新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（二十九） 函数模型的应用

课时跟踪检测(二十九)函数模型的应用

A级——学考合格性考试达标练

1.某种产品今年的产量是“，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(xGN*),该产

品的产量y满足()

A.j=a(l+5%x)B.y=a+5%

C.y=a(l+5%)LiD.y=a(l+5%)，

解析：选D经过1年，j=a(l+5%),经过2年，y=a(l+5%)2,…，经过x年，y

=a(l+5%)\

2.若等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()

A.y=20—2x(xW10)

B.j=20-2x(x<10)

C.j=20-2x(510)

D.j=20-2x(5<x<10)

解析：选D由题意，得2x+y=20,：.y=20~2x.

Vj>0,.\20-2x>0,

.♦.xVlO.又•.•三角形两边之和大于第三边，

2x>y,

：解得x>5,.*.5<x<10,故选D.

.\[y=20-2x,

3.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关

系式：y=alog3(x+2),观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2024

年冬越冬白鹤有()

A.4000只B.5000只

C.6000只D.7000只

解析：选C当尤=1时，由3000=alog3(l+2)得4=3000,所以到2024年冬，即第

7年，y=3000Xlog3(7+2)=6C.

4.在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I

与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320

安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析：选D由已知，设比例常数为鼠则/

320

由题意，当r=4时，1=320,故有320=4X43,解得《=@-=5,所以/=5八

故当r=3时，1=5X33=135（安）.故选D.

5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小

的单位是分贝（dB）,对于一个强度为1的声波,其音量的大小〃可由如下公式计算:4=10喝

（其中/o是人耳能听到的声音的最低声波强度），设力=70dB的声音强度为八，〃2=60dB

的声音强度为A，则八是人的（）

A.看倍B.10倍

C.IO7倍D.In1倍

解析：选B依题意可知，77i=10-lg^,〃2=10•咪，所以〃1—〃2=10・埃一10•喊，

则l=lg/i-lg/2,所以?=10.故选B.

*’12

6.某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/nP增加到了4800元/nP,则这6年间平

均每年的增长率是.

解析：设6年间平均年增长率为x,贝4有1200（1+X）6=4800,解得X=3、/2-1.

答案：\[2-1

7.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式>=。0.5工+儿现已知今年1月

份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为_______万件.

l=0.5a+Z>,a=-2f

解析：由题意得1.5=。.25小，解得

b=2,

.*.j=-2X0,5x+2,

,3月份的产量为-2X0.53+2=1.75（万件）.

答案：1.75

8.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y=e3其中左

为常数，♦表示时间（单位：小时），y表示繁殖后细菌总个数，则上=,经过5小时，

1个细菌通过繁殖个数变为.

1-k

解析：由题意知，当，=不时，y=2,即2=e?,

：.k=2ln2,.*.y=e2to2.

当t=5时，j=e2X5X|n2=210=l024.

即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.

答案：21n21024

9.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售

利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按logs（2A

+1）进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.

(1)写出奖金J关于销售利润X的关系式.

(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

解：(1)由题意知

当0WxW8时，j=0.15x;

当x>8时，

j=8X0.15+log5(2x-15)

=1.2+logs(2x—15),所以

0.15x,0WxW8,

v="

[1.2+log5(2X-15),x>8.

(2)当0WxW8时，jmax=0.15X8=1.2<3.2,故小江销售利润x>8.

由题意知1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20.

所以小江的销售利润是20万元.

10.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少

〃％,10年后森林面积变为今已知到今年为止，森林面积为半〃

(1)求P%的值；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解：(1)由题意得a(l-p%)io=*

即(l-p%)io=；,

解得P%=1-®

(2)设经过m年森林面积变为

则a(l-p%)m=^a,即而=&，

解得m=5,故到今年为止，已砍伐了5年.

B级—面向全国卷高考高分练

1.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停

(每次上涨10%),又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考

虑其他费用)为()

A.略有亏损B.略有盈利

C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

解析：选A由题意可得(1+10%)3(1—10%)3=0.97029920.97<1.因此该股民这只股

票的盈亏情况为略有亏损.

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量

成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，1300斗哆△牙

营销人员没有销售量时的收入是()8°°°才|

A.3100兀B.3000兀o|15销售A/万件

C.2900元D.2800元

解析：选B设函数解析式为y=«x+8优W0),

函数图象过点(1,8000),(2,13000),

优+6=8000,[*=5000,

则,解得

[2*+Z>=13000,[6=3000,

：.y=5000x+3000,

当尤=0时，y=3000,二营销人员没有销售量时的收入是3000元.

3.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a,经过f天

后体积V与天数f的关系式为：”已知新丸经过50天后，体积变为东.若一个新丸

Q

体积变为磊a,则需经过的天数为()

4/

A.125B.100

C.75D.50

解析：选C由已知，得苏=”-5叱.

Q

设经过人天后，一个新丸体积变为羽I,

//

则万〃=a・e-她,

...而「75.

4.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是TiCC),空气的温度是To(℃),经

过f分钟后物体的温度7(℃)可由公式7=70+(八一70)丁。2，求得.把温度是90℃的物体,

放在10℃的空气中冷却，分钟后，物体的温度是50°C,那么，的值约等于(参考数据：In3

Q1.099,In2=«0.693)()

A.1.78B.2.77

C.2.89D.4.40

解析：选B由题意可知50=10+(90—10)・「。叫整理得e"』。，即一0.25f=ln\=

-In2=-0.693,解得f七2.77.

5.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。m/s和燃料的质量Mkg,火箭(除

燃料外)的质量mkg的函数关系式是。=2OO(Hn(l+§.当燃料质量是火箭质量的

倍时，火箭的最大速度可达12km/s.

解析：当。=12000m/s时，2000・ln(l+£)=12000,所以ln(l+技)=6,所以卜

e6—1.

答案：e6—l

6.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量

变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T].现测得某种放射性元素的剩余质

2

量A随时间f变化的6次数据如下：

f(单位时间)0246810

A(f)3202261601158057

从以上记录可知这种元素的半衰期约为个单位时间，剩余质量随时间变化的

衰变公式为A(f)=.

解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为4)=320,则经过时间

t

八五--

f的剩余质量为A(f)=4o•团2=320-24«20).

答案：4320-24-0)

7.2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引

发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的

过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值j与这种新材料的含量x(单

位：克)的关系为：当0Wx<6时，y是x的二次函数；当时，’.测得数据如表(部

分)

x(单位：克)0129•••

71

03・・・

49

(1)求y关于X的函数关系式y=«r).

⑵求函数/(X)的最大值.

解：⑴当0Wxv6时，由题意，

设式工)=依2+加:+c(〃W0),

7(O)=C=O,「i

“=一不

7

由表格数据可得1解得<

/(1)=a+%+c=],b=2,

1/(2)=4a+2b+c=3,、c=0,

所以当0Wx<6时，f(x)=~^x2+2x,

gj由表格数据可得｛9)=《)

当x26时，f(x)=I=§,解得t=7.

(旷，

所以当x》6时，f(x)=

—^x2+2x,0<x<6,

综上，f(x)=

(IT,X"

(2)当0/xv6时，f(x)=-^x2+2x=—^(x—4)2+4,

所以当x=4时，函数/(x)的最大值为4;

当x26时，/(*)=0单调递减，

所以八x)的最大值为｛6)=④=3.

因为4>3,所以函数人x)的最大值为4.

8.近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影

响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容

缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，

以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间,(单位:

h)间的关系为P(f)=Poe"(Po,"均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中岛为f=0时的

污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.

⑴求常数k的值；

(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.(精确到lh,参考数据:加0.2—1.61,

In03^-1.20,In0.4七一0.92,In0.5比一0.69,In0.9七一0.11)

解：(1)由已知得，当f=0时，P=Po；

当t=5时，P=9O%Po.

5

于是有9O%Po=Poe-\

解得k=-1ln0.9(或fc««0.022).

(2)由(1),知尸=Poe(Mln"9y,当尸=4()%尸0时，有O.4Po=Poe(31n"9y

In0.4-0.924.60、

解得t=-,------------------------------=7HT«42.