2025届新高考数学冲刺精准复习导数与函数的零点问题

2025届新高考数学冲刺精准复习导数与函数的零点问题01课前自学02课堂导学目录【课时目标】借助函数的单调性、图象、函数零点存在定理来确定零

点的个数，会将零点问题转化为函数图象的交点问题求参数的范围、求

方程的解（函数的零点）所在的区间等.【考情概述】导数与函数的零点问题是新高考的热点问题，难度较

大，综合性较强.

常用结论1.若连续不断的函数

f

（

x

）在定义域上是单调函数，则

f

（

x

）至多

有

零点.2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持

号.3.连续不断的函数的图象在其与

x

轴交点的左右侧的函数值可能变号，

也可能不变号.一个同

（1）

判断函数

f

（

x

）的单调性；解：（1）

由题意，得f'（

x

）＝－

kx

＋

x

e

x

＝

x

（e

x

－

k

）.当

k

≤0时，

若

x

＜0，则f'（

x

）＜0；若

x

＞0，则f'（

x

）＞0，所以

f

（

x

）在区间

（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增.当

k

＞0时，

由f'（

x

）＝0，得

x

＝0或

x

＝ln

k

.当0＜

k

＜1时，若

x

＜ln

k

或

x

＞0，

则f'（

x

）＞0；若ln

k

＜

x

＜0，则f'（

x

）＜0，所以

f

（

x

）在区间（－

∞，ln

k

）和（0，＋∞）上单调递增，在区间（ln

k

，0）上单调递减.

当

k

＝1时，f'（

x

）≥0恒成立，当且仅当

x

＝0时，等号成立，所以

f

（

x

）在R上单调递增.当

k

＞1时，若

x

＜0或

x

＞ln

k

，则f'（

x

）＞0；若0＜

x

＜ln

k

，则f'（

x

）＜0，所以

f

（

x

）在区间（－∞，0）和（ln

k

，＋∞）上单调递增，在区间（0，ln

k

）上单调递减.综上所述，当

k

≤0时，

f

（

x

）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上

单调递增；当0＜

k

＜1时，

f

（

x

）在区间（－∞，ln

k

）和（0，＋∞）

上单调递增，在区间（ln

k

，0）上单调递减；当

k

＝1时，

f

（

x

）在R

上单调递增；当

k

＞1时，

f

（

x

）在区间（－∞，0）和（ln

k

，＋∞）

上单调递增，在区间（0，ln

k

）上单调递减.

（2）

当

k

≤0时，讨论函数

f

（

x

）的零点的个数.

总结提炼

函数的零点的个数也就是函数图象与

x

轴的交点的个数，所以可以

借助函数图象的特征迅速求解函数零点的个数.对于含参函数的零点的

个数，一般可从三个方面讨论：一是利用导数研究函数的单调性和极

值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点

的个数；二是分离参数，将问题转化为求函数

y

＝

a

与

y

＝

f

（

x

）的图

象的交点的个数问题；三是利用函数零点存在定理判定，可结合最

值、极值去解决.

A.

f

（

x

）有2个零点B.

f

（

x

）有1个零点AD

解：（1）

当0＜

a

＜1时，

f

（

x

）在区间（0，

a

）和（1，＋∞）上单

调递增，在区间（

a

，1）上单调递减；当

a

＞1时，

f

（

x

）在区间

（0，1）和（

a

，＋∞）上单调递增，在区间（1，

a

）上单调递减；当

a

＝1时，

f

（

x

）在区间（0，＋∞）上单调递增.

（2）

若函数

f

（

x

）只有一个零点，求实数

a

的取值范围.

总结提炼

根据函数零点的个数确定参数的取值范围的核心思想是“数形结

合”，即通过函数图象与

x

轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交

点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围.解决问题的步

骤是“先形后数”.

解：（1）

证明略.

（2）

若函数

f

（

x

）只有一个零点，求实数

a

的取值范围.

考点三

函数零点的应用例3已知函数

f

（

x

）＝e

x

＋

a

－ln

x

（其中e＝2.71828…，是自然对数的

底数）.（1）

当

a

＝0时，求函数

f

（

x

）的图象在点（1，

f

（1））处的切

线方程；

[变式演练]已知函数

f

（

x

）＝e

x

＋

a

－ln

x

，若

f

（

x

）≥e＋1，求实数

a

的取值范围.

对接高考（2020·全国