高中数学：求椭圆的焦半径

高中数学：求椭圆的焦半径

问题：设M（x。，尢）是椭圆『+瓦=1卜”＞°）上一点，勺和，2

分别是点M与点司F。）、玛（。，0）的距离。求证

八=&+”0,”。一的，其中e是离心率。（人教版《数

学》第二册（上）P133）

椭圆上任一点M与焦点Fi或F2的距离小熊叫做椭圆的

焦半径，也称勺为左焦半径，弓为右焦半径。

一、焦半径的求解思路

思路1：由椭圆的定义有：勺+弓=21＜1＞

故只要设法用林a、C等表示出勺-2（或八F）,问题就

可迎刃而解。

由题意知r：=（Xo+c）'+M,

r；=（勺-cP+“

两式相减得L+々L）=4%

联立＜1＞、＜2＞解得：r!=a+ex0,r2=a-ex0

在勺=a+ex（）与2=a-"o中，叫前的符号不表示正、负，真

正的正、负由而确定。

思路2：设焦点及（-四，。）、玛标，°）

贝仙+弓=2&,即/（的+四）2+%+〃厂四只+宕=2a<1>

另有（X。+ae）2+义卜［（而-四）?+M=4aexo<2>

<2>+<l>得:Jbo+城+代--ae?+*=2%<3>

<1>,<3>联立解得：J（xo+ae）2+»=ri=a+"o

J（x（）-ae?+y；=r2=a-ex0

把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建

方程组得解。

思路3:推敲「1=而。+C）*+*n。+"。的沟通渠道,应从消

除差异做起，根式中总理应代换。

由点M在椭圆上，易知IaJ

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则'=jx；+2cx0+c+b--yXg

=J+2a*—x+a2

a）a0

2

='（ex。）'+2a&x0+a

1110<1,-a<xQ<a知叫+a>0

故八

同理々=«一哂

上述思路体现了先消元5）转换成关于X。的二次三项式,

再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与-。工而工a,

容易推出％&）"+'（而=。时取得）,“加产（的=-。时

取得）。

思路4:椭圆的第二定义为求焦半径为铺设了沟通的桥

梁。

如图，作椭圆的左准线？，作MH_U于H点

幽二

则哂一

=|M?i|=\MH\*e=x0-*e=a+ex0

同理可求得：々="€丽

应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点/月的

距离等价转化成平行于X轴的直线上点M、H的距离轻

松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求

/x2

焦点在y轴上的椭圆/小庐一呼>">"上任一点M1,%）

的两条焦半径（。±”。）。

二、焦半径的应用

应用焦半径公式易于分析椭圆上的点与焦点连成的线

段，尤其是两条焦半径与焦距围成的三角形，或是焦半

径与准线相关联等问题。

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_£_+匕=1

例1.在椭圆4520上求一点，使它与两个焦点的连

线互相垂直。（人教版《数学》第二册（上）P132）

解析：设所求点明加城

,<2=3-^5,h—2~^5,c=5,e=/口

由3得：

阿闻=3、5+［而，|加玛|=36一亭而

又1MM+2子=|取”

防+冬J:前一4Ji。？

即I3）\3）

解得：而=±3

代入椭圆方程得：先=±4

故所求点M为（3,4）,或（3,-4）,或（-3,4）,

或（-3,-4）。

例2.点P是椭圆16—+25/=1600上一点，阳玛是椭圆的

两个焦点，又点P在X轴上方，玛为椭圆的右焦点，直

线班的斜率为4%求杼及用的面积。（人教版《数

学》第二册（上）P133）

解析：设点P的横坐标为X,/尸出产”

由条件。=1°，b=8,c=6,得：

|F盟=10+会，归附=10_(x

依题意得：tana=4j5

1道

所以cosa>.:〒4

忸闻之+|%fT即『

由2|取讣飓|得:

x=5,%=13,|*=7

故SgRK=g|及玛1*1^1*sin£z=ix12x7x=24、5

例2也可先求直线%方程"