高中数学《根式与指数幂》导学案

■F第：苍.本初等;函数(【)

W2.1指数函数

2.1.1指数与指数幕的运算

第1课时根式与指数幕

卜课前自主预习

1.根式的定义

(1)4的〃次方根的定义：[3如果％"="，那么X叫做。的〃次方

根，其中〃>1,且几£N.

(2)Q的n次方根的表示

①当〃是奇数时，回。的〃次方根表示为名,6ZGR；

②当〃是偶数时，国。的〃次方根表示为土坛,其中一%表示

a的负的〃次方根，。£[0,+°°).

(3)根式：13式子％叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开

方数.

2.根式的性质

(1)(%)"=叵I4(〃为奇数时-，aGR；〃为偶数时，。20,且〃〉

1).

m—为奇数，且〃>1),*

⑵汨=叵1(〃£N且〃>1).

[⑷(〃为偶数，且〃>1)

3.分数指数暴的意义

mn/---m

Cl）a"—\7\,a~“=f=区1不—（其中a>O,m,ng

a~4a^

N*，且刀>1）.

(2)0的正分数指数幕等于里”)的负分数指数幕蚂没有意义.

自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)因为32=9,所以3是9的平方根.()

⑵当时，(勺二记)"都有意义.()

(3)^/(3—7T)2=7T—3.()

答案(1)V(2)X(3)7

2.做一做

(1)(教材改编P54TD用根式的形式表示下列各式(。>0)：

13

①/=，②Q了=,

32

③「了=，④Q—可=

(2)(教材改编P54T2)将下列根式写成分数指数基的形式(其中

a>h>0).

①飞((2-少=,②.(/一从尸________,

41-------41-------

③y]a2b—ab2=,④yl(a2—b2)2=.

(3)若n为偶数时,y](x—l)n=x—l,则x的取值范围为.

答案(1)①汨②47③一匚④」一

7311

(2)①(〃-Z?)②(〃2—h1)③—ab2)④(a?—h2)

(3)x21

卜课堂互动探究

『释疑解难』

1.々下与(%)〃的区别

(1)仍是实数a"的〃次方根，是一个恒有意义的式子，不受八

的奇偶限制，但这个式子的值受〃的奇偶限制.其算法是对a先乘方，

再开方(都是〃次)，结果不一定等于。，当〃为奇数时，初=。；当

a,。20,

n为偶数时，勺/=|a=

—Q,Q<0.

(2)(%)"是实数a的n次方根的n次幕，其中实数a的取值由n

的奇偶决定.其算法是对。先开方，后乘方(都是〃次)，结果恒等于

a.

2.分数指数募的理解

m

(1)分数指数幕是指数概念的又一推广，分数指数赛a”不可理

解为彳个a相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式

与分数指数幕是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

(2)把根式行化成分数指数幕的形式时，不要轻易对?进行约

分.

3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分

23z3

数指数赛，如(-5)丁=，(一5"有意义，但(-5)7=

一(—5)3就没有意义.

探究1根式的概念利用根式的性质化简

例1(1)①16的平方根为,-27的5次方根为

②已知/=6,贝I%=；

③若后;有意义，则实数%的取值范围是.

(2)化简：①勺(一一兀)"(％＜兀,〃£N")；

②.而2-4Q+

解析⑴①.「(±4)2=16,「.16的平方根为±4.—27的5次方根为

②,二x7=6,.'.x=y/6.

③要使勺%-2有意义,则需%—220,即Q2.因此实数%的取值

范围是［2,+°°).

(2)①,「％＜九,「•%一兀＜0,

当n为偶数时，yl(x—it)n=\x—7t\=Tt—x-,

当n为奇数时，y］(x—7t)n=x—n.

…n，------\TI~X,〃为偶数，〃£N*,

综上，弋(％—兀)"=，心主知uz*

X—71,〃为奇数，/?GN.

②弓「.1一2心0,

［船］-4"+1=yl(2a—I)2=|2。—11=1—2a.

答案⑴①±4*行②幅③［2,+8)

(2)见解析

拓展提升

1.判断关于n次方根的结论应关注的两点

(1)〃的奇偶性决定了〃次方根的个数；

(2)〃为奇数时，。的正负决定着〃次方根的符号.

2.根式化简求值解题思路

解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,

然后运用根式的性质进行解答.

【跟踪训练1](1)下列说法正确的个数是()

①16的4次方根是2；②句正的运算结果是±2；③当n为大于1

的奇数时，彷对任意a£R都有意义；④当n为大于1的偶数时，坛

只有当时才有意义.

A.1B.2C.3D.4

(2)已知加°=2,则相等于()

A.跖B.-%C.FD.±】细

(3)化简下列各式：

①.-27；②(，-9)%③y[(a—bf.

答案(1)B(2)D(3)见解析

4.—

解析(1)①16的4次方根应是±2；②/=2,所以正确的应为

③④.

(2);/°=2,...根是2的10次方根.又一IO是偶数，，2的10

次方根有两个，且互为相反数，，m=±1%.

(3)^=抽节=-3.

②(牛历)』一9.

1---------[a—b(a^b)9

③=\a-b\=]

\b—a(a<o).

探究2带条件的根式的化简

例2设一2<x<2,求2x+1—N-+4光+4的值.

解原式=叱%—I)?一，(X+2)2

=|x-1|-1%+2],

-2<x<2,

当一2<%<1时，

原式=—(%—1)-(x+2)=-2%-1,

当1W%V2时，原式=%—1—(%+2)=-3,

-2x—1,—2<x<l,

「.原式=

—3,1W%<2.

拓展提升

带条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可

以通过配方、拆分等方式进行化简.

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,

在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

【跟踪训练2】若麻加<0,则

'm2+2nm+-2mn+。等于()

A.2mB.2nC.12mD.12n

答案C

解析原式=7(m+研—\J(m—n)2—\m~\~n\—\m-n\,".'n<m<0,

m+n<0,m—n>0,原式=—(/%+〃)一(机一〃)=—2机.

探究3根式与分数指数塞的互化

例3下列根式与分数指数幕的互化中，正确的是()

A.—^~x=(—jr)T(J;^>0)

B.x~5——A/T(

—)(久，)W。)

解析

对于A,—77=—/■，所以A错误；对于B,

一=白,所以B错误；对于C,(?)'=J(、『(孙

yWO),所以C正确；对于D,厅=|y|十,所以D错误.

答案C

拓展提升

根式与分数指数幕互化依据

(1)在解决根式与分数指数得互化的问题时，关键

是熟记根式与分数指数量的转化式子：〃=斤和a)

=±=石二，其中字母a要使式子有意义.

c7/八m

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数累的途径有两条：一是

由里向外化为分数指数嘉；二是由外向里化为分数指数塞.

【跟踪训练3]用分数指数塞表示下列各式：

§/33-3/57-57]

(1)原式=A/ab2•a-b-=a?b?=(a?,b-)3—

57_

a~b~(a,b>0).

11_j.

(2)原式=—y—i-=~T=JC5(JCT^O).

JC3

1.缶呜(/)〃两式子的含义

(1)、/是实数/的〃次方根，是一个恒有意义的式子，不受〃的

奇偶限制，但此式的值受〃的奇偶限制：当〃为大于1的奇

数时，y/af,=a；当〃为大于1的偶数时，勺/=|Q|.

(2)(%)"是实数%的〃次事，当n为大于1的奇数时,(%)"=/

a£R；当〃为大于1的偶数时一，(％)"="，.由此知只要(缶)"有

意义，其值恒等于m即(缶)"=&

2.正确理解分数指数塞概念

对于分数指数塞概念的理解应注意以下问题：

(1)分数指数幕不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法,

分数指数累与根式可以相互转化.

mm

(2)由分数指数幕的定义知aWO时，，a"可能会无意义，而

有意义时可借助定义将底数化为正数，从而利用有理数指数塞的性质

运算.

卜随堂达标自测

1.已知％5=6,则％等于()

A.&B.^/6C.—\[6D.±^/6

答案B

解析由根式的定义知，9=6,x=洸,选B.

2.下列各式正确的是()

A.、(一3)2=.3B.yf^=a

C.隹=2D.J(-2)3=2

答案C

解析由于述(-3)2=3,飞(-2)3=-2,故A,B,D

错误.

3.若母荷―4〃+[=汴五,则实数。的取值范围是()

A.(—8,2)B.$+8)

弟,+-|D.1-8,1

答案D

角星析,二.船?-4a+1=y[(2a-Vf'=^(1—2a)2—■\J1—2a,

1—2。10,即QW；.

4.计算下列各式的值：

(1)；

(2)设辰0,则(尸^产:.

答案(1)—5Q)—b

解析(1)牛二苧=一盘=一5.

(2)：.-b>Q,：.(正4)2=一。.

5.计算：^/(e+e~1)2—4+^/(e—e"')2+4(e^2.7).

解原式=^e2+2+e2—4+y/e2—2+e2+4=

^J(e—e-1)2+^/(e+e1)2=e—e-1+e+e1=2e^5.4.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.若跖斗/"步尸=0,aWO,且〃£N*,贝(J()

A.a>0,且八为偶数B.a<0,且〃为偶数

C.a>0,且〃为奇数D.a<0,且〃为奇数

答案B

解析由(〃+/)"+】=〃，得距1=一。,故〃为偶数且Q<0.

2.若xyNO,那么等式M歹=—孙⑦成立的条件是()

A.%>O,y>0B.%>O,_y<0

C.%<O,y>0D.%<O,y<0

答案C

'%2y3>0,

x<0,

解析依题意，得<-xy>0,解得故选c.

加>n0，

J>0,

4,------

3.若后工+(。-4)°有意义，则。的取值范围是()

A.[2,+8)B.[2,4)U(4,+8)

C.(一8,2)U(2,+8)D.(—8,4)U(4,+8)

答案B

解析由题意可知，a—2>0且a—4W0,・二〃的取值范围是

且QW4,故选B.

4M+45+,7—4小等于()

A.-4B.2^3C.-2^3D.4

答案D

解析77+473+^7-4^3=叱2+小-+1(2-小尸(2+

小)+(2-小)=4.

5.当12—%有意义时，化简7%之―4%+4—6%+9的结果为

()

A.2x—5B.—2x—1C.—1D.5—2x

答案c

解析由.2—%有意义得％W2.由y/x2—4工十4—y/x2—6%+9=|%—

2|-tx-3|=(2-x)-(3-%)=-l.

二'填空题

6.化简：yjh—(2-\[b—1)(1<Z?<2)=.

答案也T

解析