自主招生及数学联赛试题

大学自主招生数学试题

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分.在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填

在括号内)

1.若今天是星期二，则3叨8天之后是

A.星期四B.星期三C.星期二D.星期一

2.用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机

的，恰好组成“MATHEMATICIAN”•词的概率是

8

13!

3.方程cos2x-sin2x+sinx=w+1有实数解,则实数m的取值范围是

A.m<—B.m>-3C.m>—1-3<m<—

88

4.若一项数为偶数2〃7的等比数列的中间两项正好是方程f+px+q=0的两个根，则此数列各项的积是

/ln\

A.pB.p2"'C.D•q

/(%+6)—/(七一/?)

设/'(xo)=2,则lim

A.—2

二、填空题(本题共24分，每小题3分)

1.设KO的原函数是J7+1,贝.

2.设xe(0,—),则函数(sir?x+———)(cos2x+——「)的最小值是.

2sin**xcos-x

3.方程3・16丫+2-8-=5・36、的解x=.

4.向量£=7+2］在向量B=37+4］上的投影0)万=.

5.函数y=2x+3"的单调增加区间是.

6.两个等差数列200,203,206,…和50,54,58…都有100项，它们共同的项的个数是.

7.方程7/-伏+13)犬+户-左-2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是.

8.将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的铝现是等

可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是.

三、证明与计算(本题61分)

试证：Q］,。2，…,。"中至少有一个小于L

2.(10分)设3次多项式加)满足:於+2)=/r),40)=1,八3)=4,试求兀力

/+2。+.・・+〃〃

3.(8分)求极限lim-----------：—-(p>0).

〃->00"P+I

X2+hx+cx>01

4.(10分)设/(x)=r’在x=0处可导，且原点到«r)中直线的距离为一，原点到段)中

lx+m,x<03

曲线部分的最短距离为3,试求儿c,/,用的值.S,c>0)

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大学自主招生数学试题

________3

5.(8分)证明不等式：IVJsinx+JcosxL24,xe[0,—].

2

6.（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中

目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获

2

胜，试求甲、乙两射手获胜的概率.

7.（11分）如图所示，设曲线y=l上的点与x轴上的点顺次

X

构成等腰直角三角形为小，△482A2,…，直角顶点在

曲线y=L上.试求的坐标表达式，并说明这些三角形

X

的面积之和是否存在.

复旦大学2000年保送生招生测试数学试

题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1.将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第"组含”个数,

即1；2,3：4,5,6；……令或为第"组数之和，则即=.

2.sin2a+sin2(a+—)+sin?(a——)=

3.lim[（n+2）log,（n+2）-2（〃+l）log2（n+l）+nlog-,n]=.

4.已知平行六面体的底面是•个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底

面成60度角，则两对角面面积之比为.

5.正实数满足关系式X2-X），+4=0,又若后1,则y的最小值为.

6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时:有人驾驶摩托车从站台追赶火车

给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，

假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了米.

二、解答题（每小题15分，共90分）

1.数列｛%｝适合递推式a.+i=3a“+4,又仰=1,求数列前〃项和

2.求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光

学性质吗？请叙述但不必证明.

3.正六棱锥的高等于/?,相邻侧面的两面角等于2arcsin,（3底-指），

2

求该棱锥的体积.（cos£=L（0+C））

124

4.设Z1,Z2,Z3,Z4是复平面上单位圆上的四点，若Z|+Z2+Z3+Z4=0.

求证：这四个点组成一个矩形.

5.设（1+J5）"=x"+y“J2,其中X,”%为整数，求“TOO时，Z的极限.

6.设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1.问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请

证明你的结论.

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大学自主招生数学试题

2000年交大联读班试题

1.直线y=ax+h关于y=-x的对称直线为

2.2知a,b,c是A8C的三边,a^l,b<c,且满足log"+ca+log〜a=210gHealogj。，则

ABC是的三角形。

3.已知(3x+l)8=48/+。7『+—\-a1x+a0,贝ij。8+4+%+。2+。()=°

17卜)

4.已知/（X）满足:/(x+1)则〃x）的最小正周期是

l+〃x)'

5.已知“X）是偶函数，〃x-2）是奇函数，且/⑼=1998,则“2000）=

6.a,-c是ABC的三边,且（b+c）:（a+c）:（a+b）=4:5:6,则

sinA:sinB:sinC=。

7.〃是十进制的数，〃几）是〃的各个数字之和，则使/（九）=20成立的最小的〃是

.71.74

sin——+sin——

8.1212

717万

cos——+cos——

1212

9.函数/(x)=#x+Jl+W+#X—Jl+x2(X£/?)的反函数是

10.已知数列%=2（人是不等于1的常数），则4+4+%+-+“,=_____________0

kn

11.从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种。取

出的数不分先后）

12.己知〃x）在X。处可导，则阿广（0+3fX。叫二

13.已知x,y为整数，〃为非负整数，凶+3。，则整点（x,y）的个数为。

14.抛物线y=x2（x>0）±,点A坐标为（-；,（））抛物线在P点的切线与），轴及直线PA夹角

相等，求点P的坐标。

15.在｛%｝中，％=4,a“=｛a,-+6,①求证：旧一3|<和“_]-3值求:切区,。

16.已知v=2xy>

①若点（x,y）在单位圆上以（0,1）为起点按顺时针方向转一圈，求点（M,V）的轨迹;

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大学自主招生数学试题

②若点(x,y)在直线y=ax+b上运动，而点(w,v)在过点(1,1)的直线上运动，求a,b的值。

17.若x,y满足/一2巧?+y2-6x-Gy+12=0,求下列函数的最小值：①x+y；②xy；③

丁+/。

18.若方程犬3-27了+"2=0有3个不同实根，求实数机的取值范围。

19.己知函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+xy(x+y),又尸⑼=1,求函数的解析

式。

20.口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第

“次两个黄球都被摸出，即第〃+1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是

P.，求R，A，匕。

2001复旦基地班数学试题

1.设函数丁=上的反函数是它自身，则常数。=O

x+a

22

2.不等式［log2(-x)］>log2x的解集是o

3.直线2x—7y+8=0与2x-7y—6=0间的距离是。

4.如果(3+x)"的展开式的系数和是(l+y『的展开式的系数和的512倍，那么自然数〃与加

的关系为。

5.椭圆夕=---的焦距是______________o

4一2cos。

6.己知4x—3y—5=0,那么(x—l『+(y-3『的最小值为。

7.与正实轴夹角为arcsin(sin3)的直线的斜率记为k,则arctank=。(结果

用数值表示)

8.从〃个人中选出机名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不

限，则共有种选法(〃?<”)。

9.正方体ABC。-A4G2中，BQ与截面8BQQ所成的角为。

10.sec500+―-—=______________o(结果用数值表示)

cot10°

11.函数g(x)=cosix-cos(不工一|^)的最小正周期是()

A.2万B.7TC.2D.1

12.设函数/(x)=J7的反函数为/T(X),则对于［0,1］内的所有x值，一定成立的是()

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大学自主招生数学试题

A./（x）＞/-'（%）B./（x）＜/-'（x）c./（x）=/-'（x）D./（x）^r'（x）

13.。除以9所得的余数是（）

A.6B.-1C.8D.1

14.抛物线＞2=-4"-1）的准线方程为（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

15.由参数方程'所表不的曲线是（）

1

y=t一一

It

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

16.己知抛物线^=》2-58+2与？=仆2+云+＜:关于点（3,2）对称，则a+0+c的值为（）

A.1B.2C.3D.4

17.作坐标平移，使原坐标下的点（a,0）,在新坐标下为（0,b）,则y=在新坐标下的方程

为（）

A.y'=f^x'+a^+bB.y'=/（x'+a）-/?C.y'=f（＜x'^+a+bD.y'=/（x'+a+b）

18.设有四个命题:

①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；

②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；

③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。

④a,6是平面。外的两条直线，月.a//a,则a//b是0//a的必要而不充分条件，其中真命题的

个数是（）

A.3B.2C.1D.0

19.集合4,5各有四个元素，ACI8有一个元素，CCMU8,集合C含有三个元素，且其中

至少有一个A的元素，符合上述条件的集合。的个数是（）

A.55B.52C.34D.35

20.全面积为定值万/（其中4＞（））的圆锥中，体积的最大值为（）

23C^23-13r3

A・-7VCIB.----7TCIC.-7CCVD.----71CI

31266

21.已知：sina+sin/?=a,cosa4-cos/?=a+1,求sin（a+.）及cos（a+1）。

22.设复数z”Z2满足：|q|=|Z|+Z2|，薪=。（1+后），其中i是虚数单位，a是非零实数，求

4

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大学自主招生数学试题

23.已知椭圆七吆+丁=1与抛物线y2=；x在第一象限内有两个公共点A8,线段的

中点M在抛物线y2=；(x+i)上，求。。

24.设数列也｝满足4=1,瓦>0,(〃=2,3,…)其前〃项乘积T.=(优巧,)"(〃=1,2,…)，①证

明也｝是等比数列。②求也｝中所有不同两项的乘积之和。

25.己知棱柱A百G的底面是等腰三角形，AB=AC,上底面的项点％在下底面的射

影是ABC的外接圆圆心，设8c=.,ZA,AB=-,棱柱的侧面积为26a?。

3

①证明:侧面和4ACG都是菱形，々8CG是矩形。

②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。

③求棱柱的体积。

26.在直角坐标系中，。是原点，是第一象限内的点，并且A在直线y=(tan8)x上(其

中夕」生,勺)，|。4|=3一，5是双曲线尤2—>2=1上使0A8的面积最小的点，求：

U2)11及―cos。

当夕取(('5)中什么值时，0A8的面积最大，最大值是多少？

2001年交大联读班数学试卷

1.数N=2“X5®的位数是o

2.2g2[log,(log4x)]=log3[log4(log2y)]=log4[log,(log3z)]=0求

x+y+z=o

3.p=log83,q=log35,则用p,q表示lg5=。

..八八•2rt'p-COS2a

4.2slna=sin夕+cos夕，sinp=sin^cos^,求-------=________________。

cos2/7

5.xe0,^,求f(%)=cosx+xsinx的最小值为。

6.有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边

上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为o

100

7,数列1,3,2,…中，。〃+2=%+「%，求＞＞，=。

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大学自主招生数学试题

8.(l+2x-/『展开式中/系数为。

9.一人排版，有三角形的一个角，大小为60°,角的两边一边长x,一边长9cm,排版时把

长X的那边错排成X+1长，但发现角和对边长度没变，则》=。

10.掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列(d=l)的概率为0

11.(a+l)(b+l)=2,贝(Jarctana+arctan6=()

12.A.-B.-C.-D.-

2346

13.某人向正东走再左转150°朝新方向走了弘相，结果离出发点麻〃?，则》=()

A.乖＞B.273C.3D.不确定

14.1+2至1+2布1+2^=()

1—»1±

A.-1—232B.1—232C.1-232D.-1-232

2(

\7

15.f＞0»S={(x,y)+/＜产},则()

A.Vf,(0,0)史SB.S的面积e[0,〃)

C.对VfN5,S=第一象限D.Vr,S的圆心在y=x上

16.一个圆盘被2〃条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有()个

A.2n+2B.3〃一1C.3/1D.3/2+1

40

17.*%。5(45+90町=()

k=0

A.当B.yV2C.击(21—20i)D.-^(21+20z)

18.对x,yeR',定义x*y=—贝ij(*)满足()

x+y

A.交换律B.结合律C.都不D.都可

19.60三90三125(modN),则81三()(modN)

A.3B.4C.5D.6

20./(x)=x2+2x+2,在xe[f,f+l]上最小值为g(r),求g(r)。

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大学自主招生数学试题

(x+—+x6)—2

21.X€R*，求/(X)=^~旦-----------的最小值。

(x+4)+X3+X-3

22.f(x)=Wm•，九i(x)=/J/；(x)]，求之(x)

23.2y=x2-6xcos/-9sin2Z+8sinr+9(t£R,t为参数)

①求顶点轨迹，②求在y=12上截得最大弦长的抛物线及其长。

24.a,为递增数列，6=1,%=4,在y=4上对应为匕(%,〃7)，以。匕，。月川与曲线££+1

A0

围成面积为S,，若｛S,｝为的等比数列，求和!吧4。

2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题(本题共40分，每小题4分)

1.数N=20x58的位数是.

2.若Iog2|log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=log4|log2(log3z)]=0,贝ljx+y+z=.

3.若log23=p,log35=<7，则用p和q表小log)()5为.

4.设sina和sin尸分别是sin。与8s/l勺算术平均和几何平均，则cos2acos2£=.

7F

5.设xw[0,,],则函数八x)=cosx+xsinx的最小值为.

6.有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正

方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为.

7.若在数列1,3,2,…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前

100项之和是.

8.在(1+2X-X2)4的二项展开式中x的系数是.

9.某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60。角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取。

厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中。厘米在排版时比原稿上多1.虽然如此，答案却不必改动,

即题目与答案仍相符合，则排错的a=.

10.任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率

为.

二、选择题(本题共32分，每小题4分)

11.a>0,b>0,若(。+1)(6+1)=2,贝ijarctana+arctan/?=()

717C71

A.—B.—C.—D.—

2346

12.一个人向正东方向走x公里，他向左转150。后朝新方向走了3公里，结果他离出发点百公里，则x

是()

A.#>B.2-73C.3D.不能确定

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大学自主招生数学试题

__1__\_II

13.(1+2^)(1+2丁)(1+2瓦)(1+2々)(1+2方)=)

I」_±_±]」

A.-(1-232r'B.(1—232)TC.1-232D.-(1-232)

14.设用表示Wf的最大整数，其中仑。且^口加口-加+归心—用｝,则（）

A.对于任何f,点（0,0）不属于SB.5的面积介于。和；r之间

C.对于所有的仑5,S被包含在第一•象限D.对于任何r,S的圆心在直线y=x上

15.若一个圆盘被2〃（〃>0）条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的

最大个数是（）

A.2/1+2B.3/1-1C.3nD.3n+l

16.若/=-1,贝ijcos45°+icosl35°+…+i”cos（45+90n）°+…+/%0$3645°=（）

1021叵争21—20i)D.争21+20,)

AD.-------C.

-正2

17.若对于正实数x和y定义x*y=」9一，则

)

x+y

A.是可以交换的，但不可以结合B.是可以结合的，但不可以交换

C."*“既不可以交换，也不可以结合D."*”是可以交换和结合的

18.两个或两个以上的整数除以N（N为整数，N>1）,若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这

两个或两个以上的整数为同余.若69,90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N,81同余于

（）

A.3B.4C.5D.7

三、计算题（本题共78分）

19.（本题10分）已知函数/）=』+公+2,的最小值是g（f）.试写出g⑺的解析表达式.

（x+—）"-（》6+—g-）-2

20.（本题12分）设对于x>0,/（x）=——、-----工—,求/）的最小值.

（X+—）3+/+F

XX'

2x-l

21.（本题16分）已知函数力（x）=----,对于〃=1,2,3”..定义加。）=/皿（切.若方5（x）=/g）,则我8（x）

x+l

的解析表达式是什么？

22.（本题20分）已知抛物线族2y=f-6xcos/-9sin2f+8sin/+9,其中参数£R.

（1）求抛物线顶点的轨迹方程；

（2）求在直线y=12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长.

23.（本题20分）设｛4｝为递增数列，4=1,超=4,在曲线y=«上与之对应的点列为

大学自主招生数学试题

8(1,1)岛(4,2),6(刍,嘉)，……，且以。为原点，由。巴、。巴+|与曲线产,『“+1所围成部

42--

分的面积为S“，若{S“}(neN)是公比为一的等比数列，图形X“X”+园+园的面积为§0,3一呼)，

试求S1+S2+…+S“+…和limXn•

n—>00

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1.sinx+siny=0,贝Ucos%-sin^H.

2.平面为，々成。的二面角，平面为中的椭圆在平面妆中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为

3.(f+2t+2)()/-2y+2)=1,贝！］x+y=.

4.电话号码0,1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加—.

3

5.2002=86F3+8VZ2+8«1+«o,g〃0,〃1,。2,〃337正整数，贝U。0=.

6.。一」=尸的常数项为_

7.lim«(+1-〃)=.

M->00

8.空间两平面a/,是否一定存在一个平面均与平面a,力垂直？.

9.在ZU6C中，cos(24-O=cos(2C-8),则此三角形的形状是.

二、解答题(共87分)

1.求解：cos3xtan5x=sin7x.

2.数列3,3-lg2,…科伽-D畛.问当〃为几时，前〃项的和最大？

3.求证：xGR时，IA-1I<4|X3-1I.

4.。为何值H寸，方程殴+'"7)=kg,(/_1)有解?只有一解？

1g21g2

5.•艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正

北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影

响的时间段长度？

14

6.*3-2)，3=1的所有整数解(x,y),试证明：x1——23|<-

2002复旦基地班数学考题

1.已知：sinx+siny=0贝Ijcc^x-cos?y=。

2.x,yG/?,(/+2x+2)(;/_2y+2)=l,贝Ux+y=。

3.空间两平面名以2,与/，%均垂直？(请填“存在”或“不存在”)

4.从奇偶性看：函数y=In(x+Vx2+1j是=

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大学自主招生数学试题

5.平面外,七成a角，一椭圆EG%在％内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比

32

6.2002=8a3+8a2+8a,+a0（1<a,<7,a（.e）,a3=

7.ABC中，cos（2A—C）=cos（2B-C）,则ABC为

8.若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加

____________电话资源。

1Y5

9.y[x-中不含X的项为

10.解方程：cos3x-tan5x=sin7x

11.一艘船以匕=10*〃?/力向西行驶，在西南方向300切1处有一台风中心，周围100历〃为暴雨

区，且以岭=20班?/人向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。

12.已知：0.3010<1g2<0.3011,要使数列3,3-怆2,…—l)lg2的前n项和最大，求〃。

13参数.取何值时：窿+端/岭t

①有解?②仅有一解?

14.在[0,句内,方程acos2x+3asinx-2=0有且仅有二解，求。的范围。

15.证明方程：d-2y3=i的任一组整数解(x,y)(ywo)都有：2；<

2002年交大联读班数学试卷

1.6y3=1,0是虚数，则02"+〃+]=。

2.函数y=ax+b(a/eZ)的图象与三条寸应物线y=x?+3、y=x?+6x+7、y=x?+4x+5分

别有2,1,0个交点，贝l」(a/)=。

3.若3"=4"=6',则'+-!--!=______________o

a2bc

4.若2、一2一工=2,则8、=o

2

5.函数y=sec：x-tan”的值域为o

sec~x+tanx

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大学自主招生数学试题

7.正实数x,y,z满足f+y2+z2=l,则二+」+二的最小值是

XyZ

8.一个圆内接四边形ABCD,已知AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,贝lj

cosA=o

9.实数a,〃满足ajl-J+T1-J=1,则/+〃=0

10.+1-1)的展开式中f的系数为。

11.方程力2_》2=后_国,则方程有个实数解。

12.A8C三边长a,/?,c满足a4b4c,b=n,(a,b,ceN*),则不同的三角形有

___________个。

13.掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为□

14.若不等式04/+⑺+5«4只有唯一实数解，则。=o

15.有两个两位数，它们的差是56,两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为

16.在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E,它们各有15、7、11、3、14台机

器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数

最少，则A应给B台，B应给C台，A给

E台，总共运输台。

11/

17.①用数学归纳法证明以下结论：1+导5++—<2——\n>2,n&N

n~n'

②若有1-—<s'11”<1,利用①的结论求lim—f1-sin1+2-sin—+...+z?-sin—

6x"Tsn\2n

18.若x=〃x),称x为/(x)的不动点，/(x)=2x：j.

①若/(x)有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系；

②画出这两个不动点的草图。

19.有50c〃?的铁丝，要与一面墙成面积为144c•/长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与

宽。

20.数列{叫满足%“=24—1,乐=1且题_尸1，其中Nw{2,3,4,…}

①求证：!«!|<1；

②求证：q=cos

a+b

21.函数/(x)=|lgx|,有0<a<>且/(a)=/(b)=2/

2

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大学自主招生数学试题

①求满足的关系；

②证明：存在这样的6,使3Vb<4。

22.A,3两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不

到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第〃次由A掷的概率为A,,。

①求A,用与A”的关系；

②求limAno

上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1.设方程x3=l的一个虚数根为。，则。2"+。"+15是正整数）=.

2.设a力是整数，直线尸ax+力和3条抛物线：y=f+3,y=f+6x+7与）=?+4x+5的交点个数分别是2,1,

0,则（a,3=.

3.投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为.

4.若x,y,z>0且f+y2+z2=l,则±+4+二的最小值为.

x-yz

5.若2、-2-*=2,贝Ij8*=.

6.若a,b,c为正实数，且3"=44=6',则,+———=.

a2bc

7.（1一5）（1一/）…（1一J）的值为-----------.

2

c"皿sec-x-tgx在功“

8.函数y=——-----的值域为______________.

secx+tgx

9.若圆内接四边形ABC。的边长A3=4,BC=8,CD=9,DA=1,则cosA=.

10.若“力满足关系：a^i—b2+bjl-a?=1,则/+/=.

ii.（f+i—J-y的展开式中/的系数是.

2x

12.当14a<亚时，方程J/—/=也一1x1的相异实根个数共有个.

13.若不等式04x2+ax+5«4有唯一解，则a=.

14.设。也c表示三角形三边的长，均为整数，且aWbWc,若b="（正整数），则可组成这样的三角形

个.

15.有两个二位数，它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为.

16.某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15,7,11,3,14台，

现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，

从第一小学向第二小学移交了台，从第二小学向第三小学移交了台，从第五小学向第

一小学移交了台，移动总数是台.

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大学自主招生数学试题

二、计算与证明题（本题共86分）

17.本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式:

1111cl—―/sin%I

(1)1HyH—y+…H<2---;(2)已知当0<%«1时，1----<-----<1>

23nn6x

试用此式与（1）的不等式求lim-（sin1+2sin—+3sin-+•••+«sin-）

“T8n23n

18.靠题14分）若存在实数x,使/（x）=x,则称x为/（x）的不动点，已知函数/（X）=&*有两个关于

x+h

原点对称的不动点

（1）求。力须满足的充要条件；

（2）试用y/x）和），=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）

19.本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现

144m2

有铁丝网50m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的

长度.y

20.本题14分）设数列｛%｝满足关系氏+1=2*-1（〃=1,2/-），若N满足册=KN=2,3,…），

试证明：（1）\a｝I<1；（2）=cos—«为整数）

21.拿题16分）设/（x）=llgxl,a/为实数，且0<a<b,若满足/（a）=/（6）=2/（等）

试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在6满足3<b<4

22.（本题16分）A和8两人掷骰子，掷出一点时;原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接

着掷，第一次由A开始掷，设第〃次由4掷的概率是「..试求：（1）P“+i用P.表示的式子;（2）极限lim4

2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1.三次多项式式x）满足犬3）=纨1）,且有两个相等的实数根2,则第三个根为.

2.用长度为12的篱笆围成四边形，•边靠墙，则所围成面积S的最大值是.

22

3.已知x,yeR+,x+2y=l,则一+一的最小值是.

xy

4.有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32,中间两数和为24,则这四个

数是.

5.已知/（xAaP+bxS+xt+ir-],火2）=—8,贝U/｛-2）=.

6.投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是.

7.正四面体的各个面无限延伸，把空间分为个部分.

8.有〃个元素的集合分为两部分，空集除外，可有种分法.

9.有一个整数的首位是7,当7换至末位时,得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是

10.100!末尾连续有个零.

二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11.数列｛a”｝的。尸1,即=3，3a„+2=2an+i+a„,求a„和liman.

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