新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第七章7.5A级——基础过关练1．设随机变量Z听从标准正态分布Z～N(0，1)，且Z在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1和p2的大小关系为()A．p1＞p2 B．p1＜p2C．p1＝p2 D．不确定【答案】C【解析】因为这是一个标准正态分布，标准正态曲线关于y轴对称，所以p1＝p2.2．已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2).若P(ξ＞2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)等于()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15【答案】C【解析】P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ＞2)＝0.35.3．已知随机变量X听从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X＞4)＝()A．0.1588 B．0.15865C．0.1586 D．0.15855【答案】B【解析】P(X＞4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤X≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.4．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)听从正态分布N(10，0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为()A．上、下午生产状况均正常B．上、下午生产状况均异样C．上午生产状况异样，下午生产状况正常D．上午生产状况正常，下午生产状况异样【答案】D【解析】∵零件外直径X～N(10，0.04)，∴依据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2，10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异样．∵9.4<9.75<10.6，9.35<9.4，∴可认为上午生产状况正常，下午生产状况异样．故选D．5．某年高二年级共有14000人参与教学质量检测，学生的数学成果X近似听从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(≥100)＝0.3，据此可估计这次数学成果在80～90分的学生人数约为()A．2800 B．4200C．5600 D．7000【答案】A【解析】∵X～N(90，σ2)，且P(X≥100)＝0.3，∴P(X≤80)＝0.3.∴P(80≤X≤90)＝eq\f(1－0.3×2,2)＝0.2.∴估计这次检测数学成果在80～90分之间的学生人数约为14000×0.2＝2800.6．(2024年大连期末)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值为()A．eq\f(9,2) B．4C．6 D．9【答案】A【解析】因为随机变量ξ～N(1，σ2)且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq\f(a,2)＝1，得a＝2.eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,2－x)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,2－x))[x＋(2－x)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))＝eq\f(9,2)，当且仅当x＝eq\f(2,3)时等号成立．所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值为eq\f(9,2).7．(多选)(2024年张家港月考)在一次考试中，对某学校数学考试成果的数据分析，男生的成果X听从正态分布N(72，92)，女生成果Y听从正态分布N(74，72)，若P(|X－μ|≤2σ)≈95.4%，则下列说法中正确的是()A．女生的平均成果高于男生B．男生成果比较分散，女生成果比较集中C．在女生中，不及格(低于60分)的人数不超过3%D．在男生中，优秀(高于90分)的人数超过3%【答案】ABC【解析】∵男生的成果X听从正态分布N(72，92)，女生成果Y听从正态分布N(74，72)，∴男生的平均成果为72分，女生的平均成果为74分，即女生的平均成果高于男生，故A正确；∵92>72，∴男生成果比较分散，女生成果比较集中，故B正确；∵女生成果Y听从正态分布N(74，72)，∴P(Y<60)＝P(Y≤74)－P(60≤X≤74)≈0.5－eq\f(0.954,2)＝0.023<0.03，故C正确；∵男生的成果X听从正态分布N(72，92)，∴P(X≤90)＝P(X≤72)＋P(72≤X≤90)≈0.5＋eq\f(0.954,2)＝0.977，∴P(X>90)＝1－P(X≤90)＝0.023<0.03，故D错误．故选ABC．8．已知随机变量X听从正态分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，则P(2＜X≤3)＝________．【答案】0.34【解析】如图，由图可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2＜X≤3)＝eq\f(1,2)P(2＜X＜4)＝eq\f(1,2)×0.68＝0.34.9．若某一正态分布的均值和方差分别是2和3，则这一正态密度曲线的函数表达式为________．【答案】f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,6))【解析】由已知可得μ＝2，σ2＝3，将它们代入f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,2σ2))，便得所求函数表达式为f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,6)).10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，求p0的值．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)解：由于随机变量X听从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)≈0.9545.由正态分布密度曲线的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(700＜X≤900)≈0.9773.B级——实力提升练)11．(2024年成都模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(ξ<a－1)>P(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；丙：P(ξ≤a)＝0.5；丁：P(a<ξ<a＋1)<P(a＋1<ξ<a＋2).假如只有一个假命题，那么该命题为()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】D【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ.依据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)，所以假命题是丁．12．(多选)(2024年吉林期末)某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位：小时)均近似听从正态分布．用工艺1加工一个零件所用时间X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))；用工艺2加工一个零件所用时间Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2)).X，Y的分布密度曲线如图所示，则()A．μ1<μ2，σeq\o\al(2,1)>σeq\o\al(2,2)B．若加工时间只有a小时，应选择工艺2C．若加工时间只有c小时，应选择工艺2D．∀x0∈(b，c)，P(X<x0)>P(Y<x0)【答案】AC【解析】对于A，因为X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，所以X的密度曲线的对称轴μ1＝a，Y的密度曲线的对称轴μ2＝b，由图知a<b.又因为Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲线比X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))密度曲线更“瘦高”，则σeq\o\al(2,2)<σeq\o\al(2,1)，所以A正确．对于B，若加工时间只有a小时，P(X≤a)＝eq\f(1,2)，P(Y≤a)<eq\f(1,2)，则应选择工艺1，所以B错误．对于C，若加工时间只有c小时，P(X≤c)＝1－P(X>c)，P(Y≤c)＝1－P(Y>c)，而P(X>c)>P(Y>c)，故P(X≤c)<P(Y≤c)，则应选择工艺2，所以C正确．对于D，∀x0∈(b，c)，P(X<x0)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，P(Y<x0)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，无法推断两者的大小，所以D错误．故选AC．13．已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)听从标准正态分布N(0，1)，则a＝________，b＝________．【答案】eq\f(1,2)－1【解析】∵随机变量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，解得a＝eq\f(1,2)，b＝－1.14．某灯管厂生产的新型节能灯管的运用寿命(单位：小时)为随机变量Y，已知Y～N(1000，302)，要使灯管的平均寿命在1000小时的概率为99.7%，则灯管的最低寿命应限制在________小时．【答案】910【解析】因为P(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)＝99.7%，又Y～N(1000，302)，所以Y在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910，1090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应限制在910小时．15．(2024年邯郸模拟)某工厂为A公司生产某种零件．现打算交付一批(1000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表所示：零件的尺寸(2，2.03](2.03，2．06](2.06，2．09]2.09以上零件的个数436564(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的均值；(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)，依据A公司长期的运用阅历，该厂供应的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品，请估计m的值(结果保留三位小数).附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝eq\f(Y－μ,σ)，则Z～N(0，1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.解：(1)依题意，得P(尺寸不大于2.06mm)＝eq\f(4＋36,100)＝0.4，∴X～B(1000，0.4).∴E(X)