高中数学人教A版（2019）必修第一册 4 指数函数的图象和性质 同步练习（含解析）

4.2.2指数函数的图象和性质

1.函数=（》/-6X+5的值域为（）

A.(0,16]B.[16,+8)C.(。焉

D.忌+8）

2.函数y=a闭+l(a>0且a*1),xe[-k,k],k>0的图象可能为（）

3,函数y=a"-a?+a（a>。且a丰1）的图象不可能是（）

4.函数/（x）=aW+m（a>0,且a^l）的图象可能是（）

5.下列结论中，正确的是()

A,函数y=2，T是指数函数

-%2+2%

B.函数y=G)的单调增区间是(1,+8).

C.若a771>an(a>0,a1),则m>n

D.函数/(%)=。%一2-3缶>o,。。1)的图像必过定点(2,_2)

2

6.若函数/(%)=%_当.?一1且满足对任意的实数巧都有小产会〉。成立，

(1二2"^人］乙，人J.1z

则实数a的取值范围是,且函数y=a?*-1+1恒过定点.

7,若指数函数y=f(>)的图象经过点(2,4),则/府)=;不等式〃2久—1)W的

解集是.

8.已知y=ax+2-2恒过定点a(Xo，M))且2在直线小久+ny+1=。上，其中nrn>0,则'+§

的最小值为.

9.已知/(%)=-2zn)(%+?n+3),g{x}=2X-2,若同时满足条件：

①V%ER,/(%)<0或g(%)<0；②或E(-00,-4),/(x)5(x)<0.

则血的取值范围是.

10.已知函数/(X)=ax(a>。且a丰1)的图象经过点(2,》.

(1)比较f(2)与/(炉+2)的大小;

(2)求函数g(x)=ax2~2x(x>0)的值域.

11.[洛阳一高高一期末]已知函数/(久)=必―产(口>0,a^l,b>0,1),且f(l)=2,

f(2)=12.

(1)求a,6的值；

(2)若xe[―2,1],求/(*)的值域.

12.已知指数函数y=八功的图象经过点(2,{),

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)当久>。时，求y=/(功的值域.

13.已知函数f(x)=ax-\x>0)的图象经过点(2弓)，其中a>0且a*1.

(1)求a的值；

(2)求函数y=/(x)+1(%>0)的值域.

14.定义在[一4,4]上的奇函数“久)，己知当久e[-4,0]时，/⑶=表+/QGR).

(1)求fO)在[0,4]上的解析式；

(2)若久e[-2,-1]时，不等式/Q)〈翼-磊恒成立，求实数a的取值范围.

15.已知指数函数y=9(久)满足：9(3)=8,定义域为R的函数f(x)=771十乙g(町是奇函数.

(1)确定y=/0)和y=g(X)的解析式；

(2)判断函数/0)的单调性，并用定义证明；

(3)若对于任意比e[-5,-1],都有/(1—幻+/(1-2%)>0成立，求工的取值范围.

16.已知函数/。)=需等是定义在R上的奇函数，其中g(x)为指数函数，且y=g(%)的图象

过定点(2,9).

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若关于x的方程八式)=b有解，求实数b的取值范围；

(3)若对任意的t6[0,5],不等式+2kt)+/(-2t2-4)>。恒成立,求实数k的取值范围.

17.求函数y=4X+2X+1+2的定义域和值域.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了复合函数的值域，属于中档题.

先分解函数，再配方求出二次函数的值域，最后根据指数函数的单调性即可求出值域.

【解答】

解：设〃=/_6%+5=(%—3)2—4>—4,

则y=>一4，

因为y=©尸为减函数，

所以0<G)"&G)-4=16,

即函数/(久)=G)7-6x+5的值域为(0,16].

故选A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象及其性质，解题的关键是掌握指数函数的单调性，属于中档题.

利用函数性质对图象进行分析，选用排除法逐项排除即可.

【解答】

解:设y=/(x)=a田+1,

因为/(—x)=/-4+1=。田+1=/(劝,所以函数f(x)为偶函数,排除2.

由函数y=a因+1>1,且/(0)=2,可排除B,

当a6(0,1)时，选项C符合，

当a>l时，函数图像在[。,网上单调递增，但图像应该是下凸，。不满足题意，

故选C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象和性质，涉及二次函数的性质.

5

令

则22

X-o--a+a+1--+-2

Oy-(4再分a>1和0<a<1得出-(a-h+♦的范围,

结合图象可得.

【解答】

解：令1=0,则y=—a2+a+1=—(a--)2+

在2,8中，由指数函数的性质知，a>1,则一(a—今?+,e(一8,1),

因此a,B可能；

55

贝w2-

a-+--

在C,。中，由指数函数的性质知，0<a<l,44,

因此C可能，。不可能.

故选D

4.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象及函数的图象与变换，熟练掌握指数函数的图象与性质，以及函数图象

的变换法则是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力.

根据指数函数的图象与性质，分0<a<1和a>1两种情况，再结合函数图象的变换法则进行讨

论即可.

【解答】

解：若0<a<l,贝卯=a，单调递减，保留y轴右侧的图象不变，将右侧的翻折至左侧，可得到

y=a园的图象，

再向左平移a的单位，可得到/(久)=〃，+叫符合选项C；

若a>l,贝卯=a,单调递增，保留y轴右侧的图象不变，将右侧的翻折至左侧，可得到y=a⑶的

图象，再向左平移a的单位，可得到f(x)=aK+a|,符合选项8.

故选BC.

5.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数及其性质，复合函数单调性，考查推理能力.

利用指数的定义判断4选项；利用复合函数单调性，判断B选项；

利用指数函数单调性，判断C选项；

利用指数函数过定点，令％-2=0,得/(2)=口。-3=-2,得到函数的定点，判断D选项.

【解答】

解：利用指数函数的定义知道，函数y=2，T的系数不为1,所以不是指数函数，所以A错误；

设t=-x2+2x,所以函数t=-x2+2x在(1,+8)单调递减，

t一%2+2%

因为y=(1)为减函数，利用复合函数单调性得函数y=6)一的单调增区间是(1,+8).所以B

正确.

当0<a<!.时，y=必为单调递减函数，所以am>an时，则所以C错误；

令X—2=0,所以x=2,所以f(2)=。。-3=-2,所以图像必过定点(2,-2),所以。正确.

故选BD.

6.【答案】［4,8)

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的单调性，是解答的关键，考查了指数函数图象过定点问题.

若对任意的实数丰石都有->0成立，则函数f(x)=。_2)x+2久<1在R上单调递

增,进而可得a的范围.由2x—1=0,得x=2,进而得出定点.

【解答】

解：•••对任意的实数对丰久2都有>0成立，

X;1二x2

Cdx%>]

二函数〃式)=[(4—+2,x<]在尺上单调递增，

a>1

T>。,

{a"-]+2

解得：ae[4,8),

由题意，2x—1=0,得x=g,则旷=a。+1=2,

则y=a2x-r+1恒过定点G，2).

故答案为[4,8);G，2).

7.【答案】V2

[0,+8)

【解析】

【分析】

先求出函数的解析式，从而可得/6)的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等

式即可求解.

本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题.

【解答】

解：设y=/(%)=aX,(a〉0,a力1)

因为y=/(久)的图象经过点(2,4),

所以a2=4,所以a=2,则〃幻=2"

黑)=2'V2,

f(2x-1)<Gy"”等价于22XT<23XT,

由函数y=2%是R上的增函数,

可得2%-1<3x-l=>x>0,则原不等式的解集为［0,+8).

故答案为：々,［0,+8).

8.【答案】9

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，由已知求出力的坐标，代入直线巾x+ny+1=0,可得2爪+

n=l,故求出2+工的最小值.

mn

【解答】

解：；y=axQa>。且a丰1)的图象恒过定点(0,1),

...函数y=/+2—2(a>0且a丰1)的图象恒过定点4(—2,-1),

由点4在直线mx+ny+1—。上，得—2m—n+1=0,

2m+n—1.

•••mn>0,

21212n2m

m--n--1—=(2m+?mi)(---n-1—)=5mHn1------

>5+2I---=9,

\mn

当且仅当m-n=］时等号成立，

故答案为9.

9.【答案】(-4,-2)

【解析】

【分析】

本题考查二次函数和指数函数的综合应用，由①可推得人久)=m(x-2m)(x+m+3)<0在久>

1时恒成立，建立关于小的不等式组可得小的范围，然后由②可得：3%£(-8,-4),使。-2m)(%+

机+3)<0成立，只要使-4比2小，-爪-3中较小的一个大即可，分类讨论可得根的范围，综合

可得.

【解答】

解：,•・g(%)=2-2,当x21时,g(x)>0,

又•・,VxGR,f(%)<0或g(%)<0

・•・/(x)=m(x-2m)(%+m+3)<0在％>1时恒成立，

所以二次函数图象开口只能向下，且与％轴交点都在(L0)的左侧，

'm<0

即—m—3<1,解得一4<m<0；

、2m<1

又因为玉G(-00,-4),又第)为%)<0.

而此时有0(%)=2%—2<0.

•••3%e(—oo,—4),使/(%)=m(x-2m)(%+m4-3)>0成立，

由于m<0,所以次E(-8,-4),使-2TH)(X+m+3)V0成立，

故只要使—4比2m,—m—3中较小的一个大即可，

当66(-1,0)时，2m>-m-3,只要一4>一瓶一3,解得TH>1与mE(-1,0)的交集为空集;

当772=—1时，两根为—2；—2>—4,不符合；

当m€(―4,-1)时，2znV—zn—3,.,•只要—4>2zn,解得TH<—2,

综上可得加的取值范围是：(-1-2).

故答案为(-4,一2).

10.【答案】解：⑴由已知得：a2=2,且。>0,解得：a=^,

V/(%)=G)x在R上递减，2W+2,

•••f(2)>fU+2)；

(2).・.%>0,x2-2x>-1,

(^)X2-2X<3,又(/一2x>0,

故g(x)的值域是(。,3].

【解析】本题考查了函数的单调性、值域问题，考查指数函数的性质.

(1)求出a的值，根据函数的单调性比较函数值的大小即可；

(2)根据函数的单调性求出函数的值域即可.

11.【答案】解：(1)因为/(l)=a—b=2,/(2)=a2—炉=12,

所以a=4,b=2.

(2)由(1)可知，/(%)=4X-2X=(2%)2-2%,

令力=2%,因为％C[-2,1],

所以t6,2].

于是(2，)2_2%=/_=«_52_$

根据函数y=(t—1)2-1的图象(图略),

1-1

可知当teg,2]时，ymin=ymax=2,

所以若xe[—2,1],

则/⑺的值域为

4

【解析】本题考查函数解析式的求解，指数函数，二次函数的性质，属于基础题.

(1)代入解方程组即可；

(2)根据指数函数，二次函数的性质求函数的值域即可.

12.【答案】解：(1)设指数函数y=/(%)=ax(a>。且a丰1),

因为y=汽动的图象经过点(2,{)，

所以/(2)=a2=],

则a=3或a=舍)，

所以V=/(x)的解析式为：/(%)=

(2)易知函数/(%)=6)”在[0,+8)上为减函数，

所以八久)wf(o)=G)=1,

又/(x)>0,

所以。</0)<1,

即/㈤的值域为(0,1].

【解析】本题考查了指数函数的解析式，以及利用函数单调性求值域.

(1)先设出指数函数的解析式，再代入点(2,；),即可求出结果;

(2)利用指数函数的单调性可知/(久)=G)”在[0,+8)上为减函数，即可得出结果.

13.【答案】解：(1)因为函数-乃=a*T(%NO)的图象经过点(2,勺，

所以/(2)=a2-i=a.即。=机

(2)由(1)得人久)=0),

函数在[0,+8)上是减函数，当工=0时，函数取最大值2,

故/(无)6(0,2],

所以函数y=f(x)+1=+1(%>0)e(1,3],

故函数y=/(%)+1(%>0)的值域为(1,3].

【解析】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值以及求函数解析式等，中档题.

⑴由中)的图象过点(2,%代入即可求解.

(2)先判断函数/(%)=(y-1在[0,+8)上是减函数，即可得解.

14.【答案】解：(1)由题意，函数/Q)是定义在[—4,4]上的奇函数，所以〃0)=l+a=0,

解得a=-l,又由当％6[-4,0]时,f(x)=/+/=/一亲

当％6[0,4]时，则一久€[—4,0]时，f(一久)=与_与=#—33

43

又/(%)是奇函数,所以fO)=-/(-x)=3X-4X,

所以当xG[0,4]时,/(X)=3,一4。

(2)因为xG[-2,-1],(Q)W段—高恒成立，

即w3一黄7在XG[-2,-1]恒成立，

所以专+1三关在久e[-2,-1]时恒成立，

因为*>0,所以©尸+2(|尸〈小在xG[―2,—1]时恒成立，

设函数g(x)=©尸+2($l

由y=G)，y=(|尸在R上均为减函数，可得函数。(久)在R上单调递减，

因为Xe［-2,—1］时，所以函数g（x）的最大值为放一2）=（1）-2+2（|）-2=y,

所以爪2号，即实数小的取值范围是［号,+8）.

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题，考查转化思想

和运算能力、推理能力，属于中档题.

（1）由题意可得f（0）=0,求得a,再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得〃久）在［0,4］上的解

析式；

（2）由题意可得表—表W%—吉在％G［―2,—1］恒成立，由参数分离得（y+2（|尸<根在xG

［-2,-1］时恒成立，构造函数，利用函数的单调性求得最大值，即可得小的取值范围.

15.【答案】解：（1）设g（久）=ax（a>0且a丰1）,

"g（3）=a3=8,

a=2,

・•.g（%）=2X,

i—2X

,・"（久）是R上的奇函数，

Hnl—2-11-2人

即-----I-------=0,

m+1m+4

解得m=2.

经检验，当爪=2时，/（久）=聂亮为奇函数，

八乃=品；

（2）/（乃是定义在R上的减函数，证明如下：

任取%1，%2ER，V%2，

、//、1-2X11-2X2

则/'（巧）-/（久2）=2（1+2「1）—2（1+2相）

_2-2_2町

一（1+2町）（1+2*2y

/V全，

.・.2%2-2%1>0,

又1+2/>0,1+2外>0,

.•./(Xi)>/(X2),

•••/(久)是定义在R上的减函数；

(3)••"(1-%)+/(I-2%)>0,且/'(%)为奇函数,

/(1-%)>/(2%-1),

-5<1-x<-1

-5<1—2%4—1,

1—%<2%—1

解得2<%<3,

x的取值范围是[2,3].

【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，指数函数及其性质，属于中档题.

(1)利用指数函数过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程，解方程得到本题结论；

(2)利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；

(3)利用函数的奇偶性将原不等式化为f(l-%)>f(2久-1),利用函数单调性及已知条件可得

—541—xW—1

-5<l-2x<-l,解不等式组得到本题结论.

<1—x<2x—1

16.【答案】解：(1)设g。)且all),则M=9,

所以a=-3(舍去)或a=3,

所以g(尤)=3，，f⑸=霖.

又f(x)为奇函数，且定义域为R,

所以"0)=0,即％二5=0,所以爪=1,

所以f(x)=

(2)因为用)=会=-爵

_3。1-2_«,2

-1+3X—-+1+3X，

又因为1+3X>1,故可得0<[jx<2,

故/⑶e(-1,1),

又因为/(%)=b有解,

故可得bG(-1,1),

(3)设％1<%2，

则““】)一〃孙)=品一碎

_2(3%2-3%1)

一(1+3X1)(1+3X2)*

因为的<%2,所以3型-3%>0,

户…2(3，-3盯)

所'(1+3肛)(1+3工2)>

所以fSi)-g>0,即f(如)>g,

所以函数〃久)在R上单调递减.

要使对任意的t