精讲精炼（必修第二册） 第八章 立体几何初 章末测试（提升）（教师含解析） -教案课件-人教版高中数学必修第二册

第八章立体几何初步章末测试（提升）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•上海市控江中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为Q、02,过直线。。2的平面截

该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）

A.8/B.8及乃C.12"D.lOjLr

【答案】A

【解析】设圆柱的底面圆半径为八母线长为/,则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r,1,

依题意，2r/=8,解得〃=4,

由圆柱侧面积公式得：S=2仃1=8万，

所以该圆柱的侧面积为8万.

故选：A

2.（2021•天津市南开区南大奥宇培训学校）a,6为两条直线，«,用为两个平面，则下列四个命题中，

正确的命题是（）

A.若a_La,bY/3,则aJ•尸

B.若a//a,blip,alip,则a//6

C.若auc,bu。,a//b,则a〃汽

D.若a"a,a，。,则。

【答案】A

【解析】对于A：ala,alt>>则b//a或bua,又bL。,由面面垂直的判定定理可知，故A正

确；

对于B：用长方体验证.如图，

D\Cl

设AA为。，平面AC为a,BC为b,平面AG为夕，显然有a//a,blip,a//〃，但得不到故B

不正确;

对于C：可设4冉为。，平面A片为a,CD为b,平面AC为夕，满足选项C的条件却得不到a〃/，故C

不正确;

对于D：设为〃，平面AC为。，平面gC为夕，显然有R/a,al/?,但得不到。，夕，故D不正确;

故选：A

3.（2021•广东顺德一模）如图,正方体ABCC-ABCQ的棱长为1,线段用2上有两个动点反尸，且所=孝,

则三棱锥A-8£尸的体积为（）

D.不确定

【解析】由题可知，正方体ABCQ-AB|GR的棱长为1，

则BQJ/平面A8CO,又E,尸在线段上运动，

•••斯//平面A8CZ）,

，点8到直线与。的距离不变，

由正方体的性质可知BB]±平面ABC。，则明,EF,

而EF=也，BB]=1,

2

故,BEE的面积为L走><1=匹，

224

又由正方体可知，AC±BD,AC1BB,,^BDr\BB}=B,

,AC_L平面BBQ、D,贝ljAC_L平面BEF,

设AC与8。交于点。，则AO±平面BEF,

,•点A到平面BEF的距离为AO=变，

2

“_1V241_1

••­VA.8£F=-x—xT=-

故选:A.

GBi

DA

4.（2021•湖北•大冶市第一中学）在空间四边形ABC。中，£,F,G,H分别是A3,BC,CD,D4的中

点.若AC=3O=a,且AC与8。所成的角为60。，则EG的长为（）

A.aB.£C.。或^D.：或是~a

2222

【答案】D

【解析】如图所示，

因为E,F,G,〃分别是A8,BC,CD.D4的中点，

所以防〃4（?〃”6,£：尸="6=,4。=14,EH//BD//FG,EH=FG=-BD=-a,

2222

所以四边形EFG”为菱形，

又因为AC与8。所成的角为60。，所以EF与尸G所成角为60。，

所以菱形的边长为:。，相邻两个内角分别为60°,120。，

2

即ZEFG=120。或ZEFG=60°,

所以EG=2FGsin60。=且〃或EG=2FGsin30°=ta

22

故选：D

5.（2021•湖北•武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二月考）在正四面体尸-ABC中，4£,尸侧棱AB,

BC,C4的中点，下列说法不正确的（）

A.BC〃面PDFB.面面ABC

C.面包）尸，面24£；D.。尸_1_面上4£

【答案】B

【解析】对于A：因为〃，E,分侧棱AB,BC,C4的中点，所以。F〃BC,又OEu面「OF,BCU面PDF,

所以BC〃而PDF，故A正确；

对于B：过〃作PHLDE,平面PDE'平面ABC=DE,

若面面ABC,则尸〃，面ABC,

,；BCu面ABC,，PH^BC.

BCJ.PE,PHu面PDE,PEu面PDE,BC±面POE,

■:DEu面PDEBCLDE,

•：BCA.AE,AEDE=E,

••.BC与DE不可能垂直，矛盾.故选项B不正确;

对丁D：设正,,A8C的中心。，则点0在4'上,连接能由正四面体的性质得PQJ•血ABC,又。Fu面ABC,

所以「Q_L。尸，又£>F_LAE，AEr\PQ=Q,所以叱_L面P4E,故D正确；

A

对于C：由D选项解析得。尸_1_面a场，又DFu而PDF,所以面PE尸JL面B4E，故C正确,

所以不正确的选项是B选项，

故选：B.

Dp

6.（2021•贵州•贵阳一中）如图，在棱长为a的正方体A88-ABCQ中，一在线段BR上，且钎=2,

，"为线段乌C上的动点，则三棱锥〃-尸5c的体积为（）

D.与点"的位置有关

【答案】A

BP2

【解析】由题意知，点R到平面，明C的距离为a,又右■二二,

DL/^J

2

所以点P到平面MBC的距离为§。，

又点."在81G上运动，所以S“BC=；axa=g/,

V3

所以VM-PBC=P-MBC=5X50X5/=-a,

故选：A.

7.（2021•浙江宁波）如图一，矩形ABCO中，BC=2AB,AM_LB。交对角线3。于点。，交BC于点M.现

将沿3。翻折至VA'BO的位置.，如图二，点N为棱A'£＞的中点，则下列判断一定成立的是（）

A.BDLCNB.A'O_L平面8C£>

C.CN〃平面4。h1).平面A'QM_L平面BCD

【答案】D

【解析】翻折前，BD1AO,BD1OM.

翻折后，对应地有，BDLA：O.BDVOM,

A'O0M=0,则BD1平面A:OM,

Q8£>u平面BCD,故平面AQW平面BCD,D选项一定成立；

对于B选项，由上可知，：面角A'-BD-M的平面角为/AOM,

在翻折的过程中，ZAOM会发生变化，则4。与OM不一定垂直，

即A。与平面5CD不一定垂直，故B选项不一定成立;

AF)An

对于A选项，设6C=2AZ?=2a,在图一中，tanZABD-==2,

ABOB

AO=2OBcRR

所以,I-——,可得40=包。，08=3,

AB=\lAO2+OB2=a55

因为NAMB+/R4M=NABD+Za4M,^\ZAMB=ZABD,

tetanZAMB=—=2,所以，BM=-,

BM2

在图二中，过点C在平面BCD内作CE//OM交BO于点E,连接NE,

则装=W=4，故BE=48°=迪a,则OE=BO-BE=好”，

BOBM55

又因为0。=8。-08=生叵“，故E不为。。的中点，

5

因为BOLOM,CE//OM,则3£>_LCE,

若BDLCN,且CECN=C,则8。1平面CNE,

NEu平面CNE,则8D_LNE,

由于A'。、NEu平面A'8E>,且8O_LAO,故HQ//NE,

由于N为AT)的中点，则E为。。的中点，与已知条件矛盾，A选项不成立;

A1

N

------------------1

对于C选项，由A选项可知，因为CE〃OM,CEz平面A'OW,OMu平面A'OM,

所以，CE〃平面AOM,

若CN〃平面A'QM,CNCE=C,则平面。VE〃平面AOM,

因为平面A'BD|平面AOA/=AO,平面、平面CNE=NE,则WO〃NE,

由于N为A£）的中点，则E为0。的中点，与已知条件矛盾，C选项不成立.

故选：D.

8.（2021•四川省峨眉第二中学校）在三棱锥A-8C。中，AB=CD=a,截面MNPQ与A3,8都平行,

则截面MNP。的周长等于（）

A.2aB.4aC.aD.无法确定

【答案】A

［解析】设4"=3因为钻〃平面MNP。，平面ABC1平面MNPQ=MV,ABi平面ABC,所以MN//AB,

同理可得P0//A8,MQ//CD,NP//CD,

故四边形MNP。为平行四边形,

MNPQMQNPk

所以

ABAB\+kCDCD\+k

因为AB=CD=a,

所以MN=PQ=/-,MQ=NP=J

aak

所以四边形MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2=2a.

l+k1+Z

故选：A.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•全国）已知直线/、加平面,则下列说法中正确的是（）

A.若/〃“，则必有a///?B.若/_!.〃?，则必有a_L尸

C.若",则必有a，4I）.若a///7,则必有〃//

【答案】CD

【解析】对于A,平面a,4可能相交，所以选项A错误；

对于B,平面％力可能平行或斜交，所以选项B错误；

对于C,因为/ua且/，尸，则必有a,6，所以C正确；

对于D,因为c〃夕，则必有〃/力，所以D正确.

故选：CD

10.（2021•福建・永安市第三中学高中校）如图，在四棱锥P-43CD中，底面A8C。为平行四边形,

ZDAB=^,AB=2AD=2PD,PO_L底面ABCD,则（）

A.PAYBD

B.3cl.平面PBD.

C.异面直线A3与PC所成角的余弦值为器

D.尸8与平面ABC。所成角为

【答案】AB

【解析】根据题意，设立＞=AO=1，则钻=2,

对于A中，由余弦定理可得Jl+4-2xlx2cos?=G，

所以4)2+友)2=Ag2,所以A£)_L8£),

因为PDJ•平面ABC。，且B£>u平面ABC£>,可得比>J_PD，

又由AOI尸。=£>且A3,尸。u平面AP£>,所以BO_L平面

因为PAu平面AP£>，所以R4_L8£>,所以A正确；

对于B中，由A£)_L8£),因为4J//8C,可得8C_LBD,

又由PO_L平面ABCD，且BCu平面A8CD,可得8C_LPD,

又由8。尸£>=力且8DFCU平面尸瓦>,所以BCL平面力PO,所以B正确；

对于C中，山底面ABCO为平行四边形，可得ABHCD,

所以异面直线A3与尸C所成角，即为C。与PC所成角，设NP8,

在直角可得PCuJPEP+CD2=5所以8$/尸。=黑=竽.

所以C不正确；

对于D中，因为叨_L底面ABC£>,所以NPBD为PB与平面ABCD所成角，

可得tan4PBD=四=@,所以ZPBD=£,

BD36

即直线PB与平面ABCD所成角为？，所以D不正确.

O

故选：AB.

11.(2021•全国•模拟预测)如图，点A,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN〃

平面ASC的有()

【答案】AD

【解析】对于A选项，由下图可知〃/)E〃AC,MVO平面ABC,ACu平面ABC,所以MN〃平面ABC,

A正确.

对于B选项，设H是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB//NH,MN//AH//BC,AM//CH,所以

AaCH,MM六点共面,B错误.

对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知M7W/AD,由于平面ABC,所以MV<Z平面ABC.

所以C错误.

对于D选项，设ACcNE=O,由于四边形AECN是矩形，所以。是NE中点，由于B是ME中点，所以MN//BD,

山平面ABC,Qu平面ABC,所以MN〃平面A8C,D正确.

故选:AD

12.（2021•江苏省苏州第十中学校）矩形ABCQ中，AB=2,BC=1,将此矩形沿着对角线8。折成一个

三棱锥C-3D4,则以下说法正确的有（）

A.三棱锥C-BD4的体积最大值为名叵

15

B.当二面角C—8。-A为直二面角时，三棱锥C-3D4的体积为建

15

C.当二面角C-B。-A为直二面角时，三棱锥C-BDA的外接球的表面积为5万

D.当二面角C-8O-A不是直二面角时，三棱锥C-8D4的外接球的表面积小于5万

【答案】ABC

【解析】过，作CE_LB£>于E,在平面DBA内过£作即的垂线EG,则NCEG为二面角C-3D-A的平面角,

如图，

平面CEGL平面DBA,过C作的_于尸，则CF±平面DBA,

在直角△BCD中，ZBC£>=90，BC=1,CD=2,CE=BCCD,

BD5

显然CFMCE,当且仅当点后与尸重合时取“="，即点C到平面｛如距离的最大值为CE=也，

5

而So以=248乂。=1,则三棱锥C—BD4的体积最大值为」CE.SOBA=2且，A正确；

当C尸取最大值华时，CFu平面88,又CPL平面DB4，则平面BCD,平面Q54,

即二面角C-BD—A为直二面角，三棱锥C—3D4的体积为浊，B正确；

15

取劭中点0,连接40,C0,显然有AO=CO=18£）=BO=。。，于是得点4B,4〃在以。为球心，A0=^

22

为半径的球面上，

显然，无论二面角C-即-4如何变化，点/,B,C,〃都在上述的球。上，其表面积为5万，C正确，D不

正确.

故选：ABC

三、填空题（每题5分，共20分）

13.（2021•上海•华东师范大学第三附属中学）如图，ORC是边长为1的正方形，4c是四分之一圆弧,

则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的表面积为.

oA

【答案】y

【解析】几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1,高是1,球的半径是1,

所以圆柱的体积是乃x『xi=%，半球的体积是］1x4W；rxl3=半,77"，因此所求几何体的体积为乃-半TT=1TT,

故答案为：y.

14.（2021•上海外国语大学闵行外国语中学）如图已知月是△BCD所在平面外一点，AD=BC,瓦尸分别

是A3、8的中点，若异面直线A£）与BC所成角的大小为（，则A0与E尸所成角的大小为.

【解析】解：如图所示：取AC的中点G,连接EG,GF,则EG〃BC,GFIIAD,

所以/EG尸为异面直线A£>与BC所成角或其补角.因为A£>=8C,所以EG=GF,

7TIT

当/£GF=；时，AEG尸为等边三角形，AGFE=-,

jr

即AZ）与EF所成角的大小为1；

当NEGF=4时，EG=GF,4EGF为等腰三角形，NGFE=f,

即AD与E尸所成角的大小为［

O

故答案为：g或

36

15.（2021•河南）2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹卷

或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”（如图），一部分学生学习制作泥塑几何体，现

有一个棱长为6的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点E,F,G,H,M,N,将正方体削成正八

面体形状泥块G-EMHF-N,若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块

G-EMHF-N,使得正八面体形状泥块G-EMHF-N可以在“灯罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯

罩斗笠”的表面积的最小值为

设正方体A8C。-A4GA的中心。满足OE=ob=O”=OF=。〃=o例=ON=3,

则几何体GEM/V7V的外接球的球心为。，半径为3.

当“灯罩斗笠”的表面积最小时，

正八面体形状泥块G-矶的外接球即为圆锥的内切球，

故圆锥的底面圆的半径7=-4^=36,

tan30°

所以该“灯罩斗笠”的表面积的最小值为5=兀,+兀＞=兀（36）2+兀・36-66=81兀.

故答案为：81K

16.（2021•湖南•临澧县第一中学）在三棱锥S-48C中，SB=SC=AB=BC=AC=2,二面角S-BC-A

为120。，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.

28万

【答案】

r

取线段BC的中点。，连结AO,SD,由题意得SDYBC,

.•.NAOS是二面角A—BC-S的平面角，，NADS=g,

由以上垂直关系可得8c，平面A3S,分别取AO,SD的三等分点E，F,

在平面ADS内，过点E,产分别作直线垂直于AD,SD,两条直线的交点即球心0,

连结。4,则球。半径R=|OA|,

由题意知3£>=1,AD=y/3,DE=-AD=—,AE=-AD=—,

3333

JI

连结O£）,在RtAODE中，ZODE=-,OE=6DE=1,

7

/.OA2=OE2+AE2=-,

3

DR

球0的表面积为s=4万代=_7r.

故答案为：驾.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2021•上海市甘泉外国语中学）已知正方体ABCD-45G".

(1)求证：44//平面6劭；

(2)求证：A£)1平面AxDC.

【答案】

(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】正方体ABCD-A^C^.C,Dt//A^,C、D、=的,

又ABMA、B\,A8=AB1,:.CR”AB,CR=AB,

四边形GAAB是平行四边形，

ADJ/C、B,

CiBu平面QB。，ARu平面C/。，

AADt〃平面C/。.

(2)

正方体A8CO—A3CR.

AA。±ADt,CD±平面AA3Q,

QA£)iu平面AADD,,：.CD±ADt,

又4田8=。，，他，平面AQC.

18.（2021•上海市控江中学）如图，ADJ＞平面CEL平面46G皿与喈不相等，AC=AD=AB=\,

BC=6,四棱锥8-ACE。的体积为厂为纪的中点.

(1)求方的长度；

(2)求证：AF〃平面BDE；

(3)求证：平面比坦，平面6◎:

【答案】

(1)2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】因AD_L平面CE_L平面48G则AD//CE,4。J_4C,而4〃片CE即有四边形力。。是直角

梯形，

又AC=AB=1,BC=近,贝IJAC?+A8?=2=BC?,于是有NBAC=90,即A5_LAC,

因ABi平面4?C则AB_L4>,乂A。AD=A,且AC,ADu平面4曲，因此，AB_L平面4^9,

直角梯形4曲的面积S=AD:-\-CF-AC=-1(1+CE),

22

四棱锥B-ACED的体积VB_ACED=^-SAB=^\+CE)=^-,解得CE=2,

362

所以龙的长度是2.

(2)

由⑴知，AD=-CE,AD!ICE,取期中点机连接则FM,如图：

因厂为比的中点，则FM〃CE//AZ),且FM=；CE=A。，于是得四边形仞W是平行四边形,

则。M//AF,而DWu平面及火，AFa平面眦；

所以A尸〃平面HDE.

(3)

因CE_L平面47C,AFu平面/6G则AF_LCE,

又AC=45,且/为正的中点，则A尸，BC,

又BCCE=C,且BC,CEu平面及方，因此，河，平面6(芯

由⑵知DW〃AE,则OWJ_平面打龙，又DWu平面应区

所以平面BDEJ_平面BCE.

19.(2021•广东•普宁市华侨中学)如图，在四棱锥月被笫中，平面为〃_L平面力及力，PA1PD,PA=PD,

ABYAD,A8=l,AD=2,AC=CD=亚.

(1)求证：&U_平面为6；

(2)求直线期与平面板所成角的正弦值；

(3)在棱用上是否存在点瓶使得用/〃平面若存在，求*的值；若不存在，说明理由.

【答案】

(1)证明见解析

⑵遮

3

⑶存在；！

【解析】证明：因为平面以〃1平面48(力，ABVAD,平面必〃C平面==4?,/6u平面力比。,

所以4从L平面PAD,

所以"J.7%又因为为J_如，PAC\AB=A,PA,A8u平面丛8,所以外J_平面为反

⑵

取力〃的中点。，连接00,C0.因为为=如，所以自“/〃.

又因为/化平面以〃，平面以〃1平面力阅9,平面必〃C平面46折/1〃，所以HLL平面力比江

因为Ck平面ABCD,所以P01.C0.因为AC=CD,所以COLAD.

如图建立空间直角坐标系0-xyz.

D

y

x

由题意得，4(0,1,0),8(1,1,0),<7(2,0,0),〃(0,-1,0),一(0,0,1).

设平面也)的法向量为〃=(x,y,z),则

二江即-V-2=0,

2一=0令z=2,则L1，2,所以〃=(1,—2,2).

n-PB1-2-26

又加=(1，1，-1)，所以cos〈〃，PB)

|〃||PB|囱x百一V

所以直线处与平面/W斤成角的正弦值为坐

⑶

设"是棱必上一点，不妨设存在义仁(0,1],使得AM=4AP.因此点，欣0，1—1，彳)，3M=(-1，

—4,A).

因为必应平面所以要使阴/〃平面八力，则BM-n=0,即(-1,-A,A)•(1,-2,2)=0,解得

20.(2021•广东•)如图所示的几何体由三棱锥P-ADQ和正四棱锥尸-ABC。拼接而成，PQ，平面AOQ,

AB//PQ,PQ=1,AB=2,AQ=5。为四边形ABC£＞对角线的交点.

(1)求证：OP〃平面ADQ；

(2)求二面角O-AP-。的正弦值.

【答案】

(1)证明见解析

⑵在

5

【解析】(1)

取49中点弘连。仇0M,如图，

因。是正四棱锥尸一ABC。底面中心，即。是初中点，则例〃/曲/尸0,0M=；A8=l=P。,

于是得PCW是平行四边形，PO//QM,而PO<Z平面】见?,ZWu平面4?。，

所以四。/平面ADQ.

(2)

在正四棱锥尸一ABC。中，DOLAO,FOL平面4ECO,Z»u平面4a®,则田上M,而尸OcAO=O,PO,AOc

平面POA,

因此，平面〃的，而尸Au平面加，则戊让必，过。作您_L必于区连庞，如图，

DOcOE=O,OO,OEu平面〃应；则有为J_平面式区即必_L施；从而得N3EO是二面角O-AP-O的

平面角，

因PQJ•平面ADQ,则mAQ,AP=^PQ2+AQ2=近，而A。=gAC=应，则P0=2,OE=尸葭°=竽，

RtDOE中，DO=>/2,DE=yjDO2+OE2=—,于是得sinNOEO=空=巫，

3DE5

所以二面角O—AP—。的正弦值巫.

5

21.(2021•上海市洋泾中学)如左图所示，在直角梯形/犯9中，BC//AD,ADA.CD,BC=2,A£>=3,

CD=6,边检上一点E满足DE=1.现将△ABE沿跳'折起到ABE的位置，使平面ARE，平面比如；

如右图所示.

(1)求证：A.CLBE.

(2)求异面直线AC与龙的距离；

(3)求平面AtBE与平面\CD所成锐二面角的余弦值.

【答案】

⑴证明见解析

⑵迈

2

⑶叵

7

【解析】(1)

证明：在图1中，连接阳易求CE=BC=BE=AE=AB=2.

，四边形ABCE为菱形.连接北交跖于点0,则ACLBE.

，在图2中，\O1BE,OCJ.BE.又AQ^OC于。，

二郎_1平面4。。.

又ACU平面AOC,A,C1BE,

(2)

解：由勾股定理可得AC=2>/L,AO=OC=g.

过。作AC的垂线0M,交\cT-M,

则即异面直线AC与应'的距离，

OM

AC762,

(3)

解：在图2中延长班；CD,设BE0CO=G,连接/G.

平面ABE,Ge平面A。。.

又Ae平面AtBE,Ae平面AtCD.

Afi是平面ABE与平面A,CD的交线，

,平面平面宛班；OC1BE,平面ABE_L平面BCDE=BE,

二0。_1_平面ABE,又AQu平面A/E,二OC_LAG,

作O”_LAG,垂足为〃，连接S

又OHcOC=O,二AGJ-平面优乱又C"u平面很况Afi1CH.

AOHC即为平面\BE与平面A,CD所成锐二面角的平面角.

由⑴知，AtBE,8CE为等边三角形，