新课标创新人教A版数学必修 函数模型及其应用

函数模型及其应用

第1课时几类不同增长的函数模型

预

核心必知----自读教材找关键习

导

问题思考——辨析问题解疑惑

引

课前反思----锁定目标稳启程区

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P95〜P101，回答下列问题.

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

(1)设第尤天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？

提示：方案一对应的函数为y=40QeN*);方案二对应的函数为y=10x(xGN*);方案

三对应的函数为y=0.4X2LiQGN*).

(2)上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？

提示：函数y=40(xGN*)是常数函数，是不增不减函数；函数y=10x(xGN*)是一次函

数，是增函数；函数y=0.4X2*-i(尤CN*)是指数型函数，是增函数.

2.归纳总结，核心必记

(1)指数函数、对数函数、幕函数的性质

函数尸炉y=\ogaXy=^

性质(41)3>1)(心0)

在(0,+8)上的增减

单调递增单调递增单调递增

性

随X增大逐渐与y轴随X增大逐渐与X轴

图象的变化随n值的不同而不同

平行平行

(2)指数函数、对数函数、塞函数的增长速度比较

①在区间(0,+°°)±,函数y="(a>l),y=logd(a>l)和丫=。(〃>0)都是增函数,但

它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上.

②在区间(0,+8)上随着尤的增大，y=〃(a>l)增长速度越来越快，会超过并远远大于

y=/(〃>0)的增长速度，而y=logd(a>l)的增长速度则会越来越慢.

③存在一个无o，使得当x>xo时，有存gaxCWaPaAl,〃>0).

［冏敢思考］

函数y=f与y=2*在(0,+8)上具有相同的增长速度吗？

提示：增长速度不同.如图所示，在(0,2)之间y=f的增长速度较快，在(2,4)之间函数

值均从4增大至,16,而无=4之后，丫=2工的增长速度远远快于y=/的增长速度.

通过以上预习，必须掌握的几个知识点.

(1)指数函数、对数函数、累函数的性质各是什么？

(2)指数函数、对数函数、募函数的增长速度如何?

课

堂

互知识突破一能力提升

动II

重点知识拔高知识

区步步探究稳根基深化提能夺高分

知识点1函数模型增长的差异-K重点知识•讲透练会】I

已知函数式无)=23g(X)=f,，7(X)=log2尤.

［思考1］函数7U),g(尤)，〃(无)随着X的增大，函数值有什么共同的变化趋势？

提示：函数/U),£(x),/z(x)随着X的增大，函数值增大.

［思考2］函数式X),g(x),/7(x)增长的速度有什么不同？

提示：各函数增长的速度不同，其中/u)=2*'增长得最快，其次是［x)=x2,最慢的是

/7(X)=10&2X.

讲一讲

1.(1)当X越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()

A.y=10000xB.j=log2%

C.y=x1000D.

(2)四个变量"，"，券，以随变量尤变化的数据如下表：

X151015202530

226101226401626901

>22321024327681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

>424.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于X呈指数函数变化的变量是.

［尝试解答］(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当了越来越大时，函数y=0

,增长速度最快.

(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.

从表格中可以看出，四个变量yi,>2,y3,3均是从2开始变化，变量yi,y2,ys,J4

都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量”的增长速度最快，可知变量卜2关于x呈指

数函数变化.

［答案］(1)D(2加

类题•通法

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y=fcr+i»(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=</(a>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越

快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=log“x(a>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越

慢，即增长速度平缓.

(4)赛函数模型

森函数y=x"（〃>0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间.

练一练

1.如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生

南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（）

A.指数函数：y=2，

B.对数函数：y=log2r

C.幕函数：y=t}

D.二次函数：>=2产

解析：选A由题中图象可知，该函数模型为指数函数.

知识点2函数模型增长差异的应用•------K拔高知识•拓宽提能】I

讲一讲

2.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产

过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污

水进行处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且

每月排污设备损耗费为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污

费，问：

（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应

选择哪种方案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

先依据方案一、二分别建立函数模型，然后就(1)(2)作出相应选择.

［尝试解答］设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为%,选择方案二的利润

为yi,由题意知

yi=(50-25)%-2X0.5x-30000=24.r-30000.

J2=(50-25)X-14X0.5X=18X

⑴当x=3000时,%=42000,”=54000,

,.>i<y2,应选择方案二处理污水.

⑵当x=6000时，ji=114000,>2=108000,

Vyi>y2,应选择方案一处理污水.

类题•通法

不同函数模型的选取标准

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

(4)幕函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决

实际问题.

练一练

2.一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即

只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年

也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交

国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？

解：若年利率为广，则扣除利息税后，实际利率为0.8八

按单利计息，贝”第"年的本息为10000(l+〃X0.8X0.04)=10000(l+0.032")(元)；

按复利计息，则第〃年的本息为10000(1+3.6%X0.8)"=10000X1.0288”(元)，

列表如下(单位：元)

年数12345

单利1032010640109601128011600

复利1028810584108891120311525

年数678910

单利1192012240125601288013200

复利1185712199125501291213283

从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则

应选用复利计息.

-------------------------［课堂归纳•感悟提升］-------------------------

1.本节课的重点是掌握指数函数、对数函数、嘉函数模型的增长差异及增长差异的应

用.

2.本节课要重点掌握的规律方法

(1)常见函数模型的增长的差异，见讲1.

(2)不同函数模型的选取标准，见讲2.

3.本节课的易错点是函数模型的选取，如讲2.

训

随堂练一课下练练

II提

课堂8分钟对点练，让课下限时检测，提速能

学生趁热打铁消化所提能，每课一检测，步区

学，既练速度又练准度步为营步步赢

课时达标训练（二十五）

［即时达标对点练］

题组1函数模型增长的差异

1.当X越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）

A.y=100xB.y=k>giooxC.y=x100D.y=100'

解析：选D几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D.

2.当2Vx<4时，2,，logM的大小关系是（）

A.2x>x2>logixB.x2>2r>log2x

¥22r

C.2>log2x>xD.x>log2x>2

解析：选B法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2X,y=x2,y—2x,

在区间（2,4）上从上往下依次是y=f,y—2x,y=log2X的图象，所以x2>2*>log2X.

法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x=3,经

检验易知选B.

3.有一组实验数据如下表所示：

t12345

s1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是（）

A.y—logaX（a>l）B.y—ax+b（a>l）

C.y=ax2+b(a>0)D.+/?(«>!)

解析：选C通过所给数据可知S随r增大，其增长速度越来越快，而A,D中的函数

增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

4.函数与函数y=xlnx在区间（1,十8）上增长较快的一个是.

解析：当x变大时，无比Inx增长要快，二％2要比xlnx增长得要快.

答案：尸/

题组2函数模型增长差异的应用

5.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后

来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可

选用（）

A.一次函数B.二次函数

C.指数型函数D.对数型函数

解析：选D一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增

也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合

题意，先快速增长，后来越来越慢.

6.某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+l）,设这种动物第一年有

100只，到第7年它们发展到（）

A.300只B.400只C.500只D.600只

解析：选A由已知第一年有100只，得4=100.将a=100,尤=7代入y=alog2a+l）,

得y=300.

7.某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y=e*耿为常数,

/为时间，单位：小时），y表示病菌个数，则仁；经过5小时，1个病菌能繁殖为

个.

解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2=4，解得左=21n2,j（5）—e（21n2）'5

=pom2=2i0=l024（个）.

答案：21n21024

8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间K年）的函数关系如图所示.

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；

②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变.

其中说法正确的序号是.

解析：由fG［0,3］的图象联想到取函数反映了C随时间的变化而逐渐增

长但速度越来越慢.由［3,8］的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②

③正确.

答案：②③

9.函数兀v)=lgx,g(x)=0.3x—1的图象如图.

⑴指出曲线Cl，C2分别对应哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对兀*g(无)的大小进行比较).

解：(l)Ci对应的函数为g(x)=0.3x—l,

C2对应的函数为八尤)=lgx.

(2)当xG(O,尤1)时，g(x)次x);

当XG(X1,尤2)时，g(x)<f(x)；

当无C(X2,+8)时，g(x)次X).

［能力提升综合练］

1.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程力(无)=(i=l,2,3,4)关于时间x(尤>1)的函

数关系是力（无）=/力（尤）=2x,力（无）=log加，/t（x）=2*.如果它们一直运动下去，最终在最前面

的物体具有的函数关系是（）

A./i（x）=x2B.fi.（x）—2x

C.%（x）=log2XD.力（x）=2*

解析：选D由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.

2.某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%,那么从今年起，

尤年后绿地面积是今年的y倍，则函数y=/（x）的大致图象是（）

解析：选D设今年绿地面积为7%则有冽y=（l+10%）%，：.y=1.1x,故选D.

3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万

公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数尤（年）的函数关系较为近

似的是（）

A.y=0.2xB.尸古（/+2劝

2X

C.>=而D.y=0.2+logi6X

解析：选C将x=l,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.

4.三个变量力，”，/随着变量x的变化情况如下表：

X1357911

)15135625171536456655

)2529245218919685177149

>356.106.616.9857.27.4

则关于x分别呈对数函数、指数函数、幕函数变化的变量依次为（）

A.yi，y2,>3B.竺，yi>第

C.”,>2，yiD.yi,”,y2

解析：选C通过指数函数、对数函数、暴函数等不同函数模型的增长规律比较可知，

对数函数的增长速度越来越慢，变量”随X的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来

越快，p2随工的变化符合此规律；森函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，?随X

的变化符合此规律，故选C.

5.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。m/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料

外)质量加kg的关系是。=20001n(l+蜘，则当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭

的最大速度可达12km/s.

解析：由题意20001n(l+9=12000.

AInfl+^)=6,从而”=e6—l.

<mJ9m

答案：e6-l

6.若已知16<x<20,利用图象可判断出g和logK的大小关系为.

解析：作出“x)=g和g(%)=log亦的图象，如图所示：

41

4:

2

dv''s'"10''15'''20i

由图象可知，在(0,4)内，X^>10g2X；

%=4或%=16时，x|=log2X；

在(4,16)内A^<log2X；在(16,20)内x^>log2x

答案:A^>log2X

7.大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鞋鱼的游速为V(m/s),能鱼的耗

氧量的单位数为。，研究中发现V与10g3告成正比，且当。=900时，V=l.

(1)求出V关于。的函数解析式;

(2)计算一条鞋鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.

解：⑴设V=「0g3备，

:当。=900时，V=1,：.1=左log3罂，

.•«=；,V关于。的函数解析式为V=，Og3'^.

(2)令V=1.5,则L5=；log3备，，。=2700,

即一条鞋鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.

8.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所

使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间尤(分)与通话费用y(元)

的关系如图所示.

(1)分别求出通话费用力，丫2与通话时间x之间的函数解析式;

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解：(1)由图象可设yi=hx+29,y?=kix,把点2(30,35),C(30,15)分别代入以,”的解

析式，得ki=g,%2=；.

...yi=^t+29(x20),〉2=%(尤三0).

(2)令yi=>2,即%+29=5，贝4x=96；.

当x=96向时，yi=y2,两种卡收费一致；

2

当尤<96§时，y\>yi,使用便民卡便宜；

2

当x>96y时，y\<y2,使用如意卡便宜.

第2课时函数模型的应用实例

预

核心必知----自读教材找关键习

导

问题思考——辨析问题解疑惑

引

I

课前反思----锁定目标稳启程区

［核芯势知］

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P101〜P106，回答下列问题.

(1)我们已学过的函数有哪些？

提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及数函数.

(2)建立函数模型解决问题的基本过程是什么？

提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；③根据点

的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型;

⑤将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重

复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解释实际问题.

2.归纳总结，核心必记

(1)解决函数应用问题的基本步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:

①审题；②建模；③求模；④还原.

这些步骤用框图表示如图:

I实际问题।分析联想抽象转化建立函数模型।

数

问

学

题

解

解

答

决

I实际向题结论卜~—----1数学问题结论I

（2）常见的函数模型

①正比例函数模型：八彳）=皿（左为常数，4W0）；

k

②反比例函数模型：式x）=?k为常数，k*。）；

③一次函数模型：f（x^kx+b（k,b为常数，左W0）；

④二次函数模型：j{x}—a^+bx+da,b,c为常数，aWO）；

⑤指数函数模型：f{x}=abK+c（a,b,c为常数，oWO,b>Q,bWl）；

⑥对数函数模型：j{x）—mlogax+??（m,n,a为常数，/“WO,a>0,aWl）；

⑦累函数模型：Kr）=aV'+b（a,b,〃为常数，a^O,n^l）.

［问曼恩考］

（1）哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？

提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题.

⑵哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？

提示：地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等.

［锦嗡a思］

通过以上预习，必须掌握的几个知识点.

（1）解决函数应用问题的基本步骤是什么？

(2)常见的函数模型有哪些?

课

堂

互知识突破■*能力提升

动II

重点知识拔高知识

区

步步探究稳根基深化提能夺高分

知识点1利用已知函数模型解决实际问题-------1(拔高知识,拓宽提能］|

讲一讲

1.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间f(天)的函数关系为：

f/+20(0</<25),

P=QGN*)

［-/+100(25^^30).

设该商品的日销售量。(件)与时间*天)的函数关系为Q=40—《0<fW30,teN*),求这

种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

［思路点拨］日销售金额=日销售量义日销售价格，而日销售量及日销售价格(每件)均

为才的一次函数，从而日销售金额为f的二次函数.

［尝试解答］设日销售金额为y(元)，则y=PQ,

f-r+20/+800(0<t<25),

所以y=L(r6N*)

'［?-140r+4000(25^/^30).

①当0<r<25且£N*时，y=-(t—10)2+900,

所以当/=10时，ymax=900(元).

②当25W/W30且£N*时，>="—70)2—900,

所以当/=25时，>max=l125（元）.

结合①②得ymax=l125（元）.

因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大.

类题•逅法

对于题中已给出数学模型的问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解

模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.

练一练

1.灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是仇度，室内气温是优度，

/分钟后，开水的温度可由公式6=%+（仇一仇）屋卜求得，这里，左是一个与热水瓶类型有关

的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃,过1小时后又测得瓶内

水温变为98°C.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早

上六点灌满100。。的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？（假

定该地白天室温为20℃）

解：根据题意，有98=20+（100—20）晨6叫

整理得e-6M=^.

利用计算器，解得仁0.0004222.

故6»=20+80葭°°°°4222t.

从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟.

当f=360时，6»=2O+8Oe-00004222X36°=2O+8Oe-0152,

由计算器算得6-88℃>85℃,

即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.

知识点2自建函数模型解决实际应用问题・K拔高知识•拓宽提能】I

讲一讲

2.某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元.市场调研表明：当销售单价为

29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4

辆.设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价

—进货单价).

(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出尤的取值范围；

(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；

(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多

少？

［思路点拨］解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润=销售单价一进货单价；先求出每

辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润.通过二次函数求最值，可得汽车合适

的销售单价.

［尝试解答］(1)因为＞=29—25—尤，

所以v=—x+4(0WxW4).

(2)z=(8+吉X4)v=(8x+8)(—x+4)=—8/+24x+32(0WxW4).

(3)由(2)知，z=-8^+24^+32=-8(x-1.5)2+50(0^X^4).

故当X=1.5时，Zmax=50.

所以当销售单价为29—1.5=27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元.

类题•通法

利用二次函数模型解决问题的方法

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，

可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际

问题中的利润最大、用料最省等问题.

练一练

2.渔场中鱼群的最大养殖量为机(加>0),为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于

m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量

与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>Q).

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值.

TV1—XMI—X

解：(1)根据题意知，空闲率是皿，故y关于x的函数关系式是,Q<x<m.

―、二「、乙,m~xk°一k(mY.mk八

(2)由(1)知，y=kx--^-=--x-+kx=---[x-2)-+—,0<x<m.

—i,mimk

则当X=3•时，ymax=N.

所以，鱼群年增长量的最大值为华.

知识点3拟合数据构建函数模型解决实际问题K拔高知识,拓宽提能】I

讲一讲

元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案

求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).

［思路点拨］借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决实际问题，验证结果.

［尝试解答］以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,

如右图所示.

观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额尤之间的变化规律可以用二次函

数模型进行模拟，如图（1）所示.

取（4,2）为最高点,则y=a（x-4）2+2,再把点（1,0.65）代入,得0.65=。（1-4>+2,解得

«=—0.15,

所以>=一0.15（无一4）2+2.

B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行

模拟，如图⑵所示.

设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1)代入,

[0.25=k+b,k=Q.25,

得,解得-

[l=4k+b,b=0,

所以y=0.25x.

即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=—0.15（x—

4）2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.

设下月投入A、8两种商品的资金分别为以、XB（万元），总利润为W（万元），

XA+XB=12,

那么

2

W^yA+yB=-0.15(XA-4)+2+0.25XB.

所以W=-0.15(XA-^)2+0.15X管＞+26

当冽=石•仁3.2（万元）时，W取最大值，约为41万元,

此时XB=8.8（万元）.

即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得

最大利润约为4.1万元.

类题•通法

根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新

的问题，这是本节新的解题思路.请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他数据点，

观察结果的差异.

练一练

3.某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，

1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员

在推销产品时接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的

增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是

厂长，将会采取什么办法估算以后几个月的产量？

解：作出图象如图.

产量行双

1；'BC'D

~o-i~~23~~4""

方案一:（一•次函数模拟）

[3。+匕=1.3,

设模拟函数为y=ax+bf将B、C两点的坐标代入函数式，有《（解得

[2a+b=1.2,

[Q=0.1,

[z7=i.

所以得y=O.lx+l.

此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太

可能的.

方案二：（二次函数模拟）

设yuaf+bx+c,将A、B、。三点坐标代入,

tz+Z?+c=l,%=—0.05,

解得＜b=0.35,

有＜4Q+2/?+C=1.2,

、9〃+3Z?+c=1.3,。=0.7,

所以y=-0.05«+0.35x+0.7.

由此法计算4月产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知,

产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5）,不符合实际.

方案三：（恭函数模拟）

设y=66+〃，将A,5两点的坐标代入有

[a-\-b=\,1心0.48,

\厂解得

[yl2a+b=1.2,匕20.52,

所以尸0.48百+0.52.

当％=3时，y=1.35;

当％=4时，y=1.48.

与实际产量差距较大.

方案四：（指数函数模拟）

设y=〃"+c,将A,B,。三点的坐标代入，得

ab~\-c=1,a=-0.8,

＜ab1~\-c=\.2,解得＜匕=0.5,

、加+。=13,c=lA.

所以＞=一0.8义0.5%+1.4.

把x=4代入得了=—0.8X0.54+1.4=1.35.

比较以上四个模拟函数，以指数函数模拟误差最小，因此选用y=-0.8X0.5"H.4作模

拟函数.

-------------------------［课堂归纳•感悟提升］-----------------------

1.本节课的重点是根据给定的函数模型解决实际问题，难点是建立数学模型解答实际

问题.

2.本节课要重点掌握的规律方法

(1)利用已知函数模型解决实际问题的方法，见讲L

(2)自建函数模型解决实际问题的方法，见讲2.

(3)由拟合数据建立函数解决实际问题的方法，见讲3.

3.本节课的易错点是对题意理解不透彻致错，如讲3.

训

练

随堂练课下练

提

能课堂8分钟对点练，让课下限时检测，提速

区学生趁热打铁消化所提能，每课一检测，步

学，既练速度又练准度步为营步步赢

课时达标训练(二十六)

［即时达标对点练］

题组1利用已知函数模型解决实际问题

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示,

由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()

°12销售量/万件

A.310元B.300元C.390元D.280元

解析：选B由图象知，该一次函数过(1,800),(2,1300),可求得解析式y=500x+

300(x20),当x=0时，y=300.

2.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深/z的函数关系的图象如图

所示，那么水瓶的形状是()

解析：选B图反映随着水深〃的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水

上升的液面越来越小.

题组2自建函数模型解决实际应用问题

3.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞,

分裂x次后得到细胞的个数y与尤的函数关系是()

A.y=2xB.产2厂1

C.y=2"D.y=2#i

解析：选D分裂一次后由2个变成2X2=22个，分裂两次后4X2=23个，...，分

裂x次后y=2x+1个.

4.已知某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50

元时，一个月卖出500件.通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个

月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价多少元？

解：设应将每件商品定价为龙元，其月利润为y元，由题意得：j=(x-40).[500-(x-

50)X10]=-10^+1400x-40000.

当％=-方^=70(元)时，Jmax=9000元.

即商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元.

题组3拟合数据构建函数模型解决实际问题

5.现测得(尤，y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型，甲：＞=/+1；乙：y=3x

—1.若又测得(尤，y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.

解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选

甲更好.

答案：甲

6.我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示:

年份1999200020012002

X0123

生产总值y8.20678.94429.593310.2398

(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较.

解：(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条

直线上，设所求的一次函数为y=kx+b(k^0).

4=0.6777,

把点(0,8.2067)和(3,10.2398)的坐标代入上式，解方程组，得

6=8.2067.

因此所求的函数关系式为y=0.6777x+8.2067.

⑵由⑴知，＞)=0.6777%+8.2067.

AO)=8.2067,等于表中实际生产总值;

/(1)=8.8844,小于表中实际生产总值；

/(2)=9.5621,小于表中实际生产总值；

式3)=10.2398,等于表中实际生产总值.

【能力提升综合练]

1.拟定从甲地到乙地通话mmin的电话费用n)=L06-(0.50㈣+1),其中加>0,同是

大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5min

的通话费为()

A.3.71B.3.97

C.4.24D.4.77

解析：选C5.5min的通话费为人5.5)=LO6X(O.5OX[5.5]