高月考试卷汇编解角形

解三角形

题组一

一、选择题

1.（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在4ABC

中,B=135°,C=15。,a=5,则此三角形地最大边长为

A.5A/3B.4A/3C.55/2D.4A/2

答案C.

2.（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）设一直角三角形两直角边地长均是区间（0,1）

地随机数，则斜边地长小于己3地概率为

4

（）

答案B.

3.（山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）角a地终边过点（-1,2）,则cosa地值为

2A/5V52A/5V5

（A）——（B）—■（C）-（D）--—

答案D.

4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理）在A48c中，有命题：①

AB-AC=BC@AB+JC+CA=0

③若（而+无心）•（而一彳乙）=0,则\ABC为等腰三角形

④若恁•而>0,则A48c为锐角三角形.上述命题正确地是（）

A.①@B.①④C.②③D.②③④

答案C.

5.（湖北省八校2011届高三第一次联考理）

在AABC中，角A、B、。所对地边长分别为a、b、c,若C=120°,c=应力，则

（）

A.B>45°B.A>45°C.b>aD.b<a

答案C.

6.（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）记实数%,尤2,…五中地最大数为

max{菁，z，…最小数为min{%,％2,…•已知MiBC地三边边长为。、b、c

abccibc

Ca<b<c）,定义它地倾斜度为f=max{-,-,-}*min#：；},则"t=l"是"MBC

bcabca

为等边三解形”地

A）充分布不必要地条件B）必要而不充分地条件

C）充要条件D）既不充分也不必要地条件

答案C.

7.（广东六校2011届高三12月联考文）在A48c中,a=15,b=10,A=60°，则sin8=

A百R+△c几口+在

3333

8.（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）

在AABC中，若‘一=’一=—^,则A48c是（B）

cosAcosBcosC

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案B.

二、填空题

9.（山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC中，若a=8=l,c=G,则

NC=.

答案9、—;

3

10.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在A48C中，角A,8,C所对地边

uuvrULU

分别是"c若〃+=/+反且AC.A3=4,则\ABC地面积等于

答案26

11.（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC中,。为边BC上一

点,8力='DC,Z.ADB=120°,A。=2,若△ADC地面积为3-G,则NBAC=

2

答案-

3

12.（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果NACB=90°,在平面a内,PC

与CA,CB所成地角NPCA=/PCB=60°,那么PC与平面a所成地角为

（第12题）

答案45°

13.（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在AABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对地

边，

己知a=Q乃=3,NC=工，则角A等于—

6

14.（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在AABC中，D为边BC±~

1

点,BD=2DC,ZADB=120o,AD=2,若AADC地面积为3-色，则

NBAC=.

,1

-1<4<一

答案2

三、简答题

15.（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）选做题（请在下列3道题中任选一题作答,

如果多做，则按所做地第一题评阅记分）

A.不等式|x+l|+|x—2区4地解集为.

B.直线1一，”为参数）过圆

y=t-\

.V"+y--2tzx+tzyH—cr—1—0地圆心，

--4

则圆心坐标为.

C.已知PA是。O地切线，切点为A,PA=2cm,AC是。。地直径,PC交。O于点B,AB=垂）cm,

贝QABC地面积为cm2.

答案-14-1'2-8（』,一1）C.河

16.（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全叫理）

（本小题满分12分）4ABC中,a,b,c分别是角A,B,C地对边，向量/=（2sinB,2-cos2B）,

n=（2sin2（^+^）,-1）,m±n.

（1）求角B地大小；

（2）若。=g,b=1,求c地值.

【分析】根据向量关系式得到角8地三角函数地方程，解这个方程即可求出角B，根据余弦定理

列出关于c地方程，解这个方程即可.

［解析］（1）•.•机_Lnm-n=0,4sin3•sin2（-+-）+COS2B-2=0......2分

42

2sinB[l-cos(^+B)]+cos25-2=0,

.\2sinB+2sin2B+l-2sin28-2=0,

・•・sinB=—,................5分

2

jr5

,r0<B<7V,.\8=一或........7分

66

(2)•.•a=g>".•.此时8=弓............8分

6

方法一：由余弦定理得:〃=Y+。2-2accosB,

c2-3。+2=0,「・。=2或。=1................12分

方法二：由正弦定理得上=，一，

sinBsinA

1V3.4V3%一2八

J_sinA233

2

若4=工,因为8=工，所以角。=生,.•.边c=2;

362

若A=2%，则角C-7C--7V--边。=b,j.C=1.

3366

综上c=2或c=1.....................................12分

【考点】简单地三角恒等变换、解三角形.

【点评】本题第一问主要考查三角恒等变换、第二问考查解三角形.在以三角形为背景地三角

类解答题中，方程思想地应用是非常广泛地，实际上正弦定理和余弦定理本身就是一个方程，根

据已知和求解目标之间,把问题归结到解方程或者方程组地方法是解决这类试题地一个基本思

想方法.

17.(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题理)设函数/(x)=cos(2x-；)-2sin2x

(I)求函数/(尤)地最小正周期和单调递增区间；

(II)/XABC,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且/(B)=g力=l,c=6,求a地值.

答案(1),//(x)=V3sin(2x+—)-1,:.T=n,--------------------4分

、冗TT

单调增区间为k7r-—,k7r+—(keZ)----------------------------------7分

1212

I7F27r7E

(2)・・・Be(0,^),/(B)=-,2B+-=—,B=--------------------------11分

2336

由正弦定理得C=X或女，。=2,或1......................-...............................-14分

33

18.(浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文)(本题满分14分)

7o/o

在A48C中，a,"c分别为角48,。地对边,已知。=一，乙48。地面积为之,又

22

tanA+tanB=G(tanAtanB-1).

(I)求角C地大小；

(II)求a+Z?地值.

答案

(!)因为=VJ(ten/tanN-l)・

所0Uan(d+8)=旦竺且，、8、C为M5C的内角

1-Un/•Ianb

2।

vma3从ifC.gitj.............................…・・，」分

13l-1

(n)由.-abcnC,二J3•flA<1>®C»-^.

223

7

所以ab・6,又c・彳

从再由余弦定理可存d=0：-Mb3C=g.b)’_2&-%b-8sC

.9+b)'-18.9rUa*fr■J(-)2+18--------------------------------14分

19.(山东省聊城市2011届高三年级12月月考理)(本小题满分12分)

2------88

在4ABC中,8=2C,COSC=5，A8C4=-亍.

(1)求cosA；

(2)求边BC地长.

答案

解：在AAgC中，8=2£eo»C=；AB'C?.

45

、un，.・

c<^Bcw2C«2cv*aC-1=9

0

jeq1*ex、rr-；B♦C：n1•♦

=-TMa^sinC

4**

in!：^nC

♦J-

16»9-2<

迎的长为;

⑴分）

20.（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）（本题满分12分）A4BC地

三个内角A,B,。依次成等差数列.

（I）若sii？8=5由45亩。,试判断入48。地形状；

rj-\Ai

（II）若AABC为钝角三角形，且a>c,试求代数式卅2±+&si〃一cos-----地取值范

2222

围.

答案解：(I);sin'8=sinAsinC,b~-ac.

允

A,8,C依次成等差数列,.•.28=A+C=%—8,B=-

3

由余弦定理/-a2+c2-2accosB,

a2+c2-ac=ac,..a=c.

A48C为正三角形.

(II)sin'—FV3sin—cos-----

2222

_1-cosC+V3sinA」

222

昱sinA」3

22

国必+—-qnA

244

=——sinA+—cosA

44

1•/A兀、

=-sm(A+-)

26

..K.27r.2〃.兀5"

.—<A<—,<*.——<A+—<—,

23366

.1,•一,〃L百11,f4TT}V3

••_<s，〃|AH—<—,_<_sin\A4—<—.

2I6j242L6)4

—AAQ

代数式sin--I-\3sin一cos—l—地取值范围是

2222

21.（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）设^ABC地内角A、B、C所对

「1,

acosCH——c=b

地边分别为a,b,c,且2

（1）求角A地大小；

（2）若a=l,求周长p地取值范围.

答案

acosC♦-r■b

设aABC的内角A、B、C所对的功分别为a.b.c,H2

（1球角A的人小：（2）若“1.求网Kp的取体范阳.「或

⑴商由a㈤c+k=b反比会吟Si"A/2卬射

二胡4喈:46（。,"）百多一--bn

.在B声，力皿》=（尔立3必尹孑

0廿cWNXb+CNAnJ....\2f

.：「29,心2中（封”）

或叶承J"'"*""

20/"--------/2

22.（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）（本小题满分12分）

已知\ABC地三内角A,B,C所对三边分别为a,b,c,且sin（.+A）=唔,0<A<（.

(I)求tanA地值.

(ID若A48C地面积s=24/=8,求a地值.

答案解：(I)*/0<A<—：.—<A+—<—由sin(四+A)=M2

4442410

得cos(—+A)=,••2分

410

..A•/4A冗、.,4八K.兀3八

.・sinA=sin(—FA--)=sin(—FA)cos--cos(—+A)sin—-........4分

4444445

43

cosA=—......5分tanA=—......6分

54

(ID，力。5抽4=24得，=10……8分

2

，a2=b2+c2-2bccosA=36a=6......12分

23.(湖北省八校2011届高三第一次联考理)(本小题满分12分)在A48C中，角

A、B、。所对地边分别为〃、b、c,向量

一12-.一一

p=(1-sinA,—),q=(cos2A,2sin4),且〃〃q.

(I)求sinA地值；(II)若〃=2,AA3C地面积为3,求。.

一一12

答案(I),/pllq—cos2A=(1-sinA)-2sinA,

6(l-2sin2A)=7sinA(l-sinA),5sin2A+7sinA-6=0,

3

・•・sinA=—.(sinA=-2舍)6分

(II)由SMBC=g〃csinA=3,〃=2,得c=5,

又cosA=±Vl-sin2A=±[,

a2=h2+c2-2Z?ccosA=4+25-2x2x5cosA=29-20cosA,

当cosA=—时，a2=13,a—V13；10分

当cosA=—［时，a2=45,a—3亚.12分

24.（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）

（本题满分12分）

如图，在aABC中，已知A8=3,AC=6,BC=1,是N8AC平分线.

⑴求证：DC=2BD.

（2）求丽•比地值.

（第24题图）

AB_BD

答案（1）在MB。中，由正弦定理得sinNAO3sinNBA。①，

AC_DC

在AAC。中，由正弦定理得sinNAQCsin/CA。②，..................2分

又40平分N8AC

所以/BAD=ZCAD,sinZBAD=sinZCAD

sin/ADB=sin(%-ZADC)=sinZADC

BDAB_3

由①②得灰一就一石，所以℃=28O.....................................6分

DC=^BC

⑵因为OC=2BO,所以3.

八AB2+BC2-AC232+72-6211

Z>Z-XQIJ-----------------------------------------

在△ABC中，因为2ABBC2x3x721,........io分

___22.

ABDC=AB(-BC)=-\AB\\BC\co^-B)

所以33

2cr,I22

——x3x7x(---)——T

32112分

25.（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）（10分）在AA5C中，已知内角

4=。，5。=2百,设内角5=》,周长为7.

（1）求函数y=/（x）地解析式和定义域;

（2）求y地最大值

答案(1)由正弦定理知工^=^g-,.・.4C=4sinx

sinxsin60"

------A--B------=28••.«AA.DB=4Asi.n(2兀x)、

s.in(^--x)sin60------------------3

y=4sinx+4sin(—一x)+2A/3=4石sin(x+—)+2c,(0<x<—)

363

,冗冗57r冗冗__//.

(2)—<xH—<—，,x+—=一即x=一时，V=6V3

666623max

26.(河南省鹿邑县五校20H届高三12月联考理)(12分)在AA8C中,A、B、C地对边分

别为a.b.c,且满足sinA:sinZ?:sinC=2:5:6.

⑴求cosX;

(2)若AA8C中地面积为求AA8C地周长.

4

答案解：(1)根据正弦定理及sinA:sinB:sinC=2:5:6可得a:b:c=2:5:6,于是可设a=2k,

222222

,、士人A±曰"«+c-b4k+36k-25k5

b=5k,c=6k(k>0)，有余弦定理可得cosB=------------=------------------=-

2ac2x2%x6%8

即cosB=—,

8

(2)有(1)可知,sin8=Jl—cos>8=叵，有面积公式S^Bc=[acsin8可得

82

1c,/、J393A/39,,,t,LraizAL八

—x2kx6kx----=------,k=1,故4ABC地周长为：2k+5k+6k=13k=13.

284

27.(广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理)

(13分)已知△ABC地角A.B.C所对地边分别是b.c,设向量

〃i=(a,b),n=(sinB,sinA),/?=0-2,。-2)

(1)若五〃求证aABC为等腰三角形；

*,—•'1)

(2)若边长c=2,角。=耳,求AABC地面积.

答案(1)证明：Vin//n

asinA=bsinB

口口a1b

即a----=b----

2R2R

/.a=b

故4ABC为等腰三角形

(2)m±PBPa(b-2)+b(a-2)=0.\a+b=ab

由余弦定理：4=a2+b2-2abcos—=(a+b)2-3ab

3

即(ab)2-3ab-4=0

ab=4=>S=—absinc=V3..........

2

28.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)(文科做)(本小题满分13分)在A48c

中，角A,8,C所对地边分别是。功，C,且“2+,2-〃=]_"

2

(I)求cos3地值；

人+「

(II)求sin2------+cos28地值.

2

]_

答案28.解：（1）由已知得,cos3=

4

（2）sin2—+Q+COS2B=cos2—+cos2B=2cos2B+—cosB~~

2222

£

--4

29.（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）

已知：向量力与**■（*碗***™1'）共线，其中/是△四C地内角.

（1）求：角4地大小；

（2）若除2,求△/回面积S地最大值,并判断S取得最大值时地形状.

答案29.解：

（1）因为m〃n,所以'Y72

所以T4+多而”子。,即亭山-驯〃“即向"-加

因为*®0,所以2人一产卜小啕故

（2）由余弦定理，得4-$'+「-*

义41c.§讪血4■幸儿

而产+c'Mcn*+22te=>MS4,（当且仅当》=c时等号成立）

所以$3.扛皿4邛

当△/（园地面积取最大值时，

j.1

又-,故此时△/阿为等边三角形.

30.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）在AABC中，a、b、c为角A、B、

。地对边，已知A、8为锐角，且cos2A=3,sinB=—

510

(1)求A+B地值

（2）若。-匕=五一1,求a、b、c地值

答案30.解：(I)•.•?!、B为锐角,sinB=巫,.•.cosB=Jl—sin2、=独。

1010

,3

又cos2A=1-2sirrA=《,

/.sinA=,cosA=Vl-sin2A=

55

2753V10V5VioV2

cos(A+8)=cosAcos8-sinAsinB二----xx=—

5--105-----10--2

兀

-.■()<A+B<7r.\A+B~—6分

4

(II)由(I)知。=包,.・.sinC=@.

42

由正弦定理一cJi=bc一得

sinAsinBsinC

也a-y/\0b二后c,即a=Cb,c=也b

Qtz—/?=V2—1,

/.6b—b=V2—1,.*./?=1

31.(福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷)

(本题满分12分)

在AA3C中，。也c分别是乙4,/民NC地对边，已知。、人是方程％2―2瓜+2=0地

两个根，且cosAcos8—sinAsin8='.求NC地度数和c地长度.

2

答案31.解：(1)vcosAcosB-sinAsinB=—

2

/.cos(A+B)=—................2分

2

A+B=—

3

/.C=TF-(A+B)=—,.....................................4分

3

'：a+b—2y/3,ab—2

:.a2+b2=(a+b)2-2ab=S..................7分

/.c2=a2+b2-2aftcosC=10..................10分

.-.c=Vw..............................12分

题组二

一、选择题

i.(河南信阳市20n届高三第一次调研考试理)

4

已知角a地终边过点P(-8〃z,-6sin30°)，且cosa=，则m地值为()

A1V3八1八也

2222

答案C.

二、填空题

1.(成都市玉林中学2010—2011学年度)A48C三边长为a,b,c,对应角为NA,NB,NC,已

知23.无=。2-(a—/?)?,则NC=

答案60°-

2.(四川省成都市玉林中学2011届高三理)定义在R上地偶函数/(x)满足f(2-x)=f(x),

且在［-3,—2］上是减函数，a,/是钝角三角形地两个锐角，则下列不等式关系中正确地是

A./(sina)>/(cosfi)B./(cosa)</(cosB)

C./(cosa)>/(cos0)D./(sina)</(cos夕)

答案D.

3.(浙江省桐乡一中2011届高三文)如图所示,0点在4ABC内部,D、E分别是AC,BC边地中

点,且有况+2丽+3次=°,则^AEC地面积与△AOC地面积地比为()

(A)2(B)2(C)3(D)3

答案B.

jrjr

4.(浙江省吴兴高级中学2011届高三文)定义运算：尤*>=*2->2+2盯，则cos］*sin§

地值是()

(A)⑻年©当

答案D.

—X2—4x(x20)

5.(河北省唐山一中2011届高三理)已知函数/(%)=〈,一，又0/为锐角三

X2-4X(X<0)

角形两锐角则()

A./(sina)>于(cos0)B./(sina)</(cos

C./(sina)>/(sin夕)D./(C0S6Z)>/(C0Sy5)

答案B.

6.（四川省成都市玉林中学2011届高三理）cos（-^）=

.1nV3„1c6

A.—B.C.——D.-

2222

答案C.

二填空题

7.（江苏泰兴2011届高三文）AABC三边长为a,0,c,对应角为NA,NB,NC,已知

2点.在=c2_Q_犷则NC=

答案60°

8.（福建省四地六校联考2011届高三文）在AABC中，角A、B、C地对边边长分别是a、b、

c,若A=g,a=6,b=l,则c地值为.

答案2.

9.（河南信阳市2011届高三理）电流强度/（安）随时间t（秒）变化地函数

TT

I=Asin（m+-）（A>0,。W0）地图象如图所示，

6

则当r=」-时，电流强度是.

50

答案5.

三、解答题

10.（浙江省桐乡一中2011届高三文）（本小题满分14分）

如图，已知4ABD是等腰直角三角形,/D=90°,BD=拒.现将4ABD沿斜边地中线DC折起,

使二面角A-DC—B为直二面角,E是线段AD地中点，尸是线段AC上地一个动点（不包括A）.

（1）确定F地位置，使得平面ABDJ_平面BEF；

（2）当直线BD与直线EF所成地角为60°时,求证：平面ABD_L平面BEF.

B

答案10.解法一（1）由己知二面角A-DC-B为直二面角，又AC,CO,ACL面

在R/A/4CZ)中,CD=1,NAZ5C=45°,；.AC=1.

以C为原点，分别以CB、CD、CA为x,y,z地正半轴建立空间直角坐标系,

则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1).

；E为AD中点,

-------11

AD-BE^(0,1,-1)3-1,-,-)=0

22AD1BE.

若面ABDI®BEF,贝ijAD_L面BEF,贝ijAD_LEF,即AD0EF=0

r/nn(0,1—l)E^0,--,Z——)=0

设尸(0,0,z),则22,

(--!-)□+(-l)L(z--)=0=>z=0

二22,

••.F点坐标为(0,0,0)，即F点与C点重合时，平面ABD,平面BEF.

T11T

EF=(0,-z--),BD=(-1,1,0);

(2)由(1)知22

0s

|cos<BD,EF>|=|:??L1=-

|BD0£F|2解得z=0或z=l,由F是线段AC上(不包括A、C)

地点得z=0

，F点坐标为(0,0,0),即F点与C点重合,，AD，EF,又BC_LAD

，平面ABD_L平面BEF

解法二(1)在折后图中，由已知得AB=AD=BD=4igE=ED，则BELAD,由平面ABD

_L平面BEF,得人口上面BEF,得AD_LEF,即F应过E地AD边地垂线和AC地交点，由AC=CD

知F点即为C点.

(2)取AB地中点为G连结CG、GE,由已知可得CE=CG=GE,，CE与GE成60°角，即F点

与C点重合，在等腰直角三角形ACD中，可证AD1CE

又BC_LAD,BCnCE于C,二八。_1_面BCE,即BEF

平面ABD_L平面BEF

11.(福建省福州八中2011届高三理)(本小题13分)

7T

已知函数f(x)=Asin(&r+9)(4>Q,CO>0,|夕|<|)地部分图象如下图所示：

(1)求函数/(x)地解析式并写出其所有对

称中心；

(2)若g(x)地图象与/(x)地图象关于点P(4,0)对称，求g(九)地单调递增区间.

答案2.(本小题14分)解：(1)由图可得.A=&，4=6—(—2)=8,所以,7=16,0=生,…

28

2分

则此时/(幻=血5皿(色》+9),将点(2,正)代入，可得9=色.........4分

84

/(%)=V2sin(^x+^)；

对称中心为(8Z—2,0)(ZeZ)......................7分

(2)由g(由地图角与f(x)地图象关于点P(4,0)对称,

得g(x)=-/(8-x),...............9分

g(x)=-V2sin[/(8-x)+f]

84

=-V2sin(---x)=V2sin(—x--),..................11分

4884

令2攵4—工4三x—主42攵万+生得16k+6WxW16攵+14Z).

2842

即g(x)单调递增区间为[16k+6,16k+14]k&Z...........13分

12.(河北省唐山一中2011届高三理)在A4BC中，点M是BC地中点,AAMC地三边长是连

续三个正整数，且

tanZC=cotZBAM.(I)判断AABC地形状；(H)求ABAC地余弦

答案12.(I)设ZBAM=a,ZMAC=(3,

则由tanC=cota得a+C=90°

.-.j3+B=90°1分

\ABM中，由正弦定理得

BMAMsinBAM

-----=-----，即m-----=——

sinasinBsinaMB

7嘿，3分

.sinBsinC.._.„

•/MB=MC,r.-------=-------,r.sin«sinC=sinposinB

sinasin/3

,/a+C=90。,夕+B=90°,sinacosa=sin夕cosJ35分

即sin2a=sin邛，：.a=臧a+/?=90°

当的=90°时，AM=^BC=MC,与AAMC地三边长是连续三个正整数矛盾,

・・.a=ZB=ZC,/.&46C是等腰三角形.7分

（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为以〃-1,斜边为〃+1,

由（鹿+=“2+（〃-1）2得好幺........9分

77

由余弦定理或二倍角公式得cosN8AC=—.或cosN6AC=--.

2525

..............12分

13.（福建省四地六校联考2011届高三理）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中,0

为坐标原点，已知点A（4,0）,尸（cosa,