证明：设3"=4y=6"=k(k>0),则x=log3%,y=log4女,y=log6%

•••'-'==log*6-log,3=log,2

zxlog6klog3k

111,“，°.111

=----f=jlog*4=log£2..-----=—

2y210g4k2zx2y

311,1

(2)同(1),3x=--------=--------f=；4y=----『；6z=-----r=

logA3logA.-N/3log""logA.V6

■:羽>返>遥,又y,zWR+既k>l

/.3x<4y<6z

来源：1

题型：解答题，难度：较难

已知函数/(x)对任意实数X都有/(x+I)+/(x)=l,且当xe[0,2]时，/(x)=lx-llo

⑴当xe[2k,2k+2](keZ)时，求/(x)的表达式。

⑵证明/(x)是偶函数。

⑶试问方程“x)+log4,=0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有

X

实数根，请说明理由。

答案：

①f(x)=|x-2左一1|(2kWxW2k+2,k£Z)②略⑶方程在[1,4]上有4个实根

来源：

题型：解答题，难度：较难

若函数y或x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若/U)在(-8,+8)上递增，求证:

)三「(工)在(-8,+8)上也是增函数。

答案：

设X15,且丫1=/“。1),丫2=；/'"3)，则Xi=^0i),X2=i/(y2)，若丫1》丫2,贝哒为/)在(-8,+OO)

上递增，所以2X2与假设矛盾，所以力＜)，2。

即在(-8,+8)递增。

来源：08年数学竞赛专题三

题型：解答题，难度：中档

已知函数/(x)=lQg2(x+D，当点M(x,y)在y=/(x)的图象上运动时，点

N(--J1,2y)(awR)在函数y=g(x)的图象上运动.

(1)求y=g(x)的解析式；

(II)若函数F(x)=g(x)-/(x)的极小值为4,求函数尸(x)的单调区间；

(IID若在xe[0,l]时，g(—x)>/(2x)恒成立，求参数a的取值范围.

答案：

(I)g(x)=21og?(2x+a).

(II)/(x)的单调递增区间为[0,+oo),单调递减区间为(-1,0].

(Ill)a>2+V3.

来源：

题型：解答题，难度：较难

设/(x)=l/gxl,实数a,b满足0<a<仇/(a)qS)=2/1"；")求证：

(1)a4+2a2-4a+l=0,&4-4&3+2Z,2+1=0；(2)3<b<4.

答案:

证明：(1)依题设,有l/g〃l=Vgbl,又a<b,故lga=-lgb,可得ab=l,从而0<avlvb.

因为/〃)=[["；]'故l/gbl=21g〃，又a+b2=2,由上式得励=2/g巴辛2,

从而

(tz+Z?)2=4Z?.①

将任，代入①得2=,整理得

aaya)

t74+2a2-4«+l=0②

将a=L代入②式得

b

b4-4b2+2b2+\=0.③

(2)由③式得b4-4b2+2b2+1=(b-1)(^-352-^1)=0,

又历>1,故

g(b)=b3-3b2-b-\=0④

若1QW3,则g(b)22(63)-(人+1)<0,与④式矛盾。

若b24,则g(h)=(b5-4b2)+(b2-3b+1)=b\b-4)+b(b-4)+(b-1)>0.

仍与④式矛盾。

综上所述，可知3Vb<4.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

已知函数/(x)=log2(2'+l).

(1)求证：函数/(X)在(-00,+8)内单调递增；

⑵记/T(x)为函数/(X)的反函数.若关于X的方程广'(x)=m+/(x)在［1,2］上有

解，求机的取值范围.

答案：

(1)任取玉<々，则

2”4-1

/(x,)-/(x2)=log2(2'1+l)-log2(2-+1)=log2—

xt<x2,0<2*+1<2*2+1,

2X'+1

。<—1,<0,

2J12-+l

/(%,)</(x2),即函数/(x)在(—00,+8)内单调递增.……6分

［解］(2)•••/-,(^)=10§2(2"-1)(%>0),……9分

［解法一］

tt

m=(x)-/(x)=log2(2-l)-log2(2+l)

V

^.log2^-^1lo,g,f,1--2L\……U分八

2221,23

当1WXW2时，一《-----<-,-<1---------<->

52,+1332'+15

用的取值范围是log?(：),Iog2(|]

14分

x

［解法二］解方程log2(2'-1)=〃?+log,(2+1),得

(2戊+1］

x=log211分

(2'"+11

1<x<2,1<log,——<2,

解得log?(g)V〃?410g2机的取值范围是

1082(010g2(i)

来源：08年春季高考上海卷

题型：解答题，难度：中档

设/(x)=/gU+2"+3*+…+("-1)"+"*♦a],其中n为给定正整数,"22,aGR.若/(x)在xG(-

8,1]时有意义，求。的取值范围。

答案:

由题设对任意的xWl,有1+2'+…•〃>(),即

因为g(X)在(-oo,+oo)递减,

所以当xWl时，g(x)>・a恒成立等价于g(l)>・a,即一+—+…--->・a,

nnn

化简得—17—1所以。的取值范_围是心」1—J7.

n2

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

当。为何值时，方程怆2J=2有一解,二解，无解?

lg(x+a)

答案：

(x+a)2=2x

x>-a

方程等价于<x〉0①

1

Xw一

I2

x+2(aA)x+a2=0.△=4(1-〃)20,所以“wL

2

1）当时，无解，（2）当a=—^,x=—不符方程。（3）当〃时，Xj9=1-67±J1-2〃.

2222

若。=0,则满足方程的解为X]=0,X2=2.

i）当Ovavg时，初=1-。+J1-2a>0,X]>0且匹wg,有2个根。

ii）当"0时，工2=1-。-Jl—2av-a不符合方程。必=1-〃+J1—2a>/且当

2

综上所述，当时无解，当0<”工时有2个解，当“W0时有1个解。

22

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：较难

已知a>0,aW1,试求使方程/。&〃。-以）=/。g/（，-屋）有解的k的取值范围。

答案：

（xcik^~x~—ci~

由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③

x2-a2>0

若①、②同时成立，则③必成立，

故只需解《

x-ak>0

由①可得2fcv=a（l+Z：2）,④

a(l+k2)\+k2

当％=0时，④无解；当AHO时，④的解是x=-,--代--入--②-得>k.

2k2k

若kO,则M>1,所以k-1；若&>0,则炉<1,所以04<1.

综上，当kd（-8,_i）u（0,1）时，原方程有解。

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：较难

[xx+y=y'2

解方程组：\\（其中x,yeR+）

I严'=/

答案:

两边取对数，则原方程组可化为卜+)'"gx=g'①②

(x+y)lgy=3g/x

把①代入②得(x+y)2/gx=36/gx,所以[a+y)2-36]/gx=0.

由lgx=O得_r=1,由(x+y)2-36=0(x,yeR+)Wx+y=6,

代入①得lgx=2/gy,即x=y2,所以y2+y-6=0.

又)>0,所以y=2,x=4.

Xi=1x-y--4

所以方程组的解为1I2

A=1*=2

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：较难

2lo8(lb

已知/W1,acW1,〃W1,cW1.且logax+logcX=2logbX,求证c-(ac).

答案：

由题设logaX+log(^=2logi>X,化为以4为底的对数，得

logdx210gd

logflX+——--=---------，

log”c10grth

22logab

因为ac>0,ocW1,所以logab=logacc,所以c=(ac).

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

对于正整数”,b,c(aWbWc)和实数x,y,z,w,若ax=by=c:=70w,且!+」•+'=’,求

xyzw

证：a+b=c.

答案：

由/=b'=/=70”取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

…111111

所以一lga=—/g70,—lgb=—lg70,一lgc=—lg73

wxwywz

34.，曰1f110〜眨、几1111

w\<xyz）xyzw

所以lga+lgb+lgc=lg73所以lgabc=lg70.

所以"c=70=2><5X7.

若a=l,则因为x/ga=w/g70,所以卬=0与题设矛盾，所以a>l.

又aWbWc,且a,byc为70的正约数，所以只有。=2,b=5,c=7.

所以a+b=c.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

设p,q£R*且满足logw=，ogi24=/ogi6（P+q），求"的值。

P

答案:

令log9p=logviq=/og]6（p+q）=r，则P=9',g=12'，p+q=16’,

所以9'+12'=16。即1+

记x=幺=a=[3],则l+x=/,解得X=上好.

P夕⑴2

又2>0,所以幺=±5.

PP2

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

已知集合M是满足下列性质的函数/(x)的全体：在定义域内存在与，使得

/(X。+l)=/(xo)+/(l)成立。

(1)函数/(x)=L是否属于集合M?说明理由；

X

(2)设函数,求。的取值范围；

x+1

(3)设函数y=2'.图象与函数y=—x的图象有交点，证明：函数/(x)=2、+/6M。

答案：

2

⑴若/(x)=—EM,在定义域内存在与,则一--=—+1=>x0+x0+1=0,

Xx0+1XQ

•・•方程X()2+%o+1=0无解，，/(x)=—MO

X

⑵/(x)=lgk：£M=>lg7-=+lg-»

x+1(x+1)+1x+12

=>(a-2)x2+2ax+2(a-1)=0

。=2时，x=—■-；时，由得

2

a~—6a+4W0a£13-V5,2jvj(2,3+V5j0

•**4E13-^5,3+y/~5j©

2

(3)・・・f(x0+l)-/(x0)-/(l)=2M+&+1)-2"。-K_3=2%+2(x0-l)

|

=2[2^-+(x0-l)],

又：函数y=2'.图象与函数y=-x的图象有交点，设交点的横坐标为a,

则2"+a=0n2%T+(%—1)=0,其中x0=。+葭

.•./(xo+l)=/(xo)+/(l),即/(x)=2'+/wM。

来源：08年高考探索性专题

题型：解答题，难度：中档

设。£R,试讨论关于x的方程/g(x-l)+/g(3-x)=/g(a-x)的实数解的个数。

答案:

x—1>0

原方程等价于-。

a-x>0

(x-l)(3-x)-a-x

1<x<3

即等价于12。②③

—x+5x—3=。

2

令yi=-x4-5x-3,y2=^,问题转化为求抛物线弧乃=・』+5x・3=-[x-■1)+?(1<Y<3)

与直线y=a的交点个数，如图所示，由此可见：

i)当aG(-8,1]U曰,+8)时，原方程无实数解；

ii)当”6(1,3]时，原方程只有一个实数解;

iii)当时，原方程有两个不同的实数解。

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

2

设。>0且aW\,j[x)=loga(x+Jx-1)(冗21),

(1)求/U)的反函数/"(x)；

3〃+3一〃

(2)若―-—(〃仁N+),求4的取值范围。

答案:

(1)由知得』九2-1,所以=----/」=X_d/-1.

X+J厂-1

两式相加，得x=；("+/•'),所以r(x)=|

因为x21,所以Jx~-120,x+Vx~—121.

所以当04yl时，/匕)的定义域为(-00,0],

当a>l时，尸(幻的定义域为[0,+8)。

3"+3-n

(2)当故〃>0,由(1)可知，在尸(")中a>l,由「|(")<--------得

2

n

a"+a~3"+3-"即,zaflY„„ecul1口

--------<--------,解之得—<。<3.所以一<a<3且aH0.

22⑶3

又a>l,所以l<a<3.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

f(x)=lg(a*~bx)(a>l>i>>0).

(1)求/(x)的定义域；

(2)判断了(x)在其定义域内的单调性；

(3)若/(x)在(1,+8)内恒为正，试比较zb与1的大小.

答案：

(1)由优一">0,；.(尹〉1,^>1.A*>0.；.定义域为(0,+8).

(2)设彳2>王>0,a>l>Z>>0.,.a'2>ax'bX]>b'2-b'2>-bx'

x--bX2

：.aX2-aXi>ax'-hx'>0-a~~—>1.

ax'-bx'

：./(%2)-/(^)>0.二/(x)在(0,+8)是增函数。

(3)当xe(1,+°°)时，f(x)>/(I),韶吏/(x)>0,须/⑴NO,a-b^\.

来源：

题型：解答题，难度：中档

己知:lg2=0.3010,怆3=0.4771,求力8是几位数.

答案：

65°是39位数.

来源：

题型：解答题，难度：中档

lg(6-x)+lg(x-2)+log](x-2)

—I

(1)试画出由方程--------------------------------=—所确定的函数y/x)图象。

lg2y2

(2)若函数产ax+g与广式x)的图象恰有一个公共点，求4的取值范围。

答案：

(1)易知X6(2,6),)，NL原方程可变为/g(6-x)=』/g2y,

22'

由此得)，=g(x-61.注意到)，/g,故函数产Ax)=g(x-6)2,xG(2,5)U(5,6),其中图象

是抛物线的一部分。

(2)当直线尸<7X+；经过点A(2,8)时，”=?，当直线

y=ax+；经过点8(5,g)时，a=Q,故当0<«<?时

与抛物线的AB弧恰有一个公共点。

同理，当—」-Wa<0时，直线广蛇+,与/W的图象也恰有一个公共点。

122

此外，直线广办+；与上述抛物线BC弧有一切点，其横坐标为后，此时〃=后6

综上所述，°的取值范围为{序一6}.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：中档

已知函数/(x)=l0g(x+1),当点P(x()，%)在y=/(x)的图像上移动时，

l2

点»eK在函数y=g(x)的图像上移动.

(1)若点尸坐标为(1,—1),点。也在y=/(x)的图像上，求f的值；

(2)求函数y=g(x)的解析式；

(3)当f>0时，试探求一个函数〃(x)使得/(x)+g(x)+/?(x)在限定定义域为

[0,1)时有最小值而没有最大值.

答案：

(1)当点P坐标为(1,—1),点。的坐标为(1一)+1,-1),.......2分

二,点。也在y=/(x)的图像上，-1=1殂工(1-4+1),即f=0....5分

(根据函数y=/(x)的单调性求得f=0,请相应给分)

(2)设。(x,y)在y=g(x)的图像上

X=X°2+1-即代。二一+1............................8分

而尸(x(),%)在y=/(x)的图像上，youlcgdXo+l)

2

代入得，y=g(x)=log鼠2x+f)为所求............................11分

3_%

(3)/?(x)=log,:或贻)=logj一-等...............15分

-乙人II2乙人.1I

如：当/z(x)=log32x+t时，

/(X)+g(x)+〃(x)=log,(x+1)+logJ(2.x+t)+logJ=log式1一%2)

•.T—X在［0,1)单调递减，.-.0<l-x2<l故kg；(l—》2)20,

即/(x)+g(x)+〃(x)有最小值0,但没有最大值•..................18分

(其他答案请相应给分)

(参考思路)在探求〃(x)时，要考虑以下因素：①〃(x)在［0,1)上必须有意义(否则不

能参加与/(x)+g(x)的和运算)；②由于/(x)和g(x)都是以；为底的对数，所以构造的函

数〃(x)可以是以t为底的对数，这样与/(x)和g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算；③

以;为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时.，对数值才能取到最小值；④为方便

起见，可以考虑通过乘积消去g(x)；⑤乘积的结果可以是x的二次函数，该二次函数的图

像的对称轴应在直线x=：的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该

二次函数的图像与x轴已有了一个公共点(-1,0),故对称轴又应该是y轴或在y轴的右侧

(否则该二次函数的值在［0,1)上的值不能恒为正数)，即若抛物线与x轴的另一个公共点

是他，0),则14。<2,且抛物线开口向下.

来源：08年高考探索性专题

题型：解答题，难度：较难

已知f(x)=x~+(Q+l)x+1gIa+21(4w-2,a£R)

(I)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数力(x)的和,求g(x)和力(x)

的解析式；

(II)若/(X)和g(x)在区间(-00,(。+1)2］上都是减函数，求〃的取值范

(III)在(H)的条件下，比较/⑴和，的大小.

答案:

(I)设/(x)=g(x)+〃(x)①，其中g(x)是奇函数,〃(x)是偶函数，

则有/(一x)=g(—x)+7z(x)=-g(x)+/z(x)②

联立①，②可得g(x)=(a+l)x,/2。)=，+坨％+2](直接给出这两个函数也给

分)…3分

(II)函数g(x)=(a+l)x当且仅当。+1<0,即。<一1时才是减函数，・・・。<一1

又fM=x2+(〃+l)x+1gI。+21=(x+0+I)2+1gIa+21-十)

24

.../(X)的递减区间是(—8,-等)

........5分

由已知得(。+1)2«-----二\,a+i国军得4a<—1

2(a+l)2<--2

I2

。取值范围是…・8分

2

…3

(HI)/(l)=l+(a+l)+lgla+2l=a+2+lgla+2l(--<a<-l)

(a+1)和lgla+21在上为增函数10分

/⑴N(一|'+2)+lgl(一1')+2l=；+lg；++=J

••/(I)>7即/⑴大于y・14分

66

来源：1

题型：解答题，难度：中档

力(x)=/(x),/2(x)=//(x),

己知函数力M(X)=工「(x),〃为奇数

:+G)=fy[fn(X-1)],〃为偶数

⑴力(x)=«,求—⑺/⑺的解析式;

6

(2)若函数[(苫)=嚏2%,工€[1同，函数y=力卜"(x)是[1,2上求。；

(3)/(x)是定义在R上的函数，且其为奇函数，其图像关于直线x=a对称

当xe[O,l],/(x)=«,,求最小正数a及函数“X)在[—2,2]上的解析式

答案：

（I）^（X）=X-1（X>1）,/,（X）=X+1,（X>O）

（2）a=4（可知log2a=2）

（3）a=\（略）

/（x）=Vx,xe[0,l];

/（x）=-4-x,xe[-1,0）；

/（X）=y/2-X,X6（1,2];

f(x)——•'《2+x,xG[_2,—1)o

V

来源：08年高考探索性专题

题型：解答题，难度：中档

己知函数f(x)是函数y=——-1的反函数，函数g(x)的图像与y=上亘关于直线

10"+1X-1

y二-x成轴对称图形，记F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的解析式及定义域

答案:

1—X1

F(x)=lg----+------1XG(-1,1)

1+xx—3

来源：

题型：解答题，难度：中档

//(X),〃为奇数；

已知函数力(x)=/(x),=力+1(X)="

f"(x-l)]，〃为偶数。

(1)若函数力。)=«,求函数人(X)、/,(》)的解析式;

(2)若函数/(冗)=log2(X),XG[1,,函数y=力(不)，/!。)的定义域是[1,2],求。

的值;

(3)设/(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且函数/(x)的图像关于直线x=a对

称。当x时，于(x)=&,求正数a的最小值及函数/(x)在［-2,2］上的解析式。

答案：

l2

(1)f\(x)=Vx,Xe[0,+oo),(T)/2(x)=/1"(x)=x,xe[0,+oo)；

2

八(x)=/1[/2U-1)]=/I[(X-D]=X-1,XG[l,+8)；

Zi(x)=八,(x)=X+1,xe[0,+oo).

x

(2)：f^x)=log,x,xefl,a],A/2(x)=(x)=2,xe[0,log2a],

力(%)=力6(x-1)]=1呜(2*T)=x-l,xe[l,l+log2a],

x

/4()=A'(X)=x+1,xe[0,log2a],

y=力(%)-A(x)=1一1,xe[1,log2a].

由题设，得log2a=2=>a=4.

(3)./(x)是定义在R上的奇函数，.••/(-x)=-/(x)①

•.•函数/*)的图象关于直线x=a对称，.•./(x)=/(2a—x)②

在②式中以一x替换X,得/(—x)=/(2a+x)③

由①式和③式，得/(2«+x)=-/(x)④

在④式中以x+2。替换x,得f(4a+x)=-f(2a+x)⑤

由④式和⑤式，得/(4a+x)=/(x)(14，)

V/(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，...正数a的最小值是1.

.•.当xe[0.1]时，f(x)=4x,.•.当Xe[-l,O]时，-xe[O,l],

/(-x)=C7=-/(x)，即/(x)=-C7.

•••函数/(x)的图象关于直线x=1对称,

...当xe(l,2]时，2-Xe[0,l),/(三)=/(2-x)=、2-x

当xe[-2,-l)当，一xe(l,2],/(-x)=y/2+x=-f(x);即/(x)=-J2+x.

j2-x,xG(1,2]

Vx,xe[0,1]

■J-X,XG[-1,0)

J2+x,xe[-2,—1)

来源：08年高考探索性专题

题型：解答题，难度：较难

设。＞0,函数Kt)=；婷谭)(e是自然对数的底,e^2.718)是奇

函数.

(1)求。的值；

(2)求人x)的反函数尸(x).

答案：

iA1e-Ya

(1)解法i:/a)是奇函数，•0a)二一/(一。即2(e――a£)=~2(-),

(a2—l)(ex+e')=0,a2—1=0,V<7>0,=1.

解法2；/(x)是R上的奇函数,.\/(0)=5-a=0,Va>0,

经验证知当a=1时J(x)是奇函数.

(2)由(1)知yW(x)=1(ex-^2ye'—1=0,

x

e=2y±2『tl=y+Jy2ex>o,...e'=y++1,

x=ln(y+7>,2+1)(，/'(x)的反函数为/-'(x)=/n(y+\ly2+\)(xGR).

来源：

题型：解答题，难度：中档

若函数/(X)='"'1：竺为奇函数,

(1)确定机的值；

(2)(文科)求函数“X)的值域；

(3)(理科)若/(x)N-l,求x的取值范围.

答案：

（1）因/（幻=机一一--函数的定义域{xlxwO}

2'—1

由奇函数的定义，可知/（—x）+/（X）=0而“7——J—+m——J—=0

2'—12'—1

1-2'!

ImH-----=0,；.〃？=—（6分）

1-2'2

（2）（文科）vx^O.-.2'-l>-lv2'-1^0,1<2「1<0或2,-1>0

._i_,_2__!__1

"-2-2A-l>2，-2-2x-l<-2

即函数的值域yly<—g或y>g（文12分）

（3）（理科）-//（X）=由/（幻2-1

22-1

可知一，——二21即」一4,

22V-12V-12

从而2'—1<0或2，-122.•.xvO或xNlog；（理12分）

来源：08年高考武汉市联考一

题型：解答题，难度：中档

已知a>\,b>\,且lg(a+b)=/ga+/gb,求lg(a-l)+lg(b-l).

答案：

,."%=（4+〃）,（。-1）（〃-1）=1,故原式为0.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：容易

式X）是定义在（1,+8）上且在（1,+8）中取值的函数，满足条件；对于任何

11

及u,v>o,Ax*y）w（A尤）］而区），）］而①都成立，试确定所有这样的函数/U）.

答案：

k

令x=y>l,u=v=—>0,得

-2

［/（力代/）.②

11

令尸也=7,则睑）］：W1AA即

k

由②，③可得令Ae）=c>l,

1J_'

由於）=代为=/加*严］而-e）ln（=clnv.

1

另一方面，设大用=「蔽（01）,由柯西不等式得

------、2

1111

-------------1-------------(ulnx+vlny)2——-Mlnx+•vlny=1,

4〃4vlny4〃Iny4vlny

\nx?x7

—+—

所以C4"InX4vlny2cuIn.tvlny_In.twyv

i

即/xUyv)W[/(x)]4"•爪x)]4V.

综上所述，y（x）=c,nx（c>i）.

来源：08年数学竞赛专题四

题型：解答题，难度：较难

2

已知f（x）=log+q。是否存在实数p、q、m,使f（x）同时满足下列三个

2xz+mx+\

条件：①定义域为R的奇函数；②在［1，+8）上是减函数；③最小值是一1。若存在，求

出p、q、m；若不存在，说明理由。

答案：

；f(x)是奇函数Af(0)=0得q=l(1分)

2O

又f(-X)=-f(x)log,+IoglX+l

]X'-"IX+1§X'+机X+1

22

+1—+1+nn/2\222/2八2

-------DX=X-~......1.TI.X即(x+1)—px=(x+1)—mX

x2+1-mxx2+i+px

/.p2=m2若p=m,则f(x)=0,不合题意。故p=-mWO

x-mx+l/<八、

..f（x）=log］—--------（5分）

§x4-nix4-1

2

上”、*一、i曰、io®A/、x-nix+1,2mx.2m

由f（x）在［1,+8）上是减函数，令g（x）=---------=1——--------=1-----：----

x'+mx+1尤~+mx+1XvH,---rm