高中数学设计导数的概念

《普通高中课程标准实验教科书一数学选修2-2》人教A版

导数的概念

授课人：张传涛

单位：河南省开封高级中学

2018年10月

《1.1.2导数的概念(第一课时)》教学设计

开封高中张传涛

一、教学内容解析

本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书一数学选修2-2》，第一章第一节L1.2

的第一课时一导数的概念.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大

(小)值等问题的最一般、最有效的工具.考虑到高中学生认知水平，没有采用一般的：数列一

数列的极限一一函数的极限一一导数这种建立概念的方式，而是从变化率入手，用形象直观的“逼

近”定义导数.这样一来，一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干

扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上；另一方面，学生对逼近的思想有了丰富的直

观基础和一定理解，有利于大学学习严格的极限定义.本节课将导数概念的建立划分为两个阶段:

首先明确瞬时速度和切线斜率的含义，然后去掉物理背景和几何背景，由两个实例出发，抽象出

一般函数的瞬时变化率的概念，给出导数的定义.借助信息技术，通过让学生亲自计算、几何画

板展示等方法，让学生体会逼近的思想和用已知探求未知的思考方法.基于以上分析，确定本节

课教学重点为：建立导数概念及对导数思想和内涵的理解.

二、教学目标设置

本节的中心任务是形成导数概念.概念形成通过两个实例抽象得出：

(1)借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义：

(2)借助抛物线的割线逼近切线的问题，明确切线斜率的含义；

(3)以速度模型为出发点，结合切线斜率抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬

时变化率，理解导数内涵.

(4)通过平均变化率的计算，让学生切身体会逼近思想，渗透以已知探求未知的思考

方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养.

三、学生学情分析

1.重点中学的学生，思维活跃，善于动脑.在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度；

在之前函数零点的学习过程中，已有利用“二分法”逼近函数零点的经验，“逼近”的思想

对于学生而言，并不陌生.因此，学生已经具备了一定的认知基础.

2.可能存在的问题：

(1)使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻附近的一段时间内的平均速度在

时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个确定的值，而且这个确定值就是物体在该时刻的瞬时速

度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，

而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当I△”趋于。时，丝趋于一个定值，

△t

当|Ar|趋于0时，”趋于一个定值.

Ax

(2)在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬

时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对

一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时

变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.

因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的

方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.

四、教学策略分析

基于以上分析，本节课决定采用复习上节课的探究问题一一学生自己计算高台跳水运动

员在0414笠这段时间内的平均速度，发现平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里

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任意时刻的运动状态，从而，由平均速度的局限性，引出学习瞬时速度的必要性.引导学生

思考，如何计算瞬时速度？前面学习的平均速度与要计算的瞬时速度有何关系？用生活中处

理瞬时速度的方法一一用极短时间内的平均速度近似刻画这段时间内任一时刻的瞬时速度，

给学生以启发，可以用同样的方法来探求运动员在某时刻的瞬时速度，注意用已知探求未知

的思考方法.先让学生计算1s附近的平均速度，注意当4趋于0时一，约趋于一个定值；

△t

要求学生亲自计算两串平均速度，让学生在计算的过程中感受逼近的趋势.然后，再探求2s

的瞬时速度，再由特殊到一般，得出任意时刻的瞬时速度；然后换个角度，割线逼近切线，

从而割线斜率逼近切线斜率问题；最后舍弃这两个问题的实际背景，抽象出一般函数的瞬时

变化率的概念，并用数学语言准确表达.用直观形象的逼近思想来刻画导数概念.

通过“学生亲自计算，让学生充分感知平均速度到瞬时速度的数值逼近”；采用学生熟

悉的物理背景平均速度到瞬时速度、割线斜率到切线斜率；以及先由特殊到特殊的类比，再

由特殊到一般的归纳，思维难度逐层递进的策略来突破难点。

基本流程：提出问题，激发求知欲

明确解决问题的想法及途径

组织学生小组合作、自主探索，建立导数概念

通过用导数概念求解例题和练习，进一步理解导数概念

五、教学过程设计

（一）复习回顾

回顾探究：在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度〃（单位：m）与

起跳后的时间f（单位:s）存在函数关系:〃⑺=-4.9/+6.5f+10.

计算运动员在0WtW竺这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

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（1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

回顾上节课计算、交流的结果，明确研究课题.

问题1.在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度〃（单位：m）与起跳

后的时间«单位：s）存在函数关系：竹）=—4.9/+6.5/+10.

计算运动员在1=1的瞬时速度.

【设计意图】

让学生认识到平均速度只能粗略地描述某段时间内的运动状态，并不能精确刻画运动员

在每一时刻的运动状态；而高台跳水运动员需要在跳水过程中做出各种不同的动作，为了设

计不同时刻的不同动作，需要准确把握运动员在每一时刻的瞬时速度.引发学生的认知冲突，

明确本节课学习的必要性.

（-）问题探究：

如何求运动员的瞬时速度？与平均速度有什么关系？引起学生思考！

数学源于生活，用于生活.用测速现场的小视频引起学生思考：高速公路上测速仪，如

何在汽车通过的瞬间，测出其瞬时速度呢？

讲解激光测速仪的原理，利用激光反射，测出汽车在给定时间内的移动距离，从而得

出这段时间的平均速度.设汽车在时刻附近某一时间段内的平均速度是错误!未找到引用

源。，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么错误!未找到引用源。将越来越趋近

于汽车在小时刻的瞬时速度.

同样的方法，我们可以用来研究高台跳水运动员在某时刻的瞬时速度.

师生共同确定想法：计算，=1附近的平均速度，细致地观察它的变化情况.

【设计意图】

(1)由生活实例中的测速原理，引导学生“以已知探求未知”，即从平均速度入手，寻

求解决瞬时速度的思路，明确研究方法的合理性.

(2)问题具体化，即求运动员在/=Is时的瞬时速度.

(三)自己动手，解决问题

1.当加取不同值时，计算平均速度工=〃(1+八)一如)的值.

Af

下表是计算问题1中当，=1秒处附近时间段内平均速度的表格，请分组合作完成此表,

猜想在f=l秒处的瞬时速度，并说明理由.

当加＞0时，在［1』+加］内，当加＜0时，在内，

i(l+Ai⑴2T.3v=-----------=-4.9A/-3.3

(1+Ar)-11-(1+AO

ArVV

0.01-3.349-0.01-3.251

0.001-3.3049一0.001-3.2951

0.0001-3.30049-0.0001-3.29951

0.00001-3.300049-0.00001-3.299951

0.000001-3.3000049-0.000001-3.2999951

为便于观察变化趋势，要计算一组平均速度，引导学生采用数学符号将想法具体化，明

确计算公式.要求学生分组合作，通过学生亲自计算引导他们发现平均速度的变化趋势.

【设计意图】熟悉符号.让学生在亲自计算(数学实验操作)的过程中感受逼近的趋势.

2.当趋近于0时，平均速度3有什么样的变化趋势？

结合学生的计算结果，组织学生观察、讨论平均速度的变化趋势，引导学生说出“当加

趋近于0时，平均速度趋近于一个确定的值-3.3”.

另一方面，根据物理知识，当加趋近于0时，平均速度趋近于瞬时速度.从而得出，当

f=l,Af趋近于0时，平均速度。趋于的定值，就是/=1时的瞬时速度.

借助几何画板，让学生更直观的感受逼近的趋势.观察动画，可以看到更多的4和工的

值，并且随着逐渐趋近于0,平均速度更加趋近7=1时刻的瞬时速度.尽管如此，通过有

限具体的数据只能近似刻画，不能满足我们数学上想要表达的准确刻画瞬时速度的要求.要

想准确刻画瞬时速度，需要有限上升到无限，理想状态下的4无限趋近于0时，平均速度

趋于的定值就是，=1的瞬时速度.

【设计意图】让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义.

3.更多数据，感受规律

我们用这个方法得到了高台跳水运动员在f=1s附近，平均速度逼近一个确定的常数.

那其他时刻呢？比如f=2s?请大家按照刚才我们探究f=ls时的过程，用同样的方法，计

算r=2s时刻附近的平均速度.

【设计意图】更多的数值有利于学生发现其中蕴含的规律.

4.总结规律

运动员在某一时刻办的瞬时速度怎样表示？已知其他路程和时间函数的解析式，求瞬时

速度都是这样吗？

带领学生回顾探求f=l时瞬时速度的全过程，引导学生从特殊到一般，获得时瞬时

速度的形式化表示.教师介绍符号，并解释符号含义.

【设计意图】从特殊到一般，即从特殊点t1,，=2上升到任意点，=为瞬时速度的表示♦

在从特殊到一般的过程中，让学生体会到数学研究同一类问题的思想方法是相同的，获得更

一般的形式化表示.

(四)学习迁移

几何学中也有类似的情况需要无限逼近的思想，例如抛物线的割线和切线的位置关系.

借助几何画板，让学生观察，割线BA,逼近抛物线在点A处切线的过程，再一次直观

体会无限逼近的思想.

问题2.曲线/(x)=-4.9x2+6.5X+10在x=1处切线斜率是多少？

伴随割线逼近切线的过程，割线斜率逼近切线斜率.仿照求平均速度的方法可以求得抛

物线/(x)=—4.9/+6.5X+10在任一点处的切线斜率.

【设计意图】借助几何画板，让学生直观感知逼近思想，将瞬时速度的形式化迁移到切

线斜率上，让学生体会其中的共同点.

(五)抽象概念，数学表达

如果将这两个变化率问题中的函数用都y^(x)表示，那么函数y^(x)在x=x0的瞬时

变化率怎样表示？

比较两个变化率问题，体会它们的共同特征.引导学生舍弃这两个问题的实际意义，抽

象为数学问题.共同写出瞬时变化率的表示，并定义为导数.

【设计意图】舍弃变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数.

导数：一般地，函数>=/(%)在处的瞬时变化率是

lim包=lim小坟匕山之

以->°Ax8-。Ar

我们称它为函数y=/(x)在x=x0处的导数，记作/'(M)或Vlx=x°，即

/,(%)=1加.=1加八/+3一/()

-Ar。Ax

(六)例题讲解

例1.求/(%)=%2在*=2处的导数.

解：因为平均变化率/(2+加0［八2)

Ar

(2+W-22(Ax)2+4ZLr.：

=-----------=----------=Ax+4

AxAx

所以1(2)=lim/.+Ax)二/(2)=的(Ax+4)=4.

Axf0ArAr->0

练习：求/"⑺=/在x=3处的导数.

【设计意图】熟悉导数定义，掌握求导步骤，了解导数内涵.

(七)课堂小结

教师引导学生从以下两个方面进行小结：

知识方面：瞬时速度，切线斜率，瞬时变化率，即导数的定义.

思想方法：思考方法一以已知探求未知，特殊到一般，具体到抽象，逼近思想.

(A)布置作业

1.认真阅读课本例1,计算第3h和第5h原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

2.请大家查阅相关资料，了解导数概念产生的背景与过程.

3.结合上节课平均变化率的几何意义，请大家思考，导数的几何意义是什么？这是我

们下一节要探究的问题.

六、课堂教学目标检测

通过练习题和本节课小结，检测目标情况发现，圆满完成教学目标1,2,3,4.

七、板书设计

导数的概念例.解：

1.瞬时速度：与附近△，趋于0

时，平均速度趋于的定值

2.切线斜率：/附近以趋于0课件

时，割线斜率趋于的定值练习：

3.瞬时变化率（导数）

《导数的概念》课例点评

开封市基础教育教研室高静

导数是微积分的核心概念之一。17世纪中叶，牛顿从运动学的观点出发，

莱布尼兹从几何学的角度考虑，各自用不同的方法，创立了微积分。虽然他们建

立微积分的出发点不同，但殊途同归。基于对微积分产生历史的认识，本节课进

行了大胆的尝试。

导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何

意义。实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度。本节课张老师通过层

层设问，步步引