高中数学必修二解答题练习1（含答案解析）

高中数学必修二解答题练习1

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

1.设向量〃6=(1,-1),c=(4,-5).

⑴求归+2年

⑵若c=2a+M。，求2+〃的值；

⑶若花工+力，BC=a-2b<CD=4a-2b>求证：A，C,。三点共线.

2.如图所示，在正方体ABCD-A向体S中,E,F,G,2分别是BC,CCi,CiDi,

A/A的中点.求证：

(l)BF〃HDi；

(2)EG〃平面BBiDiD-

(3)平面8。尸〃平面BQiH.

3.已知复数z=±+l+i,j为虚数单位.

(1)求忖和U

(2)若复数z是关于x的方程/+〃a+〃=0的一个根，求实数相，〃的值.

4.2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强

宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总

书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活

动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟

采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一

期志愿活动.

(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两

人都是高二学生的概率是多少？

(3)食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩

饭的重量(单位：公斤)，以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期

内，这组志愿者记录的数据如下：

前10天剩菜剩饭的重量为：

24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩饭的重量为：

23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方

法进行说明即可).

5.如图，己知矩形C0EF和直角梯形A8C£>,AB//CD,ZADC=90°,DE=DA,M

为AE的中点.

(1)求证：AC〃平面。MF；

(2)求证：BEYDM.

,_2一一一

6.已知单位向量1之的夹角为§乃，向量1=31+£,向量B=&+/tWwR).

(1)若不〃5,求2的值；

(2)若］j_5,求W的值.

7.下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由

(1)了解某城市居民的食品消费结构；

(2)调查一个县各村的粮食播种面积；

(3)了解某地区小学生中患沙眼的人数；

(4)了解一批玉米种子的发芽率；

(5)调查一条河流的水质；

(6)某企业想了解其产品在市场的占有率.

8.设连续掷两次骰子得到的点数分别为〃?，n,令平面向量£=(肛〃)，^=(1,-3).

(1)求使得事件“3,尸发生的概率；

(2)求使得事件“同<q”发生的概率.

9.如图，在正四棱柱(侧棱垂直于底面，底面为正方形)A88-44G。中，E是。。

的中点.

(1)求证：8。||平面ACE.

(2)求证：平面ACE_L平面片8nA.

10.如图，正方体ABC。-AMGA的棱长为2,E为AB的中点.

(2)求三棱锥B-AEC的体积；

11.在AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,&b2+c2-a2+bc=O.

(1)求角A的大小；

(2)若”=6，求AABC周长的取值范围.

12.在锐角AABC中，a,b,。分别是角A,B,C所对的边，且J%=2csinB.

(1)求角C的大小；

(2)若c=#，且a+6=3,求18C的面积.

一1

13.已知ZcR,向量〃=(1,1+Z),b=(k,2).

(1)若向量与B平行，求左的值;

(2)若向量与B的夹角为钝角，求左的取值范围

A+C

14.AABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知asin=/?sinA.

2

(1)求8;

(2)若AABC为锐角三角形，且c=l,求AMC面积的取值范围.

15.如图，在正方体4BCD-ABCR中，E为8片的中点.

(I)求证：BQ〃平面4RE；

(II)求直线AA与平面4RE所成角的正弦值.

16.在AABC中，a,0,c分别为角A3,C所对的边在①(2a-c)cosB=bcosC；②

网康庭=2S"，③sin8+sin,+?卜石这三个条件中任选一个，作出解答.

(1)求角8的值；

(2)若AABC为锐角三角形，且。=1,求A/WC的面积的取值范围.

17.当实数，“分别为何值时，

(1)复数z=，/+机一2+(//+5机+6)i是：实数？虚数？

(2)复数z=log,(nr-3m-3)+ilog2(3-in)纯虚数？

18.统计某班级20名学生数学期末考试成绩(单位：分)的频率频率分布直方图如图

所示：

（1）分别求出成绩落在［50,60）与［60,70）中的学生人数；

（2）从成绩在［60,70）和［80,90）的学生中按照分层抽样的方法抽取6人参加全校数学

文化知识竞赛，如果有2人获奖，求这2人的成绩都在［80,90）中的概率.

19.已知AABC中NC是直角，C4=CB,点。是C8的中点，E为AB上一点.

（1）设西=万，CD=b，当荏=g而，请用5来表示通，CE-,

（2）当荏=2万时，试求亚・屈.

20.某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司

（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总

利润高于9500元的频率.

(2)试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实

体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/

件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬

衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年

的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%,以线上专营店这20天的

试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润

作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？

参考答案:

1.(1)1

(2)2

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先求£+2坂=(1,0),进而求付+2年(2)列出方程组，求出进而求出

UUIU11

4+〃；(3)求出AC=2a-8,从而得到前=4r2石=2元，得到结果.

(1)

a+2S=(-l,2)+(2,-2)=(l,0),|a+2fe|=V1+0=1；

(2)

(4,—5)="T,2)+〃(1,T),所以二5,解得：所以'+〃=2；

(3)

CllUUUlllHIMI1111I1llt_____--______

因为AC=A8+BC=a+6+a-2b=2a-/?，所以CO=4a-2"=2AC，所以A,C,D三点、

共线.

2.(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)取BBi的中点M,连接HM、MCi,四边则HMGDi是平行四边形，即可证明

BF/7HD,；(2)取BQi的中点O,易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB〃GE,从

而证明EG〃平面BBiDQ.(3)由正方体得BD〃BQi,由四边形HBFDi是平行四边形，

可得HD1/7BF,可证平面BDF〃平面BIDIH.

【详解】

(1)取BBi的中点M,连接HM、MCi,四边则HMGDi是平行四边形，，HDi〃MCi.

又；MG〃BF,；.BF〃HDi.

(2)取BD的中点O,连接EO、DiO,则OE〃力C，OE=-D,C.又D|G〃DC,D,G=

答案第1页，共20页

1DC,

；.OE〃DiG,OE=DiG,二四边形OEGDi是平行四边形，；.GE〃DQ.

又DQu平面BB1D1D,；.EG〃平面BB1D1D.

(3)由(1)知D|H〃BF,又BD〃B|Di,BQi、HD】u平面HBQi,BF、BDu平面

BDF,且B|DQHDI=DI,DBFBF=B,B平面BDF〃平面BQiH.

【点睛】

本题考查了面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，属于基础

题.

3.(1)|z|=A/5,z=2+i;(2),"=T,n=5.

【解析】

【分析】

(1)利用复数的运算法则求出z=2-i,由此能求出|z|和〉

(2)由复数z是关于x的方程/+〃氏+〃=0的一个根，得到(2-i>+机(2-i)+〃=0,整理得

(3+2w+”)-(/n+4)i=0,由此能求出实数"？，

【详解】

解，(I):分数z=---+1+/=—————+1+/

*灵以1+2/(1+2/)(1-2()

=l-2i+l+i=2-i,

Bz|=百+(-1)2=加,Z=2+Z.

(2)•.•复数z是关于x的方程f+尔+〃=0的一个根,

(2-z)2+m(2-z)+/?=0,

:.4-4i+i2+2m-mi+n=0,/.(3+2w?+/?)-(/«+4)/=0,

j3+2m+拉=。

+4=0

解得机=-4,〃=5.

答案第2页，共20页

【点睛】

本题考查复数的模、共筑复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运

算求解能力，属于基础题.

2

4.(1)6,4,2；(2)y；(3)答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概

率；

(3)可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.

【详解】

解：(1)报名的学生共有126人，抽取的比例为:9=看，

12621

222

所以高一抽取63x王^=6人，高二抽取42x天=4人，高三抽取21x万=2人.

(2)记高二四个学生为1,2,3,4,高三两个学生为5,6,抽出两人表示为(x,y),

则抽出两人的基本事件为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15个基本事件，

其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6

个基本事件.

记抽出两人都是高二学生为事件A,则P(A)*=|，

所以高二学生都在同一组的概率是

(3)法一：(数字特征)前10天的平均值为23.5,后】0天的平均值为20.5,

因为20.5<23.5,

所以宣传节约粮食活动的效果很好.

法二：(茎叶图)画出茎叶图

答案第3页，共20页

前10天后10天

225

51224

8654232

522135

202468

1934

183

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近,

所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.

5.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

(2)根据矩形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.

【详解】

(1)如图，连结EC交。尸于点N,连结MN.

因为C0EF为矩形，所以EC,QF相互平分，所以N为EC的中点.

又因为M为EA的中点，所以MN〃AC.

又因为AC4平面DMF,且MNu平面DMF.

所以AC〃平面DMF.

(2)因为矩形C0EF,所以

又因为N4OC=90。，所以CO_LAD

因为。EnAO=。，DE,AOu平面AOE,所以COJ_平面AOE.

又因为OWu平面ADE,所以C3LOM.

又因为AB〃CD,所以AB_LOM.

因为AO=£»E,M为AE的中点，所以AE_LOM.

又因为AB,AEu平面A8E,所以MOJ_平面ABE.

答案第4页，共20页

因为BEu平面ABE,所以

6.(1)—；(2)5/2T.

【解析】

【分析】

(1)根据向量平行的条件求解；

(2)由向量垂直得数量积为0求得4,再把向量平方，把模的运算转化为数量积的运算求

解.

【详解】

(1)若4//5，则存在实数火，使得石=肪,BPe,+Ae2=k(3et+e2)=3ket+ke2,

\=3k

因为,，互不共线,所以解得兀=Z=g；

A=k

——,2一—-24]

(2)单位向量4,02的夹角为^乃，则4=＜：(«〒=一不，

由彳》得a,b=(3q+e2),(q+2e,)=3eJ+(32+1鸠•+入%—3——(3A+1)+A=0,

解得J=5,

W=(不+5最)2=4+101£+254=1-5+25=21,所以1=01.

7.见解析

【解析】

根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.

【详解】

(1)适合抽样调查，因为调查对象较多；

(2)适合全面调查，因为调查对象较少；

(3)适合抽样调查，因为调查对象较多；

(4)适合抽样调查，因为调查具有破坏性；

(5)适合抽样调查，因为调查对象较多；

(6)适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.

答案第5页，共20页

【解析】

【分析】

(1)由题意，得到机、”的取值集合，可得点(相，〃)的总取法有36种，当£_L万时，解得

，〃与〃的关系，即可得满足条件的(小，")的个数，代入概率公式，即可得答案.

(2)当归卜恸时，解得，〃与"的关系，即可得满足条件的(加，”)的个数，代入概率公式，

即可得答案.

【详解】

(1)由题意知，，we{123,4,5,6}、"w{1,2,3,4,5,6},故(加,〃)所有可能的取法共36种.

当时，得"3"=0,即加=3”，满足条件共有2种：(3,1),(6,2),

21

所以事件小B的概率。=有二六.

3o1o

(2)当BkW时，可得加2+/00,共有(1,1),(112),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6

种情况，

其概率尸=摄=：.

366

【点睛】

本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.

9.(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)设AC和BD交于点O,由三角形的中位线的性质可得EO〃BDi,从而证明直线

BDi〃平面ACE.

(2)证明AC_LBD,DDilAC,可证AC上面BDD1B1,进而证得平面ACE,平面

BDD|B1.

【详解】

(I)证明：设ACc&)=。，则。是8。中点，

又是。"的中点，.•.OE||8R,

又；8。(X平面ACE,OEU平面ACE,

答案第6页，共20页

ISBRII平面ACE.

(2)证明：：ABCD-ARGR是正四棱柱，

EIA8CI)是正方形，AACVBD,

又•；BB11底面ABCD,ACu平面ABCD,

0AC1BB,,BMC,平面8/DA，

ElACu平面ACE,

•••平面4支，平面48。口.

【点睛】

本题主要考查了线面平行和面面垂直的证明，熟练掌握证明定理是解决本题的关键，属于

基础题.

10.(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)由正方体的性质可得AC_LB£>,AC1DD,,由线面垂直的判定定理即可求证；

(2)利用三棱锥体积相等/.gc二^At-EBC即可求解.

【详解】

(1)在正方体ABC。—中，DDX±jjjABCD,

因为ACu面A8CD,所以AC，DR,

因为四边形ABC。是正方形，所以4CLBD,

因为800。。=。，BOu面B。。，DRu面BDR,

所以AC_L平面BD。；

(2)正方体ABCO-A/CQ的棱长为2,E为A8的中点，

所以8c=2,EB=1,平面EBC,

111?

所以匕—-

，/IJ、£>/AI]£CCC=K<TjtEoBCC=_3S4上E6U1-C-M1=3-x2-x2xlx2=3-.

答案第7页，共20页

11.(1)120°；(2)2V3<L<2+x/3.

【解析】

（1）利用余弦定理计算可得;

（2）利用基本不等式计算可得;

【详解】

An・♦Ac~-a~—be1

解：(1)・cosA=---------------=------=——

2bc2bc2

又,.・Ae(O°,18O°),

/.4=120。.

由〃=百，^b2+c2=3-hc,

又・・・〃+/之处c（当且仅当时取等号）

(2)L=a+b+c=6+b+c

a2=b2+c2-2bccosA

a2=(/?+c)2-be

即3+8C=S+C)2

,**/?+(?>2\[bc

…,(He)?

••be<---------

4

.•.(”43+3

4

A(Z?+C)2<4

BPb+c<2

•*•/?+c>>/3

/.2y/3<L<2+y/3

【点睛】

本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题.

12.(1)60°；(2)且.

4

【解析】

答案第8页，共20页

【分析】

(1)根据正弦定理得到石sinB=2sinCsinB,进而可求得sinC,即可解出C；

(2)由余弦定理可得必=1,结合三角形面积公式代入计算即可

【详解】

(1)因为6b=2csinB,

所以由正弦定理得石sinB=2sinCsinB,

因为sinBH0,则sinC=迫^

2

又因为C是锐角，故C=60。；

(2)由余弦定理，得＜?=/-2Hcos60°，

所以6=(a+6)2-3ab=9-3ab

又因为4+6=3,

所以必=1

则=g"sinC=^.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题.

13.(1)—2或1；(2)2)5-2,0)56,+oo).

【解析】

(1)利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；

(2)利用(2£-9石＜0,且不共线，列式计算即得结果.

【详解】

解：(1)依题意,£=(1,1+%),%=他2),2a-b=(2-k,2k)

y.2a-bllb，得2(2-%)=2〃，g|Jk2+k-2=0

解得&=-2或1；

(2)2Z-囚与B的夹角为钝角，则(2公沟与＜0,gp(2-k)k+4k＜0,

BPk2-6k＞0,解得女＜0或&＞6.

由(1)知，当女=一2时，2—-弓与B平行，舍去，

所以(9,-2)5-2,0)56,e).

答案第9页，共20页

【点睛】

思路点睛：两向量夹角为锐角(或钝角)的等价条件:

(1)两向量夹角为锐角，等价于7弓>0,且不共线;

(2)两向量£石夹角为钝角，等价于£句<0,且Z,3不共线.

14.(1)吟;⑵吟,多

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角

解得8=(.(2)根据三角形面积公式S4flC=gac-sinB,又根据正弦定理和c=l得到5ABC关

于C的函数，由于AA5C是锐角三角形，所以利用三个内角都小于g来计算C的定义域，

2

最后求解S..C(C)的值域.

【详解】

A4「AA-C

(1)根据题意必泊一^一=以皿4,由正弦定理得sinAsinf-=sin8sinA,因为

A+C

0<A<TT,故sinA>0,^肖去sinA得sin---=sinB.

4AA-CAA-C

OVBVTT,0〈号士〈乃因为故考上=8或者"上+8=万，而根据题意A+5+C=»,

故A甘-L-C^+8=》不成立，所以4A14-上C=8,又因为A+B+C=%，代入得38=%，所以

JT2

(2)因为AABC是锐角三角形，由(1)知8=耳，A+B+C=》得到4+C=§;r,

0<C<-

02,解得

故，

。〈生-362

32

a_c

又应用正弦定理c=l

sinAsinCf

由三角形面积公式有:

也.Si3叵喧f

a.\

S&ABC=-^sin^=-c2—sinBn=­c2

22c2sinC4sinC

答案第10页，共20页

6sin与cosC-cos看sinC丛？兀'2万、316

=-----------=----------------------------=------(sin--------------cos——)=---------+——

4sinC43tanC38tanC8

又因生＜C＜2,tanC＞3,故立＜3—!—+走＜正，

62388tanC82

*s.

\ABC4-

故S/BC的取值范围是

【点睛】

这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦

定理求解)，最后考查AABC是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面，是一道很好的

考题.

2

15.(I)证明见解析；(II)

【解析】

【分析】

(I)证明出四边形ABG。为平行四边形，可得出BC'/AR,然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；也可利用空间向量计算证明;

(11)可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建

立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】

(I)［方法一］:几何法

AB”且

.•.A8//CQ且AB=CQ,所以，四边形ABCQ为平行四边形，则BC//AR,

答案第11页，共20页

BC|a平面ARE,4。<=平面4。£：,，8^/平面4£）1£：；

［方法二］:空间向量坐标法

以点A为坐标原点，A。、AB.AA所在直线分别为X、丁、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系A-个z,

设正方体A88-A4CQ的棱长为2,则A（0,0,0）、4（0,0,2）、"（2,0,2）、£（0,2,1）,

碣=（2,0,2）,荏=（0,2,1）,

_,、n-AD.=0［2x+2z=0

设平面ARE的法向量为〃=x,y,z,由,得.,

n-AE=0［2y+z=0n

令z=—2,贝!|x=2,y=l,则行=（2,1,—2）.

又♦.•向量星=（2,0,2）,明沂=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又；BQ<z平面AD,E,BC,//平面ARE；

（II）［方法一］:几何法

延长CG到F,使得弓尸=86，连接叮，交于G,

又•.•C7//BE,.•.四边形BE尸G为平行四边形，.•.BCJ/EF,

又•；BC\HAD、,：.4。//E/，所以平面ARE即平面4。产后，

答案第12页，共20页

连接RG,作G，LRG,垂足为H,连接.，

■:FC、，平面平面FCJRG,

又•:尸£cCH=G,.•.直线。GJ.平面GF”，

又：直线RGu平面D,GF,：.平面D、GF1平面C,FH,

•••G在平面BGF中的射影在直线FH上,二直线FH为直线FC,在平面DfiF中的射影，Z

C.FH为直线FC,与平面D、GF所成的角,

根据直线FC,//直线M，可知/GM为直线AA与平面ADfi所成的角.

2x1_2

设正方体的棱长为2,则GG=GF=I,£>]G=6；.、

CH=(一⑹

CH_2

二sinNQFH=t

~FH~3

9

即直线A4与平面A*所成角的正弦值为;.

［方法二］:向量法

接续(I)的向量方法，求得平面平面ARE的法向量3=(2/,-2),

答案第13页，共20页

-,/\—A4,〃•42

又=(0,0,2),cos<n,M>=布“初=一弓，

•••直线AA与平面A0E所成角的正弦值为g.

［方法三］:几何法+体积法

如图，设BC的中点为F,延长Ag,AE,RF,易证三线交于一点P.

因为86〃AA1,EF〃AR,

所以直线AA与平面A£»E所成的角，即直线与£与平面户所所成的角.

设正方体的棱长为2,在APE尸中，易得PE=PF=也,EF=6,

3

可得S"=］.

1311

由w阙黜斯=匕棱触一解尸，得^乂了g“,

整理得4”=；.

RH7

所以5布/8世"=鞋=§.

所以直线AA与平面ARE所成角的正弦值为

［方法四卜纯体积法

设正方体的棱长为2,点A到平面AER的距离为h,

在△AER中，A£=石，物=2应,。£=3,

£>1炉+盘-困9+5-8_&

cosZAED]=

2DtEAE~2x3x石-5

答案第14页，共20页

所以sin/AED、=~~9易得,“皿=3.

114

由匕…小匕「谢，得§山的小月=qS“町，h,解得力号

.ch2

设直线4A与平面AER所成的角为。，所以smO=n=w.

/L/L3

【整体点评】

(1)的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；

(II)第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养

学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用

计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为

简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和

几何的论证，不失为一种优美的方法.

16.条件选择见解析；(1)(；(2)]£,曰].

【解析】

(1)选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得

2sinAcos8=sinA,根据三角形内角性质得出sinA>0且cosB=],即可求出角B的值；

选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出sinB=6cosB,

即可求出角B的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出

sin(8+V]=l,从而可求出角B的值；

22

(2)根据题意，利用正弦定理边角互化得出"M^sinA,c=-^sinC,再根据三角形面积

公式化简得出S=3sin(2A-31+@,由AABC为锐角三角形，求出角A的范围，从而

616J12

得出AABC的面积的取值范围.

【详解】

解：(1)选①(2a-c)cos8=6cosC,

由正弦定理得：2sinAcosB-sinCeosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinA,

Vi4G(0,^r),sinA>0,/.cosB=—,

答案第15页，共20页

・.・Bw（O9）,・•・B=1；

选②6忌•A=2SZS.C，

/.\f3accosB=2—acsinB,

2

:.sinB=A/3COSB，

VBG（0,^）,sinB>0,贝！Jcos4>0,

••,B*

选③sin3+sin18+5=6,

得sinB+—sinB+cos8二6，

22

A—sin^+icosB=l,

22

sin13+7

=1,

jrn7%

*.*B£（0,4）,BH---€

666

47C7t

：.B+-=-:.B=一

62f3

(2)已知△ABC为锐角三角形，且6=1,

abc2

由正弦定理得:

sinAsinBsinCG，

；a=]sinA,c=娶SinC,

S=-acsinB=—J=sinAsinf--24j=—^-sinf2A-—j+—，

2V3I3J6I6；12

・・,"18。为锐角三角形,

八A冗

0<A<一

27t.7T

=>—<A<—,

八「2乃.162

0<C=------A<—

32

【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数

答案第16页，共20页

量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间

内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.

17.(1)当加=—3或加=-2时复数z为实数，当机工-3且〃件-2时复数z为虚数

(2)当,〃=-］时复数z为纯虚数

【解析】

【分析】

(1)根据实数的特点列方程求m使得复数z为实数，再根据虚数的特点列方程求,n使得复数

z为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m使得复数z为纯虚数.

(1)

若复数2=>+旭一2+(苏+5加+61为实数,则病+5m+6=0

/.帆=-3或机=一2,

若复数z=>+m-2+(>+5m+6)i为虚数，贝IJ浮+5，”+6*0

W-3且加工—2,

(2)

若复数z=log2(小一3m-3)+ilog2(3-ni)纯虚数，贝ij

log2—3nz-3)=0log2(3-m)*0,

2

由log2(/w一36一3)=0可得加=—1或加=4,

又〃z=4时log2。-㈤不存在，加=-1时log2。-，%)=2,

所以/n=-L

18.(I)成绩落在［50,60)中学生人数为2,成绩落在［60,70)中学生人数为3；(2)j.

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1求出实数。的值，并计算出成绩落在

［50,60)与［60,70)中的学生所占的频率，乘以20可得结果；

(2)列出所有的基本事件，并确定事件”所抽的2人的成绩都在［80,90)中”所包含的基本

事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

答案第17页，共20页

（1）据直方图知组距为10,由（2ax2+3a+7a+6a）xio=l,解得。=砺=0.005,

成绩落在［50,60）中学生人数为2x0.005x10x20=2,

成绩落在［60,70）中学生人数为3x0.005x10x20=3；

（2）从成绩在［60,70）和［80,90）的学生中按照分层抽样的方法抽取6人，成绩落在［60,70）

有2人，成绩落在［80,90）有4人，

记成绩落在［60,70）中的2人为4、4,成绩落在［80,90）中的4人为瓦、生、、当，

则从6人选2人的基本事件共有15个：

（4，4）、。闻、（A，6）、（A闯、（A，鸟）、（4，2、（&赵）、（人声）、（&㈤）、

（4e）、（4,四）、（4区）、（鸟鸣）、（与血）、（区区）.

其中2人的成