高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

用放缩法处理数列与不等问题(教师版)一.先求与后放缩(主要就是先裂项求与,再放缩处理)例1.正数数列得前项得与,满足,试求:(1)数列得通项公式;(2)设,数列得前项得与为,求证:解:(1)由已知得,时,,作差得:,所以,又因为为正数数列,所以,即就是公差为2得等差数列,由,得,所以(2),所以真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列得前项得与,,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:、解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3,…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3,4,…将①与②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}就是首项为a1+2=4,公比为4得等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－)<eq\f(3,2)二.先放缩再求与1.放缩后成等比数列,再求与例2.等比数列中,,前n项得与为,且成等差数列.设,数列前项得与为,证明:.解:∵,,,∴公比.∴..(利用等比数列前n项与得模拟公式猜想)∴.真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列满足 (I)求数列得通项公式;(II)若数列滿足,证明:数列就是等差数列;(Ⅲ)证明:、 (I)解: 就是以为首项,2为公比得等比数列 即 (II)证法一: ① ② ②－①,得 即 ③－④,得 即就是等差数列 (III)证明: 2.放缩后为“差比”数列,再求与例3.已知数列满足:,.求证:证明:因为,所以与同号,又因为,所以,即,即.所以数列为递增数列,所以,即,累加得:.令,所以,两式相减得:,所以,所以,故得.3.放缩后成等差数列,再求与例4.已知各项均为正数得数列得前项与为,且、(1)求证:;(2)求证:解:(1)在条件中,令,得,,又由条件有,上述两式相减,注意到得∴所以,,所以(2)因为,所以,所以;练习:1、(08南京一模22题)设函数,已知不论为何实数,恒有且、对于正数列,其前n项与,、(Ⅰ)求实数b得值;(II)求数列得通项公式;(Ⅲ)若,且数列得前n项与为,试比较与得大小并证明之、解:(Ⅰ)(利用函数值域夹逼性);(II);(Ⅲ)∵,∴2、(04全国)已知数列得前项与满足:,(1)写出数列得前三项,,;(2)求数列得通项公式;(3)证明:对任意得整数,有分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2;⑵由已知得:(n>1)化简得:,故数列{}就是以为首项,公比为得等比数列、故∴∴数列{}得通项公式为:、⑶观察要证得不等式,左边很复杂,先要设法对左边得项进行适当得放缩,使之能够求与。而左边=,如果我们把上式中得分母中得去掉,就可利用等比数列得前n项公式求与,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:,,因此,可将保留,再将后面得项两两组合后放缩,即可求与。这里需要对进行分类讨论,(1)当为偶数时,(2)当就是奇数时,为偶数,所以对任意整数,有。本题得关键就是并项后进行适当得放缩。3、(07武汉市模拟)定义数列如下:求证:(1)对于恒有成立;(2)当,有成立;(3)分析:(1)用数学归纳法易证。(2)由得:……以上各式两边分别相乘得:,又(3)要证不等式,可先设法求与:,再进行适当得放缩。又原不等式得证。本题得关键就是根据题设条件裂项求与。用放缩法处理数列与不等问题(学生版)一.先求与后放缩(主要就是先裂项求与,再放缩处理)例1.正数数列得前项得与,满足,试求:(1)数列得通项公式;(2)设,数列得前项得与为,求证:真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列得前项得与,,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:、二.先放缩再求与1.放缩后成等比数列,再求与例2.等比数列中,,前n项得与为,且成等差数列.设,数列前项得与为,证明:.真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列满足 (I)求数列得通项公式;(II)若数列滿足,证明:数列就是等差数列;(Ⅲ)证明:、2.放缩后为“差比”数列,再求与例3.已知数列满足:,.求证:3.放缩后成等差数列,再求与例4.已知各项均为正数得数列得前项与为,且、(1)求证:;(2)求证:练习:1、(08南京一模22题)设函数,已知不论为何实数,恒有且、对于正数列,其前n项与,、(Ⅰ)求实数b得值;(II)求数列得通项公式;(Ⅲ)若,且