备考2025届高考数学一轮复习分层练习第六章平面向量复数第5讲解三角形应用举例

第5讲解三角形应用举例1.[2024黑龙江省试验中学开学考试]中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而著名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度MN约为（B） A.64m B.74m C.52m D.91m解析在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin45°＝22MC.由题意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM中，由正弦定理MCsin∠MAC＝ACsin∠AMC，得MCsin45°＝74sin30°，故MC＝74sin45°sin30°2.[设问创新/多选/2024江苏南通阶段检测]重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打卡拍照.某中学数学爱好小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，A为解放碑的顶端，B为基座（B在A的正下方），在步行街（与B在同一水平面内）上选取C，D两点，测得CD的长为100m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝π6，则依据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（ABD）A.∠BCD，∠BDC B.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACD D.∠BCD，∠ADC解析对于A，依据CD，∠BCD，∠BDC，可解三角形求得CB，从而在Rt△ABC中求得AB，所以A符合题意.对于B，依据CD，∠ACD，∠ADC，可解三角形求得AC，从而在Rt△ABC中求得AB，所以B符合题意.对于C，依据CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，所以C不符合题意.对于D，第一步，∠ACB已知，在Rt△ABC中，用AB表示出BC，AC；其次步，在△BCD中，依据余弦定理用AB表示出BD，在△ACD中，依据正弦定理用AB表示出AD；第三步，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合题意.3.[2024皖豫名校联考]如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得某山的底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20min到达B处，此时测得该山的底部C在北偏东60°方向上，测得山顶P（P在C正上方）的仰角为60°，已知山的高度为23km.则巡逻船的航行速度为6（3＋1）km/h.解析由题意知，在△BCP中，PC＝23km，∠PBC＝60°，故tan∠PBC＝PCBC＝3，得BC＝2km.在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°，则BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，而sin15°＝sin（45°－30°）＝6－24，所以AB＝2×46－2＝2（3＋1）（km）.4.[2024郑州一中期中]如图所示，遥感卫星发觉某海疆上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°的60海里处，在小岛B北偏东15°方向上，相距（303－30）海里处有一个小岛C.（1）求小岛A与小岛C之间的距离；（2）假如有游客想干脆从小岛A动身到小岛C，求游船航行的方向.解析（1）在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，依据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋（303－30）2－2×60×（303－30）×cos120°＝5400，得AC＝306，∴小岛A与小岛C之间的距离是306海里.（2）依据正弦定理得，ACsin∠ABC∴306sin120°＝60sin∠ACB，得又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.由75°－15°＝60°得，游船应当沿北偏东60°的方向航行.5.[2024贵州诊断]镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5m，某建筑物高h1＝4.5m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2m，将镜子后移am，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2m，则a＝（A）A.6 B.5 C.4 D.3解析如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次视察时镜面位置为B，第一次视察时人眼睛位置为C，其次次视察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0m，由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即h1a0＝ha1①，同理可得h由①②可得a0＋aa0＝a2a1，解得a0＝a1·aa6.[背景创新]1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角）？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用特殊广泛.某人视察一座山顶上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大视角”（忽视人身高）的水平地面位置视察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（B）A.12 B.941 C.1625 解析如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时的视角为θ，易知塔底距离地面的高度为BC＝160m，塔顶离地面的高度为AC＝90＋160＝250（m），则人距塔的距离CD＝AC·BC＝200m，由∠C＝90°得BD＝BC2＋CDAD＝AC2＋CD2＝5041（m），则在△ABD中cosθ＝AD2＋BD2－A7.[2024青岛市检测]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙隐私的最终遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8海里，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为85海里.解析如图所示，在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，∠DCA＝15°，则∠DAC＝180°－150°－15°＝15°，即△ACD为等腰三角形，又CD＝8，所以AD＝8.在△BCD中，∠BDC＝15°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝15°＋120°＝135°，则∠DBC＝180°－15°－135°＝30°，又CD＝8，所以由BDsin∠DCB＝CDsin∠DBC，得BDsin135°＝8sin30°，所以BD＝82.在△ABD中，AD＝8，BD＝82，∠ADB＝135°，所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝82＋（82）2－2×8×82×（－22）＝88.[2024北京市密云二中月考]某自然疼惜区为探讨动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD＝75°，∠ABD＝45°.（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求△ABD的面积；（2）求点C，D之间的距离.解析（1）在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°.由正弦定理ADsin∠ABD＝ABsin∠所以AD＝sin45°sin60°·AB＝2232×12＝因为sin∠BAD＝sin75°＝sin（45°＋30°）＝22×（32＋12）所以△ABD的面积S△ABD＝12AB·AD·sin∠ ＝1