高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1.定义：在函数y=/(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫

做函数的值域(或函数值的集合)。

2.确定函数的值域的原则

①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数》的集合；

②当函数y=/(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

③当函数y=/(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数y=/(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：

1.一次函数y=Ax+/?(ZA0)的值域为R.

2.二次函数)=宙:2+笈+。(4。0),当。>0时的值域为------,+oo,当。<0时的值域为

_4a>

4ac-b~

I-oo,---4---a--.」，

3.反比例函数y=:(ZH0)的值域为{yeR|yH0}.

4.指数函数y=a\a>0且aH1)的值域为{y|y>0}.

5.对数函数y=log“x(a>0且a*1)的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为［—1,1］,正，余切函数的值域为R.

三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数y=4a+跳4。0)的值域(最值)

1、一次函数：)=幺+可。。0)当其定义域为R,其值域为R；

2、一次函数y=ar+》(awO)在区间加,〃］上的最值，只需分别求出并比较它们的

大小即可。若区间的形式为(-00,〃］或［〃］,”)等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数/(x)=ax2+6x+c(a*0)的值域(最值)

4ac-b~

4。(。＞。)

1、二次函数/(》)=奴2+bx+c(a*O),当其定义域为R时，其值域为«

4ac-b2

("0)

4a

2、二次函数+6X+C(“H0)在区间上相〃］上的值域(最值)

首先判定其对称轴X=-(与区间上耳〃］的位置关系

Ah

(1)若一一£［根,可,则当。＞0时，/(——)是函数的最小值，最大值为AMJ5)中较大者;

la2a

当。＜0时，/(一2)是函数的最大值，最大值为了(加),/(〃)中较小者。

2a

(2)若—为五上〃,〃］,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值。

特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；

②若给定的区间形式是［a,+8),(F,句,(。,中功,(30⑼等时，要结合图像来确函数的值域;

③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知/(一£-2x)的定义域为［―3,+00),则“X)的定义域为_(—

例2：已知4%—1)=1+1,且xe(—3,4),则/(x)的值域为

题型三：一次分式函数的值域

1、反比例函数＞=人(%。0)的定义域为{止。0},值域为{引"0}

ex-4-d

2、形如：y=的值域：

ax+h

(1)若定义域为时，其值域为

a

(2)若xe［人川时，我们把原函数变形为x='若，然后利用(即x的有界性)，便

可求出函数的值域。

2V-3(1

例3：函数y=---的值域为_-oo「U［3,+8)_；若xe［l,2］时，其值域为一T，'_。

3DT—1-I3

例4：当xe(—3,—1］时，函数y==之的值域——4,—二(2)已知/(x+l)=上上，且

xe［-3,2),则/(x)的值域为—|^-oo,-1_。

例5：函数y='Sin'_L的值域为_1-oo,Lo［3,+oo)_；若尤e713万12

，其值域为.

3sinx+2I5J2'22'3

题型四：二次分式函数了=竺之±的值域

ax+/zx+c

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方

程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时

的X是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

%2+x-1

(1,+8)口1-00,亍

例6：y二-7

x+x-6

%2+x—2

{yeR|"l}

例7：y~：-

%-1

3%__33-

例8：y=~~p

x+4一WZ

V*_1

例9：求函数y=J'——-xe(-l,+oo)的值域

解：由原函数变形、整理可得：yx2+（2y-l）x+y+l=0

求原函数在区间（-1,长。）上的值域，即求使上述方程在（-1,长0）有实数解时系数y的取值范围

当丁=0时;解得：x=le（-l,+8）也就是说，＞=0是原函数值域中的一个值…①

当y声0时，上述方程要在区间（一1,”）上有解,

[□＞0

即要满足/（一1）＜0或彳2y—1解得：……②

8

I2），

综合①②得：原函数的值域为：0,-

_8_

题型五:形如y=or+b±Jcx+d的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域

问题，然后求其值域。

例10：求函数y=2x+4j匚7在xe[-8,l]时的值域[T4]

题型六：分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函

数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11：^=|x-l|+|x+2|[3,+oo)

例12：y=—x2+4凶+1(-oo,5]

题型七：复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的

值域逐层向外递推。

例13：y=J-----(―14x<1)

[0,2]

\2—x

例14：y=\J-x2+3x+40,-1

四、函数值域求解的十六种求法

（1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量

X的范围出发，推出y=/（x）的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值

域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：已知函数y=(x-l)2-l,xe{-l,O,U},求函数的值域。{-1,0,3)

例2：求函数y=J7+1的值域。[1,+8)

例3：求函数y=二1+「工口,(》二1)的值域。[J5,+OO)

例4：求函数y=Jr2+6x+10的值域。[1,+oo)

(2)配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别

是不能改变定义域。对于形如y=加+bx+c(awO)或/(x)=a[.f⑴丁+歹(x)+c(a/0)类的函

数的值域问题，均可使用配方法。

例1.求函数y=7—2x-x2+3的值域。

分析与解答：因为——+3N0,即一3WxWl,y=J_(x+1)2+4,于是：

0<-(^+1)2+4<4,0<y<2«

r2+2x+41

例2.求函数y=在区间xej,4]的值域。

尤4

分析与解答：由,=二+2.+4配方得:),=x+d+2=[«_-^]+6,

XXyjx)

141

当一<x<2时<函数y=x+—+2是单调减函数，所以6Wy<18—；

4x4

4

当2<x<4H寸，函数y=x+—+2是单调增函数，所以6<><7。

x

所以函数在区间xe[-,4]的值域是64y<18-»

44

(3)最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例1求函数y=3-2x-x2的值域。

解：由3-2尤-x2或，解出定义域为[-3,1]。函数y在L-3,1]内是连续的，在定义域内由3-2x-x2

的最大值为4,最小值为0。

•••函数的值域是[0,2]

例2：求函数>=2',n«—2,2]的值域。；,4

例3：求函数^=一2/+5%+6的值域。

(4)反函数法(逆求或反求法)：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

即通过反解，用)，来表示x,再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。对于形如

丫二三出侬二。）的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函

ax^-b

数的值域。

1-2V

例1：求函数y的值域。

1-2(1—y

解：由y解得2*=」

l+2r1+y

•/2'>0,.•.±2>0,：.-\<y<l

1+y/

v

.•.函数y=Ll-三2的值域为ye(-1,1)。

1+2

（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：

Z7V_1_A

已知分式函数y=——（cwO）,如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

cx-^d

a卜；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为

<yyw一

c

,ad

h——

ac

y=一+（ad*be）,用复合函数法来求值域。

ccx+d

土工的值域。

例1：求函数y

2x4-5

1八八77

解：；），=上上2_1।2

•-----2--------------------------1-------

-2x+52x+522x+5

7

71

,•*---------w0,「・yw—,

2x+52

.•.函数丁=上三的值域为｛田丁工一3。

2x+52

（6）换元法（代数/三角去

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给

函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代

数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如y=一二的函数，令形如y=ox+Z?土均为常数,ac/O）的

-/（x）

函数，令Jex+d=t；形如含JeJ-f的结构的函数,可利用三角代换，令x=acosaee[0,司,

或令x=Qsine,6£

22

例1：求函数y=2x+Jl-2x的值域。

____172

解：令t=1\一2x(r>0),则犬=-----,

2

y=-t2+t+l=-(t--)2+-

24

135

・・•当，=±,即工=2时，v无最小值。

284

.•.函数y=2x+Vl-2x的值域为(-00,-]。

4

例2.求函数y=(x2—5x+12)(x2—5x+4)+21的值域。

(5Vog

分析与解答：令"，_5X+4=X--

I2；44

y=«/+8)+21=/+8/+21=(r+4)2+5,

当时,为加=|一\+4)+5=8上，值域为｛y|y28专｝

例3.求函数y=x+VlOx-x2—23的值域。

分析与解答：由.=%+加0%一日2一23=x+)2-(x-53，令x-5=J^cos。，

因为2-(x-5『20n2-2cos2。20n—1«cos。W1,0G[0,7r],则

72-(X-5)2=V2sin(9,

于是y=V2sin0+V2cos+5=2sin|^+—|+5,0+—e,

I4J444

——sin(。+—<1,所以5--JT.Wy<7。

(7)判别式法：

把函数转化成关于x的二次方程尸(x,y)=0；通过方程有实数根，判别式A20,从而求得原函数

的值域。对形如y=qx：+」x+q(%、%不同时为零)的函数的值域，通常转化成关于*的二次方

a2x+b2x+c2

程，由于方程有实根，即AN0从而求得y的范围，叩值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行

讨论。

注意：主要适用于定义在/?上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

f—*+3

例1：求函数y=,.、的值域。

x—x+1

.O

解：由y=~~:~变形得(y-l)Y-(y—l)x+y-3=0,

x—X2+I1

当y=l时，此方程无解;

当ywl时,*.*x€/?,/.,A=(y-l)2-4(y-l)(y-3)>0

解得1Wy«—，又「.IvyW—

3.3

丫2_43ii

函数y=,的值域为{y［l＜y«U}

x-x+13

（8）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，

/（x）=or+t（a＞0,0〉0）.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。

例I：求函数y=•¥-，-2x的值域。

解：•.•当x增大时，1—2x随x的增大而减少，—Jl—2x随x的增大而增大,

函数y=x-Jl-2V在定义域（f°,g］上是增函数。

，函数y=x-\j\-2x的值域为（-co,-J。

例2.求函数y=%+▲在区间xw（0,+o。）上的值域。

分析与解答：任取e（0,y）,且不＜龙2,则

/（%1）-/（%2）=—~~~,因为0＜内＜*2，所以：X1—％2＜°，％1电〉0,

xtx2

当14七＜%2时，XlX2-1＞0＞则/（*1）＞/（工2）；

当0＜玉＜X2＜1时，玉工2—1＜0，则/（司）＜/（%2）；而当x=l时，ymin=2

于是：函数y=x+，在区间xe（0,+。。）上的值域为［2,+8）。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

例3：求函数/（x）=JTZ1+J匚1的值域。

分析与解答：因为-14x41,而护工与J匚1在定义域内的单调性不一致。现构

1-%>0

造相关函数g(x)=JW-Ji二1,易知g(x)在定义域内单调增。gmax=g(l)=及，

gmin=g(T)=-&,=|g("<忘,04g2(X”2,

*2

又72(x)+g2(x)=4,所以：2</(X)<4,V2</(X)<2»

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函数值域，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定

值。

利用基本不等式a+b22，茄，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用

。+822族求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①。＞0,人＞0;②a+—或出?）为定值；③

取等号成立的条件。=从三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧，添

k

项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，比如求函数丁=%+下（麦＞0,〃6%）的值域。

x+2

例1求函数y=]常的值域.

解：）=爵=«71+焉？2,当且仅当x=l时"="成立.故函数的值域为ye[2,+8）.

此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是

若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

2x2-x+1

例2：求函数的值域:y=

2x-l

1

2X2-X+\_x(2x-l)+l1121

解：y==x-\----X------F

2x-l2x-l212

2x-lx——

2

竽时等号成立,

当且仅当天——时，即x

2

X——

2

:.y＞42+~,所以元函数的值域为—FV2,+coI.

22J

例3.求函数y=(sinX+—1—)2+(COSX+―-—)2-4的值域。

sinxcosx

解：原函数变形为：

y=(sin*x+cos2x)+——+——

sinJxcos'x

=1+ces2x+sec2x

=3+tan2x+cot2x

>3vtan2xcot2x+2

=5

当且仅当tanx=cotx

即当x=k兀±?时(kwz),等号成立

4

故原函数的值域为：5+8)

例4.求函数y=2sinxsin2x的值域。

解：y=4sinxsinxcosx=4sin2xcosx

y=16sin4xcos2x

=8sin2xsin2x(2-2sin2x)

<8[(sin2x+sin2x+2-2sin2x)/3]3

64

=?7

当且仅当sin?x=2-2sir?x，即当sin2x=士时，等号成立。

3

由y2«竺可得：-逋《£辿

2799

故原函数的值域为：-孚■，竽

(10)函数有界性法：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如y包.叶£,由于正余弦函数都是有界函数,

bcosx+d

值域为11,1],利用这个性质可求得其值域。

尤2-1

例1：求函数y=亍石的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为H,对函数进行变形可得

(y-l)/=-(y+l),

:y01,/.x2=—(xGR,y#l),

y-i

y+1

：•—------20,*,•-14yv1,s

y-i

x2—I

.,.函数y=———的值域为{y|-1Vy<1}

x+\

形如sin。=/(y),/=g(y),因为sin同W1,/20可解出Yr范围，从而求出其值域或最值。

2V-1

例2.求函数y=W一的值域

2—1

解：由y=2-'--1得2'=^v—-1

-2A-1y-l

•/22>0,.-.-~->0ny>1或y<-1

y-i

例3：求函数y=2cosx+l的值域。f-oollu[3,+oo)

3cosx-215j

例4：求函数y=2-sin1的值域。1)3

2+sinx1_3_

(11)数型结合法：

如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离，直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易

于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由？二红可联想到两点(西,凹)与(与,%)连

线的斜率或距离。

例1：求函数y=|x+l|+|x-2|的值域。

解法1：将函数化为分段函数形式：

—2x+l(x<—1)

y=<3(—lWx<2),画出它的图象，由图象可知，函数的

2x-l(x>2)

{y|y>3}o

解法2(几何法或图象法)：•.•函数y=|x+l|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和，

易见y的最小值是3,...函数的值域是［3,+8］。如图

例2.求函数y=&+4X+5+&-4X+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形,

解：原函数变形为/(X)=7(X+2)2+1+

作一个长为4、宽为3的矩形ABC£>,再切割成12

AB

个单位正方形。设〃K=x，则EK=2-x,KF=2+x,AK=7(X-2)2+22,

KC—Jx(+2)~+1o

由三角形三边关系知，AK+KC>AC=5.当A、K、C三点共线时取等号。

・••原函数的知域为{y\y>5}.

例3.求函数y=Jl+x+J1-元的值域。

解析：令〃=Jl+x,v=Vl-x,则w2+v2=2,〃+u=y,原问题转化为：当

直线〃+u=y与圆〃2+/=2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当〃+u=y经过点(0,、历)时，ymm=V2；

2

当直线与圆相切时，ymax=OD=V2OC=(V2)=2o

所以，值域为后VyW2

例4.求函数y=-6x+13-\Jx2+4x+5的值域。

解：将函数变形为y="(X-3)2+(0-2)2-向+2)2+(0-1)2

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点8(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即

二|阴-阳

由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线48与x轴的交点时，如点P',则构成AA8P',根据三

角形两边之差小于第三边，有||AP|-忸用<|明=J(3+2)2+(2-1)2=V26

即-J26<y<J26

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|-|BP||=|AB|=V

综上所述，可知函数的值域为(-，幅，而］

注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、8两点在x轴的

两侧，而求两距离之差时，则要使A,5两点在x轴的同侧。

(12)复合函数法：

对函数y=/(“),“=g(x),先求”=g(x)的值域充当y=/(葭)的定义域，从而求出y=/(a)的

值域的方法。

例1、求函数y=二3一*的值域

3+1

(复合函数法)设3、+1=，

3V+1-1,1,1/

则y=——------=1-----------=1一一/>1)

3r+l3V+1

Vt>\/.0<-<1/.0<y<1

.•・原函数的值域为（01）

49

例2：求函数y=log|（—2/+5X+3）的值域。—,+00

28

（13）非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

!---------V-2-3

例1、（1）求函数y=J16-%2的值域。（2）求函数y=r——的值域。

X"+1

解析：⑴•.•0W16—/<16,,-.0<716-X2<4

故所求函数的值域为ye[0,4]。

(2)VX2+1>0,二原函数可化为y(x2+Y)=x2-3,即%2(l-y)=y+3,当y71时,

x2=^^,v%2>0,>0,解得一

1-yI-y

又所以—3Wy<l,

故所求函数的值域为ye[-3,1）。

（不等式性质法）

例2：求下列函数的值域:

6,、2x2+4x+106

⑴产(2)-------------(3)产

x2+2-X2+2X+22sinx-l

21o

(4)>=10-V16-X；(2)y=-3(—)'4-4(x—1)；(3)y=log+>—

22

（14）导数法

若函数/在3,与内可导，可以利用导数求得/在（。,份内的极值，然后再计算了在。力点的极限

值.从而求得了的值域.

例1：求函数f（x）=x3-3x在（一5,1）内的值域.

分析:显然/在（一5,3）可导，且八x）=31—3.由/'（x）=0得/的极值点为x=l,x=—L

/(-I)=2,/(l-0)=-2./(-5+0)=140.

所以，函数/的值域为(一2,140).

(15)“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、"单调性法”、"换元法”、"判别式法”以及“平方开方法”

等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函

数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设/(x)(xeD)是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

(1)/(x)的值总是非负，即对于任意的xe。，f(x)20恒成立；

(2)/")具有两个函数加和的形式，即/(X)=.力(x)+启x)(xeD)；

(3)/(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

2

f(x)=[ft(x)+f2(x)f=c+g(x)CxeD,c为常数)，

其中，新函数g(x)(xe。)的值域比较容易求得.

2.运算步骤

若函数Ax)(xe£>)具备了上述的三个特征，则可以将f(x)先平方、再开方，从而得到

/(x)=Jc+g(x)(XGD,C为常数).然后，利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如

g(x)Gv],则显然/(x)eWc+〃,Vc+v].

3.应用四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举，这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具

体问题时的技巧.

例1求函数/(x)=Jb-x+v/x-a(xe[«,/>],a<h)的值域.

解：首先，当历时，/(x)>0；

其次，/(X)是函数J；(x)=j0-x与力⑶=丁-4的和;

最后，f2(x)-b-a+2yl(b-x)(x-a)=b-a+2+(a+b)x-ab

可见，函数人力满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(X)平方、开方得

f(x)=^b-a+2^-x2+(«+b)x-ab(xe[a,句).这里，g(x)=2^-x2+(a+b)x-ab().对g(x)

根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为于是，f(x)的值域为

[\lb-a,y]2(b-a)].

例2求函数f(x)=<b-kx+<kx-a(XGa<b,k>0)的值域.

kk

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的/(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对fM

平方、开方得/(x)=\lb-a+2y1-k2x2+k(a+b)x-ab().这里，g(x)=2^/-A:2x2+k(a+b)x-ab

(x咻，”对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域仍为IO,"].于是，f(x)

的值域也仍为[小工,J2S-.

例3求函数3%)=|sinx|+|cosx|(xeR)的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的/(X)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(x)

平方、开方得了(万=J1+1sin2x|(xeR).这里，g(x)=|sin2x|(xwR).易知，g(x)的值域为[0,1].

于是，f(x)的值域为口,&].

例4求函数f(x)=kinx+cosx|+卜inx-cosx|(xeR)的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的/(X)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(x)

平方、开方得/(x)=j2+2|cos2x|(xeR).这里，g(x)=2|cos2x|(xeR).易知，g(x)的值域为[0,2].

于是，f(x)的值域为[也,2].

例5求函数y=Jx-3+yj5-x的值域

解：(平方法)函数定义域为：XG[3,5]

y2=(X_3)+(5—x)+2A/-X2+8X-15

由xw[3,5],W-x2+8x-15e[0,l]

：・y%[2,4]

.•.原函数值域为睛,2〕

平方法)函数定义域为：xe[3,5]

y~=(x-3)+(5-x)+2J-+8x-15

由xw[3,5],W-x2+8x-15e[0,l]

二./e[2,4]

原函数值域为[、3,2]

(16)一一映射法

原理：因为y=出土B(c*0)在定义域上X与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范

cx+d

围，就可以求另一个变量范围。

例1.求函数y=>3x的值域。

2x4-1

解：:定义域为{xIX<一(或X>—g}

_l-3xi-y

由得X=

2x4-12y+3

㈠]_

故X=

2y+322

解得y<__1或y>一,

故函数的值域为(一8,-1)U]-|,+℃)

(17)其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上,

其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及

一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法

的能力。

例1.求函数y=YK三的值域。

x+3

解：令1=Jx+2(tN0)，则x+3=t?+i

(1)当t>0时，y=7Tl=-r-2>当且仅当仁1，即x=—l时取等号，所以0<y4,

t

(2)当r=0时，y=0o

综上所述，函数的值域为：卜,‘

_2_

注：先换元，后用不等式法

例2.求函数y=1+X-2X?+X3+X4的值域。

l+2x24-X4

2+x432

l-2x+x+x-xVx

解:

l+2x2+x4l+2x2+x4-I1+x2J+l+x2

々x=tan2，则=cos2p

2

2U+xJ

—^-r-=—sinp

1+x22H

/.y=cos2p+-^sinp=-sin2p+-^sinp+l=一卜皿口一：）+.

•••当sinB=:时，ymax=^

当sinB=T时，ymin=-2

此时tanB都存在，故函数的值域为-2二

216

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sinB的有界性。

例3.求函数y=T（x<0）的值域

解：（图象法）如图，值域为（0,1］

例4.求函数）=的值域

解（复合函数法）：令「=一一+2%=-0：-1）2+1,则y=（r<l）

由指数函数的单调性知，原函数的值域为g,+oo）

例5.求函数y=x+y/l-x2的值域

解（三角代换法）：•・,-1<X<1，设x=cos。。^［。，）］

y=cos。+|sin=cos。+sin。=V2sin(^+—)6|j-1,V2］

・•・原函数的值域为［-1,痣］

小结:

（1）若题目中含有时W1,则可设

a-sinG<0<—(或设a=cos。,0<0<7T)

22

（2）若题目中含有/+。2=1

则可设a=cos。力=sing,其中04夕<2〃

（3）若题目中含有J1—炉，则可设x=cos6,其中乃

（4）若题目中含有Jl+炉,则可设x=tan。，其中—5<夕<5

(5)若题目中含有x+y=r(x>0,y>0,r>0),则可设x=五以刀？6,y=J7sin?。。其中

尤2—1

例6、求函数丁=二一的值域

X+1

解法一：（逆求法）•••》2=1±2之0y<\

i-y

原函数的值域为[-11)

解法二：(复合函数法)设/+1=，

22

贝|Jy=1—z—=1—(z>1)

%2+1t

2

•/r>1/.0<—<2/.-1<y<1

原函数值域为(-1,1]

解法三：(判别式法)原函数可化为(y—1)/+O-x+y+i=O

1)y=l时不成立

2)了工1时，A>0=>0—4(y—l)(y+1)>0=>-1<y<1

综合I)、2)值域{y|—

解法四：(三角代换法).,.设x=tan6G,贝！1

y=--~tan,=-cos20,/23cos2^e(-1,1]

1+tarr。

.•.原函数的值域为3-lWy<l}

小结：

已知分式函数y="/陵+£(/+1270),如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；

dx「+ex+/

一次式一*次式

如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为丁=二^(或y=-^Sr)

一次式二次式

的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条

件，转化为利用函数),=犬+@(XH0)的单调性去解。

X

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin夕的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、与函数值域有关的综合题

例