微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D4

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算eq\i(,,\f(6x-21,3x²-21x+6))dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(3x²-21x+6)'=6x-21，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c来变形计算。eq\i(,,\f(6x-21,3x²-21x+6))dx=eq\i(,,\f(d(3x²-21x),3x²-21x+6))=eq\i(,,\f(d(3x²-21x+6),3x²-21x+6))=ln|3x²-21x+6|+C。2.计算eq\i(,,(3x²-22)²)dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：eq\i(,,(3x²-22)²)dx=eq\i(,,(3²x⁴-132x²+22²))dx,=eq\i(,,3²x⁴dx)-eq\i(,,132x²dx)+eq\i(,,22²dx),=eq\f(1,5)*3²x⁵-eq\f(1,3)*132x³+22²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：eq\i(,,(3x²-22)²)dx=(3x²-22)²x-eq\i(,,xd(3x²-22)²)，=(3x²-22)²x-4*3eq\i(,,x²(3x²-22))dx，=(3x²-22)²x-4*3eq\i(,,(3x⁴-22x²)dx)，=(3x²-22)²x-4*3²eq\i(,,x⁴dx)+4*3*22eq\i(,,x²dx),=(3x²-22)²x-eq\f(4,5)*3²x⁵+eq\f(2,3)*132x³+C。3.积分eq\i(,,\f(dx,(x²-6x+13)))的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=6²-4*13＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式eq\i(,,\f(dx,1+x²))=arctanx+C变形计算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x²-6x+13)))=eq\i(,,\f(dx,x²-6x+9+4))=eq\i(,,\f(dx,(x-3)²+4))=eq\f(1,4)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-3)²,4)))=eq\f(1,eq\r(4))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(4)),1+\f((x-3)²,4))),=eq\f(1,eq\r(4))arctaneq\f(x-3,eq\r(4))+C。4.计算eq\i(,,(\f(33,44x)+\f(56x,23))²dx).解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：eq\i(,,(\f(33,44x)+\f(56x,23))²dx)=eq\i(,,[(eq\f(33,44x))²+2*eq\f(33,44)*eq\f(56,23)+(eq\f(56x,23))²]dx),=(eq\f(33,44))²eq\i(,,\f(dx,x²))+eq\f(84,23)eq\i(,,dx)+(eq\f(56,23))²eq\i(,,x²dx),=-eq\f((\f(33,44))²,x)+eq\f(84x,23)+eq\f(1,3)*(eq\f(56,23))²x³+C。5.计算eq\i(,,(5x³-3x²+40)102(15x²-6x)dx)不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(5x³-3x²+40)'=15x²-6x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：eq\i(,,(5x³-3x²+40)102(15x²-6x)dx)=eq\i(,,(5x³-3x²+40)102d(5x³-3x²+40)),=eq\f(1,103)(5x³-3x²+40)103+C.6.计算eq\i(,,xln(25x-114))dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：eq\i(,,xln(25x-114))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(25x-114)dx²)，=eq\f(1,2)x²ln(25x-114)-eq\f(1,2)eq\i(,,x²dln(25x-114)),=eq\f(1,2)x²ln(25x-114)-eq\f(25,2)eq\i(,,\f(x²dx,25x-114)),=eq\f(1,2)x²ln(25x-114)-eq\i(,,(x+\f(114,25)))dx-(eq\f(114,25))²eq\i(,,\f(d