新教材苏教版高中数学必修第一册期末模拟二（解析）

高一数学第一学期期末模拟(2)

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设集合4={y|y=2X/eR},B={标-1<()},则4uB=()

A.(—1,1)B.(0,1)C.(―1,+o0)D.(0,+oo)

【答案】C

【解析】4={y|y=2*,xeR},即4=(0,+8),

B={x\x2-KO},即8=(-1,1),

A\JB—(0,+8)u(—1,1)—(—1,+8),

故选C.

2.“x<0”是“InQ+1)<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】ln(x+1)<0—()<工+1<1O—1<X<0.

由刀<0分一1<x<0,

由一1<x<0nx<0,

.,.“X<0”是“1»(T+1)<0"的必要不充分条件.

故选8.

3.已知不等式a/+。刀+2>0的解集为{刈-1(比<2},则不等式2/+法+a<0的解集为()

]_1

A.{%|-1<%<-}B.{x\x<-1或x>-}

C.{x|-2<x<1}D.{x\x<—2或%>1]

【答案】A

【解析】•・•不等式a/+力％+2>0的解集为{%[-1<%V2},

・•.ax2+b%+2=0的两根为—1,2,且a<0,

即-1+2=——j(―1)X2=—,

aa

解得a=-1,b=1,

则不等式可化为2/+%-1<0,

解得-1<%<a

则不等式2/+6%+a<。的解集为{x|-1<x<1}.

故选A.

4.函数“久)在(一8,+8)上单调递减，且为奇函数.若〃1)=一1,则满足一13”久2)<1的x的取值

范围是()

A.[—2,2]B.1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】。

【解析】•••函数f(x)为奇函数，

若/⑴=-1,W(-i)=-/(1)=1，

又・函数/(X)在(-8,+8)上单调递减，-1</(x-2)<1,

——241,

解得：1WxW3,

所以x的取值范围是[1,3].

故选。.

5.函数y=2⑶sin2久的图象可能是()

【答案】D

【解析】根据函数的解析式y=2⑶sM2x,2Tsin(—2工)=—1=—y,

得到函数为奇函数，其图象关于原点对称,

故排除A和b

当x=］时，函数的值为0,故排除C.

故选D

6.若log4(3a+4b)=logzVH^，则a+b的最小值是()

A.6+2A/3B.7+2V3C.6+4百D.7+4V3

【答案】D

【解析】3a+4h>0,ab>0,

/.a>0,h>0,

log4(3a+4b)=log2Vab,

•••log4(3a+4b)=log4(afo)

3a+4b-ccb，所以工H—=1,

ba

/34\

a+b=(a+/?)x1=(a+/?)(丁4—I

\ba/

3a4h3a4b

=7+—+—>7+2—.—

ba«ba

=7+4V3,

当且仅当等=F，即b=2遮+3,a=4+2佟寸取等号.

故选D

7.若tcma=I，则cos2a+2sin2a=()

AA-元64B.gC.1D.||

【答案】A

3

【解析】tana=・•・cos2a+2sin2a

4

cos2a+4sinacosa

sin2a+cos2a

1+4tana

tan2a+1

3

J+4X.

T6+1

64

-25"

故选A.

8.已知函数/'(x)=sin((ox+9)(3>0,\<p\<^),x=-为/(x)的零点，x=为y=/(%)图象的对称轴,

且f(x)在邑，当上单调，则3的最大值为()

lo36

A.11B.9C.7D.5

【答案】B

【解析】••・X=一:为/0)的零点，尤=3为丫=/(%)图象的对称轴，

•T=-,即吧•/=巴，(nGN),

42432、7

即3=2n+1,(nEN),即3为正奇数，

•・•/(X)在(二，亚)上单调，则/

八,11836，3618122

即7=22g解得：3412,

36

11TT

当3=11时，-----\~(p—k.n,kEZ,

4,

।।j7T71

•••切〈二，0=一£，

Z4

此时,(X)在邑，?不单调，不满足题意；

lo36

当3=9时，----Fw=kn,kEZ,

4

•••取<p(p=?,

此时/(©在邑表)单调，满足题意；

loDO

故3的最大值为9,

故选艮

二、不定项选择题(本大题共4小题，共20.0分)

9.将函数/(%)=sin2x向右平移?个单位后得到函数gO),则g(x)具有性质()

A.在(0,已)上单调递增，为偶函数

B.最大值为1,图象关于直线x=:对称

C.在(-蜘上单调递增，为奇函数

D.周期为兀，图象关于点6,0)对称

【答案】ABD

【解析】因为将函数/(%)=sin2x向右平移？个单位后得到函数

g（E）=sin2（1-----）=sin（2x——J=—eo«2x,

由于g(-z)=-co«2(-x)=-cos2x=g(工),所以g(x)为偶函数，且在(0,£)上单调递增，所以A正确，排

除C,

9(X)nax=1＞。管)=-«»(：%■)=1,所以8正确,9(牛)=一而传)=()，周期为兀，故。正确.

故选ABD.

10.已知函数/(%)是［2-矶2m-6］(?neR)上的偶函数，且/(%)在［2-TH,0］上单调递减，则/(%)的解析式

可能为()

A./（%）=%2+mB.〃上)=一，/

m

C./(x)=xD./(x)=k〉gr〃(W+1)

【答案】ACD

【解析】••,/(%)是［2-m,2m-6］(mGR)上的偶函数，

・♦・2—m+2m-6=0得zn=4,

则f(%)在［-2,0］上单调递减，/(%)是［一2,2］(血6R)上的偶函数，

4/(%)=/+4是偶函数，在［-2,0］上单调递减满足条件.故A有可能；

8/(%)=-4可，是偶函数，当XW0时，/。)=-4-x=-(》，为增函数，不满足条件；

C./(x)=%4,是偶函数，则［-2,0］上单调递减满足条件.故C有可能；

Df(%)=log4(|%|+1)是偶函数,当/W0,/(%)=log4(-x+1)是减函数，满足条件，故。有可能.

故选：ACD.

11.已知a,仇则下列推证中不正确的是()

A.a>h=>am2>bm2B.->-a>b

cc

2222

C.ac>be今a>bD.a>b,ab>0=>-<^-

ab

【答案】ABD

【解析】对于Am=0时不成立；

对于8.c<0时不成立；

对于Cac2>be2,两边同除以,可得a>b,正确；

-11

对于。.由a?>炉,。％>0,取a=-2,b=-1,贝卜〉二，所以也不成立.

ab

故选ABD

(%—a)2%v0

,1,^「若人"是人乃的最小值，则实数。可能的值为()

(XIICLfX>U

x

A.2B.—2C.1D.—1

【答案】AB

【解析】当aVO时，/(%)=(x-a)2(x<0),此时最小值/(a)=0,

“X)=x+[+a(久>0)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增，即此时最小值为/'(1)=a+2,

•••f⑴是f⑺的最小值,

.,•。+240,—2,

当a>0时，/(x)=(x-a)2(%<0),此时最小值f(0)=a2,

f(x)=x+}+a(x>0)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增，即此时最小值为/(I)=a+2,

・；/⑴是/'(x)的最小值，

•■a+2<a2,a>2,

•・.满足题意的取值可为a=2或a=-2,

故选A3.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.不等式号>1的解集为.

【答案】(—8,0)

【解析】由于>1得:

1-->1=>-<0=>%<0,

XX

故不等式的解集为：(-8,0),

故答案为(-8,0).

14.设x>0,y>0,x+2y=5,则(-要+1)的最小值为

【答案】4V3

【解析】％>0,y>0,%+2y=5,

2xy+x+2y+l

^.(x+l)(2y+l)费=2后;+看

川一Vxy4xy

由基本不等式有:

2历+券"J历•言=4后

当且仅当2历=券时,

即：町=3,x+2y=5时，即：或］；7时，等号成立,

(%+l)(2y+l)

故的最小值为4百;

故答案为：4V3.

15.已知扇形的周长为4CM,当它的半径为和圆心角为弧度时，扇形面积最大，这个最

大面积是.

【答案】1cm;2;1cm2

【解析】设扇形的半径为广，弧长为/,贝〃+2r=4,

即I=4-2r(0<r<2)①，

扇形的面积s=3r，将①代入，

得：S=1(4—2r)r=-r2+27=—(r—l)2+1,

所以当且仅当r=l时，S有最大值1.

止匕时Z=4—2x1=2,a=-=2.

r

所以当a=2rad时，扇形的面积取最大值1.

故答案为1cm;2;1cm2

16.方程sinx+V5cosx=1在闭区间[0,2兀]上的所有解的和等于.

【答案】y

【解析1vsinx+y/3cosx=1,

i..V3i

A-sinxH----cosx=一，

222

即sin。+§=

可知久+g=2kn4-g或％+-=2kli+—,k6Z,

又1xe[0,2/1],

117T_p.7T117T,7177r

・••%=X或”=亍•.•T+5=9

故答案为：y.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知函数=Asin（wx+（p）+B（A>0,w>0,|如<》的部分图象如图所示:

(1)求/(久)的解析式；

(2)求/(久)的单调区间和对称中心坐标；

(3)将/(%)的图象向左平移:个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移

1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在上的最O大值和最小值.

解：(1)由图象可知

解得《：，

T7TT77r71T

又由于_=------=>T=71,

21212

所以W=y=2,

由2sin(2x告+8)-1=1,

v+1=5+2M*ez),

又㈤

所以8

所以f(久)=2sin(2x+|)-1；

(2)由⑴知，/(%)=2sin(2x+^)-1,

令2A,TT——C2T+—^2far+-,A,€Z,

得《HW如+—,kEZ,

所以f(x)的单调递增区间为?什-：：*7T+1]"€Z,

令加7T+/21+g42far+rA€Z,

得fcir+—《工(kn+—,keZ,

所以f(x)的单调递减区间为[kir+^kTt+^keZ,

令2工+；=hr,keZ,得工=4-',卜wz,

所以/'(x)的对称中心的坐标为(1——1),k€Z；

⑶由已知的图象变换过程可得：g(x)=2s讥(x+与)，

因为0

<x<O

UUI、I27T),2nUTT

所以至+高，

所以当％+§=§,得久=当时，g(x)取得最小值9(生=一2,

当刀+4=:时，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=Q

18.已知/(久)是定义在R上的偶函数，且xWO时，/(x)=log|(-x+l).

(1)求f(3)+/(—1)；

(2)求函数/Q)的解析式；

(3)若f(a-l)<-1,求实数a的取值范围.

解：(1)•••/(X)是定义在R上的偶函数，

X<。时，〃H)=1暨(-1+1),

，/⑶4-/(-I)=/(-3)+/(-I)=logi4+logi2=-2-1=-3；

(2)令x>0,则—x<0,f(-x)=log|(x+1)=/(x)

X>0时，fM=10gi(x+1),

2

logi(—x+1),x<0

则“")=%9；(久+1),%>0：

2

⑶•."(%)=logi(-x+1)在(—8,0］上为增函数，

•••f(X)在(0,+8)上为减函数，

•."(a-1)<-1=/⑴，所以/(|a-1|)<f⑴,

*'•\d-11>11

解得a>2或a<0.

19.一半径为2m的水轮如图所示,水轮圆心。距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈,

如果当水轮上点尸从水中浮现时(图中点P。)开始计算时间.

(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度九(根)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？

(3)记/•«)=%,求证:不论1为何值，=(t)+f(t+l)+f(t+2)是定值.

解：(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点。且与水面垂直的直线为y轴,

建立如图所示的直角坐标系，设h=As讥+。)+k,(-^<</><0),

则/=2,k=1,

T=3=—,

0)

27r

CL)=—3

・•・h=2sin(j^-t+0)+1,

t=0,h=0,

・•・0=2sin(l)+1,

・••sin0=—I，

TT■八

V--<0<0,

•'•©=一%

・•・h=2sin(—t--)+1

36’

(2)令2sin(6I-。+1=3,得sin(9—)=1,

5ODo

2nTT_7T

一,

3L6—2

・•・t=1,

・・•点P第一次到达最高点大约要Is的时间；

(3)由(1)知：f(t)=2sizi(—t—)+1=V3sin—t—cos—t+1,

36’33

/(t+1)=2sin(—t+—)+1=2.cos—t+1,

jT(t+2)—2sin(—t+—)+1=—V3sin-t-cos—t+1,

・・・/(t)++(t+1)++(t+2)=3(为定值).

20.某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每

年增加40万元.每年企业销售收入500万元，设((71)表示前〃年的纯收入(f(71)=前〃年的总收入-前

"年的总支出-投资额).

(1)从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：

①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；

②纯利润最大时，以160万元出售该企业.问哪种方案最合算？

解：由题意知每年的运营费用(万元)是以120为首项，40为公差的等差数列.

则/(n)=500n-[120n+x40]-720

=-20n2+400n—720.

(1)获取纯利润就是f(n)>0,

故有一20M+400n-720>0,

解得2<n<18.又&N*,可知从第三年开始获取纯利润.

(2)①年平均利润呼=400-20(n+^)<160,当且仅当n=6时取等号.

故此方案获利6X160+480=1440(万元)，此时n=6.

@/(n)=-20n2+400n-720

=-20(n-10)2+1280,

当n=10时，f(jt)max=1280.

故此方案共获利12804-160=1440(万元).

比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，

故选择第①种方案.

21.已知函数/(%)=4支+联241+1,

(1)当a=-1时,求函数f(x)在久£的值域;

(2)若关于尤的方程/(%)=0有实数解，求。的取值范围.

解：(1)当a=-l时，/(x)=(2X)2-2x2x+1,%e[-1,2],

令"2,呜4],

则y=t2-2t+l=(t-l)2,(-<t<4),

即当t=l时,ymin-o;

当t=4时，ymax=9,

••・函数/(x)的值域为[0,9];

(2)方程/(X)=0有解，

即。)2+2ax2x+l=0有解，

令t=2X,贝亚>0,

则方程产+2at+