适用于新教材提优版2025届高考数学一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布10.4随机事件与概率新人教A版

§10.4随机事务与概率考试要求1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区分.2.理解事务间的关系与运算.3.驾驭古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简洁随机事务的概率．学问梳理1．样本空间和随机事务(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的，常用Ω表示．②有限样本空间：假如一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事务①定义：将样本空间Ω的称为随机事务，简称事务．②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．③随机事务的极端情形：、．2．两个事务的关系和运算含义符号表示包含关系若A发生，则B确定发生相等关系B⊇A且A⊇B并事务(和事务)A∪B或A＋B交事务(积事务)A与B同时发生互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生3．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性．4．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事务A包含其中的k个样本点，则定义事务A的概率P(A)＝＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事务A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的性质性质1：对随意的事务A，都有P(A)≥0；性质2：必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝；性质4：假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝；性质5：假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于随意事务A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事务，有P(A∪B)＝．6．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事务A发生的频率fn(A)会渐渐事务A发生的概率P(A)，我们称频率的这特性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．常用结论1．当随机事务A，B互斥时，不愿定对立；当随机事务A，B对立时，确定互斥，即两事务互斥是对立的必要不充分条件．2．若事务A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思索辨析推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事务发生的频率与概率是相同的．()(2)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)若A∪B是必定事务，则A与B是对立事务．()教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事务“至多有一次中靶”的互斥事务是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶2．从某班学生中随意找出一人，假如该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．(2024·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．题型一随机事务命题点1随机事务间关系的推断例1(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设事务A＝{两弹都击中飞机}，事务B＝{两弹都没击中飞机}，事务C＝{恰有一弹击中飞机}，事务D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是()A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列状况中是互斥而不对立的两个事务的是()A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2利用互斥、对立事务求概率例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华事务关系的运算策略进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事务是由互斥事务组成时，运用互斥事务的概率加法公式．跟踪训练1(1)(多选)抛掷一枚质地匀整的骰子，有如下随机事务：Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二古典概型例3(1)(2024·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”探讨方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为()A.eq\f(3,56)B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(1,5)(2)在一次竞赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参与，赛前用抽签的方法确定出场依次，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2(1)(2024·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)(2)(2024·宜宾质检)2024年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办全部冰上项目，延庆和张家口承办全部雪上项目．组委会聘请了包括甲在内的4名志愿者，打算支配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为________.题型三概率与统计的综合问题例4北京冬奥会顺当闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”学问讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座状况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满足，女生中有30名对讲座活动不满足．(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满足与性别有关？满足不满足合计男生女生合计120(2)从被调查的对讲座活动满足的学生中，利用比例支配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．参考数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关学问转化为事务；(2)推断事务是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练3从参与环保学问竞赛的学生中抽出40名，将其成果(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，视察图形，回答下列问题．(1)成果在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保学问竞赛成果的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)(3)从成果是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．____________________________________________