广东省东莞市横沥莞盛学校2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

广东省东莞市横沥莞盛学校2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．将抛物线y=2xA．y=2(x-2)2-3 B．y=2(x-2)22．如图为二次函数的图象，在下列说法中:①；②方程的根是③；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知四边形中，对角线，相交于点，且，则下列关于四边形的结论一定成立的是（）A．四边形是正方形 B．四边形是菱形C．四边形是矩形 D．5．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则的值是（）A． B． C． D．7．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．当x>0，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值－3C．图像的顶点坐标为（－2，－7）D．图像与x轴有两个交点8．如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④9．双曲线y＝在第一、三象限内，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜110．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，中，点、分别是边、的中点，、分别交对角线于点、，则______.12．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知_____的成绩更稳定．13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，，过点作轴交直线于点，若反比例函数的图象经过点，则的值为_________________．14．若(m-1)+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．15．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有_____个．16．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．17．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________.18．如图，是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围__________．三、解答题(共66分)19．（10分）九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．（1）男生当选班长的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．20．（6分）运城菖蒲酒产于山西垣曲.莒蒲洒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪.菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化.菖蒲酒每瓶的成本价是元，某超市将售价定为元时，每天可以销售瓶，若售价每降低元，每天即可多销售瓶(售价不能高于元)，若设每瓶降价元用含的代数式表示菖蒲酒每天的销售量.每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？21．（6分）将一块面积为的矩形菜地的长减少，它就变成了正方形，求原菜地的长．22．（8分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．23．（8分）如图①，矩形中，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示；①在旋转过程中，若时，求对应的的面积；②在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值.24．（8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

25．（10分）女本柔弱，为母则刚，说的是母亲对子女无私的爱，母爱伟大，值此母亲节来临之际，某花店推出一款康乃馨花束，经过近几年的市场调研发现，该花束在母亲节的销售量（束）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该花束的成本是每束100元．（1）求出关于的函数关系式（不要求写的取值范围）；（2）设该花束在母亲节盈利为元，写出关于的函数关系式：并求出当售价定为多少元时，利润最大？最大值是多少？（3）花店开拓新的进货渠道，以降低成本．预计在今后的销售中，母亲节期间该花束的销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为200元，且销售利润不低于9900元的销售目标，该花束每束的成本应不超过多少元．26．（10分）某校组织了一次七年级科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品，C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.（1）B班参赛作品有多少件？（2）请你将图②的统计图补充完整；（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可.【详解】y=2x2向右平移2个单位得y=2（x﹣2）2，再向上平移3个单位得y=2（x﹣2）2+3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．2、D【分析】根据抛物线开口向上得出a＞1，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜1，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞1．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞1，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜1，∴ac＜1，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），∴方程ax2+bx+c=1的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜1，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-=1，∴2a=-b，∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞1，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．3、A【分析】根据二次函数图像的特点可得.【详解】解：二次函数与轴有两个不同的交点，开口方向向上．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是二次函数的开口方向和与x轴的交点．4、C【分析】根据OA=OB=OC=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】，四边形是平行四边形且，是矩形，题目没有条件说明对角线相互垂直，∴A、B、D都不正确；故选：C【点睛】本题是考查矩形的判定方法，常见的又3种：①一个角是直角的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．5、C【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），∵m2+1＞0，∴﹣（m2+1）＜0，∴抛物线的顶点在第三象限，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．6、C【分析】证明，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案．【详解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．7、B【详解】二次函数,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.8、D【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴，与x、y轴的交点，通过推算进行判断．【详解】①根据抛物线对称轴可得，，正确；②当，，根据二次函数开口向下和得，和，所以，正确；③二次函数与x轴有两个交点，故，正确；④由题意得，当和时，y的值相等，当，，所以当，，正确；故答案为：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质和判断，掌握二次函数的性质是解题的关键．9、C【分析】根据反比例函数的性质，由于图象在第一三象限，所以k-1＞0，解不等式求解即可．【详解】解:∵函数图象在第一、三象限，∴k﹣1＞0，解得k＞1．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10、B【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．【详解】解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB

∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，

∴△AO1O2是等边三角形，

∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=

∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，

∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，

∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，

故选B．【点睛】此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AD=BC，△DEH∽△BCH，进而得，连接AC，交BD于点M，如图，根据三角形的中位线定理可得EF∥AC，可推得，△EGH∽△CMH，于是得DG=MG，，设HG=a，依次用a的代数式表示出MH、DG、BH，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEH∽△BCH，∵E是AD中点，AD=BC，∴，连接AC，交BD于点M，如图，∵点、分别是边、的中点，∴EF∥AC，∴，△EGH∽△CMH，∴DG=MG，，设HG=a，则MH=2a，MG=3a，∴DG=3a，∴DM=6a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM=DM=6a，BH=8a，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，连接AC，充分利用平行四边形的性质、构建三角形的中位线和相似三角形的模型是解题的关键.12、甲【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为甲；【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13、1【解析】先求出直线y=x+2与坐标轴的交点坐标，再由三角形的中位线定理求出CD，得到C点坐标．【详解】解：令x=0，得y=x+2=0+2=2，

∴B（0，2），

∴OB=2，

令y=0，得0=x+2，解得，x=-6，

∴A（-6，0），

∴OA=OD=6，

∵OB∥CD，

∴CD=2OB=4，

∴C（6，4），

把c（6，4）代入y=（k≠0）中，得k=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，需要掌握求函数图象与坐标轴的交点坐标方法，三角形的中位线定理，待定系数法．本题的关键是求出C点坐标．14、-2【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】解：由题意，得m（m+2）-1=2且m-1≠1，解得m=-2，故答案为-2．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．15、1【分析】设袋子中的红球有x个，利用红球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【详解】解：设袋子中的红球有x个，根据题意，得：＝0.7，解得：x＝1，经检验：x＝1是分式方程的解，∴袋子中红球约有1个，故答案为：1．【点睛】此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意列式求解.16、4【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=4．故答案为4．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．17、答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．【分析】由题意得，设，此时可令的数，然后再由与y轴的交点坐标为(0，2)求出k的值，进而可得到二次函数的解析式.【详解】解：设，将(0，2)代入，解得，故或y=x2﹣4x+2．故答案为：答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．考点：1.二次函数的图象及其性质；2.开放思维.18、．【解析】试题分析：∵y1与y2的两交点横坐标为-2，1，当y2≥y1时，y2的图象应在y1的图象上面，即两图象交点之间的部分，∴此时x的取值范围是-2≤x≤1．考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象．三、解答题(共66分)19、（1）（2）【详解】解：（1）；（2）树状图为；所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是．（列表方法求解略）·（1）男生当选班长的概率=（2）与课本上摸球一样，画出树状图即可20、（1）；（2）售价定为元时，有最大利润，最大利润为元.【分析】⑴依据题意列出式子即可；⑵依据题意可以得到y=-5（x-4）2+1280解出x=4时，利润最大，算出售价及最大利润即可.【详解】解：莒蒲酒每天的销售量为.设每天销售菖蒲酒获得的利润为元由题意，得.当时，利润有最大值，即售价定为元时，有最大利润，最大利润为元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程实际生活中的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键.21、原菜地长为.【分析】设原菜地的长为，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为，则原矩形菜地的宽由题意得：解得：，(不合题意，舍去)答：原菜地的长为.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.22、（1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．【解析】试题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；（2）∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=|x|，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．【考点】二次函数综合题．23、（1）相似；（2）定值，；（3）①2，②.【分析】（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案；（2）由得出，又为定值，即可得出答案；（3）先设结合得出①将t=1代入中求解即可得出答案；②将s=4.2代入中求解即可得出答案.【详解】（1）相似理由：∵，，∴，又∵，∴；（2）在旋转过程中的值为定值，理由如下：过点作于点，∵，，∴，∴，∵四边形为矩形，∴四边形为矩形，∴∴即在旋转过程