统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题七鸭系列第2讲不等式选讲文

第2讲不等式选讲考点一不等式的证明——看“目标”，找“条件”，想“联系”，用“转化”算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：假如a，b为正数，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：假如a，b，c为正数，则eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)假如a1，a2，…，an为n个正数，则eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．例1[2024·全国乙卷]已知a，b，c都是正数，且aeq\s\up6(\f(3,2))＋beq\s\up6(\f(3,2))＋ceq\s\up6(\f(3,2))＝1，证明：(1)abc≤eq\f(1,9)；(2)eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≤eq\f(1,2\r(abc)).归纳总结证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等．(1)假如已知条件与待证结论干脆联系不明显，则考虑用分析法．(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．(3)假如待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出冲突．对点训练[2024·全国甲卷]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：(1)a＋b＋2c≤3；(2)若b＝2c，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥3.考点二含确定值不等式的解法——掀起“确定值”的盖头1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后依据a、b的值解出即可．(2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)令每个确定值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，依据确定值的定义去掉确定值符号，探讨所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．例2[2024·全国乙卷]已知f(x)＝2|x|＋|x－2|．(1)求不等式f(x)≤6－x的解集；(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）≤y,x＋y－6≤0))所确定的平面区域的面积．归纳总结确定值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a；(2)平方法：两边平方去掉确定值符号；(3)零点分区间法：含有两个或两个以上确定值符号的不等式，可用零点分区间法脱去确定值符号，将其转化为与之等价的不含确定值符号的不等式(组)求解；(4)几何法：利用确定值的几何意义，画出数轴，将确定值转化为数轴上两点的距离求解；(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．对点训练[2024·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．考点三与确定值不等式有关的恒成立问题——弄清确定值的几何意义定理1：假如a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．例3[2024·河南省开封市杞县高三三模]已知函数f(x)＝|2sinx－k|＋k(k∈R).(1)当k＝1时，求不等式f(x)≤2的解集；(2)h(x)＝f(x)＋|2sinx－1|，当x∈R时，h(x)≥3恒成立，求k的取值范围．[听课记录]归纳总结解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略不等式恒成立问题不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A.不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B.不等式能成立问题在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上f(x)max>A.在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上f(x)min<B.不等式恰成立问题不等式f(x)>A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)>A的解集为D.不等式f(x)<B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)<B的解集为D.对点训练[2024·陕西省商洛市镇安中学高三模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|＋1.(1)解不等式f(x)≤7；(2)若不等式mx＋2≤f(x)(m>0)对于x∈R恒成立，求m的取值范围．第2讲不等式选讲考点一[例1]证明：（1）因为a，b，c都是正数，所以aeq\s\up6(\f(3,2))＋beq\s\up6(\f(3,2))＋ceq\s\up6(\f(3,2))≥3eq\r(3,a\s\up6(\f(3,2))b\s\up6(\f(3,2))c\s\up6(\f(3,2)))＝3eq\r(abc)，当且仅当a＝b＝c＝eq\r(3,\f(1,9))时取等号．因为aeq\s\up6(\f(3,2))＋beq\s\up6(\f(3,2))＋ceq\s\up6(\f(3,2))＝1，所以eq\r(abc)≤eq\f(1,3)，即abc≤eq\f(1,9).（2）方法一因为a，b，c都是正数，所以b＋c≥2eq\r(bc)，a＋c≥2eq\r(ac)，a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b＝c＝eq\r(3,\f(1,9))时同时取等号．所以2eq\r(abc)（eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)）≤2eq\r(abc)（eq\f(a,2\r(bc))＋eq\f(b,2\r(ac))＋eq\f(c,2\r(ab))）＝aeq\s\up6(\f(3,2))＋beq\s\up6(\f(3,2))＋ceq\s\up6(\f(3,2))＝1，所以eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≤eq\f(1,2\r(abc)).方法二要证eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≤eq\f(1,2\r(abc))成立，只需证eq\f(a\f(3,2)\r(bc),b＋c)＋eq\f(b\f(3,2)\r(ac),a＋c)＋eq\f(c\f(3,2)\r(ab),a＋b)≤eq\f(1,2)成立即可．因为a，b，c都是正数，所以b＋c≥2eq\r(bc)，a＋c≥2eq\r(ac)，a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b＝c＝eq\r(3,\f(1,9))时同时取等号．所以eq\f(a\f(3,2)\r(bc),b＋c)＋eq\f(b\f(3,2)\r(ac),a＋c)＋eq\f(c\f(3,2)\r(ab),a＋b)≤eq\f(a\f(3,2)\r(bc),2\r(bc))＋eq\f(b\f(3,2)\r(ac),2\r(ac))＋eq\f(c\f(3,2)\r(ab),2\r(ab))＝eq\f(a\s\up6(\f(3,2))＋b\s\up6(\f(3,2))＋c\s\up6(\f(3,2)),2)＝eq\f(1,2)，得证．对点训练证明：（1）因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，（a2＋b2＋4c2）（1＋1＋1）≥（a＋b＋2c）2，即（a＋b＋2c）2≤9，且a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立．所以a＋b＋2c≤3.（2）方法一3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,2c)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,2c)＋\f(1,2c))).由b＝2c，a＋b＋2c≤3得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,2c)))≥（a＋b＋2c）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,2c)))≥（eq\r(a)·eq\f(1,\r(a))＋eq\r(b)·eq\f(1,\r(b))＋eq\r(2c)·eq\f(1,\r(2c))）2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥3.方法二因为b＝2c，由（1）知a＋b＋2c≤3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))×3≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))（a＋4c）＝1＋eq\f(4c,a)＋eq\f(a,c)＋4≥5＋2eq\r(\f(4c,a)·\f(a,c))＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥3.考点二[例2]解析：（1）f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜0,x＋2，0≤x≤2,3x－2，x＞2))，当x<0时，－3x＋2≤6－x，得－2≤x＜0；当0≤x≤2时，x＋2≤6－x，得0≤x≤2；当x＞2时，3x－2≤6－x，得x≤2，与x＞2冲突．综上，不等式f（x）≤6－x的解集为{x|－2≤x≤2}．（2）如图所示，作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）≤y,x＋y－6≤0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋2≤y，x＜0,x＋2≤y，0≤x≤2,3x－2≤y，x＞2,x＋y－6≤0))所确定的平面区域（图中阴影部分），为△ABC，其中A（－2，8），B（0，2），C（2，4），直线y＝－x＋6与y轴交于点（0，6），所以S△ABC＝eq\f(1,2)×（6－2）×[2－（－2）]＝8.对点训练解析：（1）由已知得g（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4，x<－\f(3,2),4x＋2，－\f(3,2)≤x≤\f(1,2)，,4，x>\f(1,2)))所以y＝f（x）与y＝g（x）的图象为（2）y＝f（x＋a）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移a（a>0）个单位长度或向右平移|a|（a<0）个单位长度得到的，依据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y＝f（x＋a）的图象的右支过y＝g（x）的图象上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))时为临界状态，如图所示，此时y＝f（x＋a）的图象的右支对应的函数解析式为y＝x＋a－2（x≥2－a），则4＝eq\f(1,2)＋a－2，解得a＝eq\f(11,2).因为f（x＋a）≥g（x），所以a≥eq\f(11,2)，故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，＋∞)).考点三[例3]解析：（1）当k＝1时，f（x）＝|2sinx－1|＋1，f（x）≤2，即|2sinx－1|＋1≤2，所以0≤sinx≤1，所以2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，所以不等式的解集为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．（2）h（x）≥3，即|2sinx－k|＋k＋|2sinx－1|≥3，当x∈R时，|2sinx－k|＋|1－2sinx|＋k≥|2sinx－k＋1－2sinx|＋k，所以有|1－k|＋k≥3，①当k≤1时，|1－k|＋k＝（1－k）＋k＝1，所以|1－k|＋k≥3无解；②当k>1时，|1－k|＋k＝（k－1）＋k＝2k－1≥3，解得k≥2；综上可得k∈[2，＋∞）.对点训练解析：（1）f（x）≤7，即|x|＋|x－2|≤6，利用零点分区间法，对f（x）去确定值，当x<0时，由－2x＋2≤6，得x≥－2，所以x∈[－2，0），当0≤x<2时，2≤6成立，所以x∈[0，2），当x≥2时，由2x－2≤6，得x≤4，所以x∈[2，4].综上可知，不等式f（x）≤7的解集为[－