简单随机抽样(第1课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第九章

统

计9.1随机抽样9.1.1

简单随机抽样

第1课时

在现实生活中，我们经常会接触到各种各样的数据

,例如、人口问题、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均

身高等，要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识.

统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学,面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据

，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体情况，进而解决相应的实际问题.

那么，对于具体的统计问题，应如何收集数据？如何从所收集的数据中提取信息来认识未知现象？这种认识一定正确吗？应如何正确解释统计结果？本章我们将在初中学过的统计和概率知识的基础上，通过进一步学习，加深对这些问题的认识，并能完解决这些问题的实践，进一步学习数据的分析方法.引入

统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题。因此，首先要设法获取与问题有关的数据，从而为解决问题奠定基础。

(1)准确掌握全国人口的数据，可为科学制定国民经济和社会发展规划及其他方针政策提供依据.

2021年，我国进行了第七次全国人口普查，

以2021年11月1日零时为准，对全国的人口全面普遍地，逐户逐人地调查进行了一次调查登记，如姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等.

(2)为了监测近期市场上的纯牛奶质量，食药监局抽取了部分超市的一些牛奶，对其中的蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素等营养成分和细菌的含量进行了检测，得到了一批数据.

思考(1)：以上这两种获得数据的方式相同吗？由此请你说说什么是全面调查，什么是抽样调查?

（也可每一个调查对象的相应指标称为个体).

（为了强调调查目的，也可把调查对象的某些指标的全体作为总体).统计调查的方法和相关概念1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查.总体：在一个调查中，调查对象的全体称为总体个体：组成总体的每一个调查对象称为个体2.抽样调查：样本：

根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.从总体中抽取的那部分个体称为样本.样本容量(样本量)：样本中包含的个体数样本数据：调查样本获得的变量值，称为样本的观测数据.返回思考(2)：你能说说全面调查和抽样调查各自的优缺点吗?(1)全面调查(普查)：

优点：在操作正确的情况下,能得到准确结果,全面了解总体的情况.

缺点：需要大量的财力、物力、人力.(2)抽样调查：

优点：花费少、效率高.

缺点：结果与实际情况有一定的误差.

相对全面调查而言，抽样调查的应用更加广泛.

一方面，在很多情况下，总体的规模往往都较大，但是经费、时间却常常又有限，因此要进行全面调查很困难；

另一方面，许多调查具有毁损性的(如检测灯泡寿命，种子的发芽率，牛奶中的细菌量)，因此只能采取抽样调查.

思考(3):

根据以上的知识和你的经验，说说哪一种方法的应用更广泛，为什么？返回练习

在以下调查中，总体、个体各是什么(要求：(1)(2)从对象的角度，(3)(4)从对象数据的角度）？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？

(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；(2)调查一个地区结核病的发病率；(3)调查一批炮弹的杀伤半径；

(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.总体：全班学生.个体：这个班的每一个学生.适合用全面调查.总体：整个地区的居民.个体：这个地区的每一个居民.适合用抽样调查.总体：这批炮弹中所有炮弹的杀伤半径.个体：这批炮弹中每一颗炮弹的杀伤半径.适合用抽样调查.总体：这个水库所有鱼的种类(是否为草鱼).个体：这个水库每一条鱼的种类(是否为草鱼).适合用抽样调查.知识探究(一)问题1：抽样调查的目的是什么？

问题2：抽样调查的结果一定可靠吗？于是你认为对于抽样方法有什么要求？

抽样调查的目的是了解总体的情况.

例如，抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，其目的是要了解整批牛奶的细闲含量超标情况，而不只是局限在抽查到的那儿袋牛奶的情况.统计的基本思想

用样本估计总体。

即不直接去研究总体，而是从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况.抽样调查的结果不一定可靠.

因此采集样本的方法必须科学、合理，尽可能让样本数据很好地反映总体的情况，即含有和总体基本相同的信息.返回

问题3：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小，质地完全相同。你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？

思考(1)：本问题中的总体、个体分别是什么？关心的变量是什么？调查的目的是什么？总体：袋中所有小球的颜色

；个体：每一个小球的颜色;变量：小球的颜色；

调查的目的：通过样本中红球所占的比估计袋中红球所占的比例.思考(2)：结合初中的经验，我们可以通过哪些方式获取样本？(1)放回抽取

先从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回袋中，

再摇匀，又随机摸出一个球，记录颜色后又放回袋中，

如此重复n次，计算摸到红球的频率.

随着摸球次数n的不断增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即最后用摸到红球的频率来估计口袋中红球所占的比例.(2)不放回抽取

先从袋中随机摸出一个球，记录颜色后但不再放回袋中，

再摇匀，又随机摸出一个球，记录颜色后仍不再放回袋中，

如此重复n次，计算摸到红球的频率.

随着摸球次数n的不断增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即最后用摸到红球的频率来估计口袋中红球所占的比例.

思考(3)：为什么每次取球前都要充分摇匀，放回摸球的方法有什么不足？

充分摇匀的目的是尽可能地改变各个小球的位置，尽可能地将不同颜色的球混合均匀，从而尽可能保证取球的随机性，即各个小球被取到的概率相同。

放回取球可能出现同一个小球被摸中多次的情况，极端情况是每次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色信息.这样的抽样结果误差较大.

而不放回取球可以避免同一个小球被重复摸中，特别地，当样本量n=1000时，不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全准确地了解了袋中红球的比例.

思考(4)：事实上，以上的这两种放回抽样和不放回抽样统称为简单随机抽样，但由于思考(3)中所述的优劣点，不放回简单抽样的效率更高，在实践中被人们更多采用.所以，在本章中，除特别说明以外，简单随机抽都是指不放回简单随机抽样.

那么，你能说说什么是简单随机抽样吗？它又有何特点？简单随机抽样1.概念：

一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,则这种抽样方法叫做简单随机抽样.

简单随机抽样有两种方式：不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样，除特别说明以外，指的是不放回简单随机抽样.

2.特点：

(1)总体的个体数有限(有限性)；(2)逐个抽取(逐一性)；(3)每个个被抽到的概率相等(公平性)；(4)抽取的个体不放回(不放回性)(本章未作除特别说明时).返回知识探究(二)

问题2：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎样抽取样本？思考(1)：你能说说这个问题中与统计有关的相关信息吗?调查的总体：高一年级712名学生(的身高)个体：高一年级每一名学生(的身高)调查的变量：学生的身高样本：抽取的学生(的身高)样本数据：抽取的学生的身高

思考(2)：根据你的经验，并结合学过的知识，你能提提供一个方案吗?可以用抽签（或抓阄）的方法思考(3)：这个方案的具体过程是怎样的，如何实施?

问题2：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎样抽取样本？抽签法

(1)编号：

先给712名学生编号，如1~712号；

(2)制签：

把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(或卡片、小球等)上作为号签；

(3)拌匀：

将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌；

(4)抽取：

逐个不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数；

(5)成样:

将抽到编号的学生（的身高）形成一个样本.让个体与编号对应，脱个体敏感信息.保证等可能抽样，确保样本的代表性抽签法的步骤：编号→制签→拌匀→抽取→成样返回思考(4)：抽签法的优缺点是什么?它的适应性如何？

优点：简单易行，当总体个数不多的时，搅拌均匀容易，个体有均等机会的被抽中，从而能保证了样本的代表性.

缺点：当总体个数较多时，操作比较麻烦，且不易搅拌均匀，产生样本的代表性有可能不好.

适用情形：

总体的个体数和样本容量不大的情形.

因此，对于总体的个体数和样本容量较大大的情形，我们一般用另一种方法：随机数法随机数法

(1)编号：先给712名学生编号，例如1~712进行编号;

(2)获取样本号码：用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数(不在本范围内和在本范围内但重复出的数要剔除)，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；

(3)形成样本：重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数.随机数法的步骤：编号→获取号码→成样一类是物理的随机试验；另一类是信息技术及软件返回思考(5)：

抽签法与随机数法对比，各有什么优缺点?优点缺点适用范围抽签法随机数法简单易行

当总体个数较多时，操作比较麻烦，且不易搅拌均匀，产生样本的代表性有可能不好.

方便快捷，不论总体容量是多少都可以使用.

当总体容量很大时，需要的样本容量也很大，利用随机数法抽取样本仍不方便.

总体个数不多的情形.

总体中个体数较多,但样本容量较小的情形.

思考(6):用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量是否越大越好？

从理论上说，样本量大的要比样本量小的好在不放回简单随机抽样中，当样品量和总量一样大时，那就是全面调查.

但在实际的抽查中，样品量的增大会导致导致人力、费用、时间等成本的增加.因此，确定样本容量还是要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好.返回例析

例1.第24届冬奥会2022年在北京和张家口举行，组委会从某高校的50名志愿者中，用简单随机抽样的方法从中选取5名考查他们胜任翻译某项工作的程度，请你设计一个抽样方案?解：可用抽签法(1)编号：

给50名志愿者编号，编号分别为01,02,...,50；(2)制签：把所有编号写在无差别的小纸片上,制成号签；(3)拌匀：将这些小纸片放在一个不透明的盒子里，充分搅拌均匀；(4)抽取：从盒子中逐个不放回地抽取5个号签；(5)成样:将抽到编号的5个志愿者形成一个样本.另解：用随机数法

(1)编号：

给50名志愿者编号，编号分别为01,02,...,50；

(2)获取样本号码：用随机数工具产生01~50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的志愿者进入样本；

(3)形成样本：重复上述过程，抽足5个人，形成样本.

例2.(1)若一计算器只能生成[0,1)内的随机数

x，请你将这些数分别转化为[1,50]内的随机整数y.(2)若总体中个体的编号为1~30，现在我们用一种软件产生了[1,50]内的随机整数

y，有人说，只要把

y÷30的余数

z加上

1就可以作为简单随机抽样中抽中的一个号码，这种说法对吗？解:(1)设[x]表示不超过

x的最大整数，则y=[50x]+1,x∈[0,1).(2)不对.

∵虽然[1,50]内每一个整数

y出现的的概率是相同的，

但是

y÷30的每一个余数

z出现的可能性却是不相同的，事实上出现z∈[1,20)的概率要比z∈[21,29]大.∴在1~30内的每一个编号被抽中的概率并不等，因此z+1不能作为简单随机抽样中抽中的一个号码.

因为材质均匀，所以各个数字出现的可能性是相同，各位数字出现的可